Taula de derivades

De Viquipèdia

En el procés de càlcul de derivades o diferenciació, es pot obtenir la derivada de qualsevol funció elemental emprant les regles de derivació i la taula de derivades de les funcions base a partir de les quals es construeixen la resta de funcions elementals.

Les derivades d'aquestes funcions base s'obtenen normalment a partir de la definició de derivada, aplicant les propietats de cada funció i amb les tècniques de càlcul de límits.

Taula de continguts

1 Taula de derivades
2 Demostració
3 Derivades de les funcions hiperbòliques
4 Derivades de funcions especials
5 Vegeu també
6 Referències
7 Enllaços externs

[edita] Taula de derivades

Funció F: primitiva de f	funció f: derivada de F
$f\left(x\right) = k$	$f'\left(x\right) = 0$
$f\left(x\right) = x$	$f'\left(x\right) = 1$
$f\left(x\right) = x^n$	$f'\left(x\right) = nx^{n-1}$
$f\left(x\right) = \sqrt{x}$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f\left(x\right) = e^x$	$f'\left(x\right) = e^x$
$f\left(x\right) = \ln(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = a^x (a > 0)$	$f'\left(x\right) = a^x \ln(a)$
$f\left(x\right) = \log_{b}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{ln{b}}\frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n}$	$f'\left(x\right) = -nx^{-n-1}$
$f\left(x\right) = \sin(x)$	$f'\left(x\right) = \cos(x)$
$f\left(x\right) = \cos(x)$	$f'\left(x\right) = -\sin(x)$
$f\left(x\right) = \tan(x)$	$f'\left(x\right) = \sec^2(x)$
$f\left(x\right) = \csc(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)$
$f\left(x\right) = \sec(x)$	$f'\left(x\right) = \sec(x)\tan{x}$
$f\left(x\right) = \cot(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc^2(x)$
$f\left(x\right) = \arcsin(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arccos(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arctan(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$

[edita] Demostració

[edita] Derivada d'una constant

Article principal: Derivada d'una constant

En el cas de la funció constant la seva gràfica és una recta horitzontal i per tant té pendent zero a tot arreu, aquest resultat també s'obté directament en aplicar la definició de derivada a la funció constant: $f\left( x \right)=c$

$\begin{align} f^{'}\left( x \right) & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h} \\ & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{c-c}{h} \\ & =0 \end{align}$

[edita] Derivada d'una potencia entera

En cas que $f\left( x \right)=x^{n}$ , s'obté:

$\begin{align} f^{'}\left( x \right) & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h} \\ & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+h \right)^{n}-x^{n}}{h} \end{align}$

Aplicant la fórmula del binomi de Newton, agrupant els termes que tenen h elevada a una potència superior a 2 i tragent $h 2$ factor comú d'aquests termes, resulta:

$f^{'}\left( x \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x^{n}+nhx^{n-1}+h^{2}R \right)-x^{n}}{h}$

A partir d'aquí, operant s'obté:

$\begin{align} f^{'}\left( x \right) & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,nx^{n-1}+hR \\ & =nx^{n-1}+\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,hR \\ & =nx^{n-1}+0 \end{align}$

[edita] Derivada d'una potencia real

Pel càlcul de la derivada d'una potència real primer es transforma l'expressió:

$x^{r}=e^{r\ln \left( x \right)}$

Llavors s'aplica la regla de la cadena:

$D\left( f\circ g \right)=\left[ \left( Df \right)\circ g \right]Dg$

Amb

$f=e^{x}\quad g=r\ln \left( x \right)$

D'aquí, operant, i tenint en compe la derivada de la funció exponencial (veure més endavant) resulta:

$\begin{align} Dx^{r}& =De^{r\ln \left( x \right)} \\ & =\left[ \left( e^{x} \right)\circ r\ln \left( x \right) \right]\frac{r}{x} \\ & =\frac{r}{x}e^{r\ln \left( x \right)} \\ & =\frac{r}{x}x^{r} \\ & =rx^{r-1} \end{align}$

Aquesta expressió, és formalment idèntica al cas de la potència entera.

Pel cas particular de $r = 1 / 2$ resulta:

$\begin{align} f\left( x \right) & =\sqrt{x} \\ & =x^{1/2} \end{align}$

Per tant: $\begin{align} {f}'\left( x \right) & =\frac{1}{2}x^{\left( \frac{1}{2}-1 \right)} \\ & =\frac{1}{2}x^{\left( -\frac{1}{2} \right)} \\ & =\frac{1}{2x^{1/2}} \\ & =\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align}$

[edita] Derivada de la funció logaritme

Pel cas de $f\left( x \right)=\lg _{a}\left( x \right)$ , aplicant la definició de derivada i ficant els termes dins de la funció logaritme s'obté:

