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Regla de la ra?? inversa d'una funci?? - Viquip??dia

Regla de la ra?? inversa d'una funci??

De Viquip??dia

En c??lcul la regla de la ra?? inversa d'una funci?? ??s una drecera per a trobar la derivada d'una funci?? f(x) en el cas que aquesta funci?? vingui expressada com a 1/g(x) i la derivada de g(x) sigui coneguda. La derivada es podria trobar aplicant la regla del quocient o la regla de la cadena per?? en aquest tipus de funcions, la regla de la ra?? inversa dona una f??rmula m??s senzilla.

La regla de la ra?? inversa estableix que la derivada de 1 / g(x) ve donada per

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}

als punts on g(x) \neq 0.

Taula de continguts

[edita] Demostraci??

[edita] A partir de la regla del quocient

La regla de la ra?? inversa es dedueix a partir de la regla del quocient, fent el numerador f(x) = 1. Resulta,

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
= \frac{0\cdot g(x) - 1\cdot g'(x)}{(g(x))^2}
= \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}.

[edita] A partir de la regla de la cadena

La regla de la ra?? inversa tamb?? es pot deduir a partir de la regla de la cadena . Sia f(x) = x ??? 1. Llavors,

f(g(x))=(g(x))^{-1}=\frac{1}{g(x)}.

Aplicant la regla de la cadena,

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)
= -(g(x))^{-2} \cdot g'(x)
= \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}.

[edita] Exemples

La derivada de 1 / (x2 + 2x) ??s:

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2 + 2x}\right) = \frac{-2x - 2}{(x^2 + 2x)^2}.

La derivada de 1 / cos(x) (en els punts on \cos x\not=0) ??s:

\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x) }\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x).

[edita] Vegeu tamb??