$\begin{align} {f}'\left( x \right) & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\lg _{a}\left( x+h \right)-\lg _{a}\left( x \right)}{h} \\ & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\lg _{a}\left( \frac{x+h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} \\ & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\lg _{a}\left( 1+\frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} \end{align}$

Aquesta expressió es pot transformar de la següent manera:

$\begin{align} {f}'\left( x \right) & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\lg _{a}\left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} \right]^{\frac{1}{x}} \\ & =\frac{1}{x}\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\lg _{a}\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} \\ & =\frac{1}{x}\lg _{a}\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} \end{align}$

Però quant h tendeix a zero x/h tendeix a infinit (si x>0), per tant el límit es pot calcular tenint en compte la definició del nombre e:

$\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}}=\underset{y\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{y} \right)^{y}=e$

Per tant la derivada de la funció logaritme és:

${f}'\left( x \right)=\frac{1}{x}\lg _{a}\left( e \right)$

O el que és el mateix:

${f}'\left( x \right)=\frac{1}{\ln \left( a \right)}\frac{1}{x}$

tenint en compte que:

$\lg _{a}\left( e \right)=\frac{1}{\ln \left( a \right)}$

Com es pot comprovar plantejant:

$\begin{align} a^{\lg _{a}\left( e \right)\lg _{e}\left( a \right)} & =\left( a^{\lg _{a}\left( e \right)} \right)^{\lg _{e}\left( a \right)} \\ & =e^{\lg _{e}\left( a \right)} \\ & =a \\ \Rightarrow \lg _{a}\left( e \right)\lg _{e}\left( a \right) &=1 \\ \Rightarrow \lg _{a}\left( e \right) &=\frac{1}{\ln \left( a \right)} \end{align}$

En el cas particular del logaritme natural:

$f\left( x \right)=\ln \left( x \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\frac{1}{x}\ln \left( e \right)=\frac{1}{x}$

[edita] Derivada de la funció exponencial

Com que la funció exponencial és la inversa de la funció logaritme, s'aplica la regla de la derivada de la funció inversa:

$\left[ f^{-1} \right]^{\prime }\left( x \right)=\frac{1}{{f}'\left[ f^{-1}\left( x \right) \right]}$

Amb:

$f\left( x \right)=\lg _{a}\left( x \right)\quad {f}'\left( x \right)=\frac{1}{x}\lg _{a}\left( e \right)\quad f^{-1}\left( x \right)=a^{x}$

Substituint i operant resulta:

$\begin{align} \left[ a^{x} \right]^{\prime }& =\frac{1}{\left[ \frac{1}{x}\lg _{a}\left( e \right) \right]\circ \left[ a^{x} \right]} \\ & =\frac{1}{\frac{1}{a^{x}}\lg _{a}\left( e \right)} \\ & =\frac{a^{x}}{\lg _{a}\left( e \right)} \end{align}$

O el que és el mateix:

$\left[ a^{x} \right]^{\prime }=\ln \left( a \right)a^{x}$

Pel cas particular de que $a = e$ resulta:

$\left[ e^{x} \right]^{\prime }=\frac{e^{x}}{\lg _{e}\left( e \right)}=\frac{e^{x}}{1}=e^{x}$

[edita] Derivada de les funcions trigonomètriques

Article principal: Derivació de les funcions trigonomètriques

Les derivades de les funcions sinus i cosinus es troben a partir de la definició de derivada, aplicant les identitats trigonomètriques de la suma de raons trigonomètriques

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\,$

$\cos \left( \alpha +\beta \right) =\cos \left( \beta \right) \cos \left( \alpha \right) -\sin \left( \beta \right) \sin \left( \alpha \right)$

i les identitats trigonomètriques

$\lim_{\theta \to 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}} = 1$

$\lim_{\theta \to 0}\frac{1 - \cos \theta}{\theta} = 0\,$

Un cop s'han trobat les derivades del sinus i del cosinus la derivada de la tangent es calcula aplicant la regla del quocient a la identitat trigonomètrica:

$\tan \left( x \right)=\frac{\sin \left( x \right)}{\cos \left( x \right)}$

A partir d'aqui es troben les derivades de les funcions cotangent, secant i cosecant aplicant la Regla de la raó inversa d'una funció a les identitats:

$\cot \left( x \right)=\frac{1}{\tan \left( x \right)}\quad \sec \left( x \right)=\frac{1}{\cos \left( x \right)}\quad i\quad \csc \left( x \right)=\frac{1}{\sin \left( x \right)}$

Els detalls de tot el procés es troben a l'article Derivació de les funcions trigonomètriques

[edita] Derivada de les funcions inverses de les funcions trigonomètriques

La derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques es calculen aplicant la Regla de la funció inversa a cada una de les funcions trigonomètriques i simplificant el resultat. Els detalla es poden trobar a l'article Derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques