Funció exponencial

De Viquipèdia

La funció exponencial creix lentament per les x negatives, val 1 quan la x és igual a 0, i creix ràpidament per les x positives .

La funció exponencial és una de les funcions més importants de les matemàtiques. S'escriu com exp(x) o e^x, on e val aproximadament 2.71828183 i és la base del logaritme natural.

Com a funció de la variable x real, la gràfica d'e^x sempre és positiva (al llarg de l'eix de les x) i creixent (d'esquerra a dreta). Mai arriba a tocar l'eix de les x, tot i que s'hi aproxima tant com es vulgui (això significa que l'eix de les x és un assímptota horitzontal de la gràfica). La seva funció inversa, el logaritme neperià, ln(x), està definit per tota x positiva.

Segons el context, el terme funció exponencial es refereix a qualsevol funció del tipus ka^x, on a és qualsevol nombre real positiu i s'anomena base. Aquest article tractarà només de la funció exponencial en base e, la constant d'Euler.

Més en general, la variable x pot ser real o complexa, o fins i tot qualsevol element matemàtic totalment diferent.

[edita] Propietats

Utilitzant logaritmes neperians, es poden generalitzar el concepte de funció exponencial. La funció

$\!\, a^x=e^{x \ln a}$

definida per tot a > 0, i per tot x real, s'anomena la funció exponencial de base a.

Fixeu-vos que l'anterior equació també és vàlida per a = e, ja que

$\!\, e^{x \ln e}=e^{x \cdot 1}=e^x.$

Les funcions exponencials compleixen les següents propietats, per tot a i b reals positius i per tot x i y reals:

$\!\, a^0 = 1$

$\!\, a^1 = a$

$\!\, a^{x + y} = a^x a^y$

$\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

$\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

$\!\, a^x b^x = (a b)^x$

Les expressions que contenen fraccions i arrels aritmètiques es poden simplificar utilitzant la notació exponencial perquè:

${1 \over a} = a^{-1}$

i per tot a > 0, b real, i n > 1 enter:

$\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}$

[edita] Derivades i equacions diferencials

La importància de les funcions exponencials en matemàtiques i les ciències ve principalment de les propietats de llurs derivades. En particular,

${d \over dx} e^x = e^x$

És a dir, la derivada d'e^x és ella mateixa. Aquesta és una propietat única dins de les funcions reals. Altres maneres de dir el mateix són:

La pendent de la gràfica al punt x és igual al valor de la funció a x.
La funció exponencial és solució de l'equació diferencial $y' = y$ .

De fet, moltes equacions diferencials donen lloc a funcions exponencials, com ara l'equació de Schrödinger, l'equació de Laplace i les equacions del moviment harmònic simple.

Per a les funcions exponencials amb altres bases:

${d \over dx} a^x = (\ln a) a^x$

Tenim que qualsevol funció exponencial és un múltiple constant de la seva derivada.

Si el grau de creixement o de decreixement d'una variable és proporcional a la seva dimensió llavors podem escriure la variable com el producte d'una constant per la funció exponencial del temps.

A més a més, per qualsevol funció diferenciable f (x), tenim, per la regla de la cadena:

${d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}$ .

[edita] Definició formal

La funció exponencial e^x es pot definir de diverses maneres equivalents fent servir sèries infinites. En particular es pot definir com una sèrie de potències:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

o com el límit d'una successió:

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.$

En aquestes definicions, $n!$ significa factorial d'n, i x pot ser un nombre real, un nombre complex, un element d'una àlgebra de Banach o un element d'un cos de nombres p-àdics.

[edita] Valor numèric

Per obtenir el valor numèric de la funció exponencial, la sèrie infinita es pot reescriure com:

$e^x = {1 \over 0!} + x \, \left( {1 \over 1!} + x \, \left( {1 \over 2!} + x \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)$

$= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)$

Aquesta expressió convergeix ràpidament si podem assegurar que x < 1. Per assegurar-ho, podem fer servir la següent identitat.

$e^x\,$	$=e^{z+f}\,$
	$= e^z \cdot \left[{1 \over 0!} + f \, \left( {1 \over 1!} + f \, \left( {1 \over 2!} + f \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)\right]$

On $z$ és la part entera d' $x$
on $f$ és la part decimal d' $x$
Per tant, $f$ és sempre més petit que 1 i la suma d' $f$ i $z$ és $x$ .

El valor de la constant e^z es pot calcular per endavant multiplicant e per ella mateixa z vegades.

[edita] Al pla complex

Quan es considera com una funció definida al pla complex, la funció exponencial conserva les propietats importants següents

$\!\, e^{z + w} = e^z e^w$

$\!\, e^0 = 1$

$\!\, e^z \ne 0$

$\!\, {d \over dz} e^z = e^z$

per a tot z i w.

És una funció holomorfa periòdica amb període imaginari $2π i$ i es pot escriure com

$\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)$

on a i b són valors reals. Aquesta fórmula relaciona la funció exponencial amb les funcions trigonomètriques i les funcions hiperbòliques. Així veiem que tota funció elemental excepte els polinomis prové d'una funció exponencial.

Vegeu també la fórmula d'Euler.

Extenent el logaritme a arguments complexos s'obté una funció multivalorada, ln(z), és a dir, per a un element z obtenim una imatge amb més d'un element. Podem definir una exponenciació més general:

$\!\, z^w = e^{w \ln z}$

per a tot z i w complexos, que també és una funció multivalorada. Les propietats exponencials establertes anteriorment és mantenen per a aquesta funció si tenim present que es tracta d'una funció multivalorada.

La funció exponencial transforma una recta del pla complex en una espiral logarítmica del pla complex amb centre a l'origen de coordenades. Si la recta és paral·lela a l'eix real, l'espiral no arriba a tocar-se; i si la recta és paral·lela a l'eix imaginari, l'espiral degenera en un cercle.

[edita] Matrius i àlgebres de Banach

La definició de la funció exponencial donada anteriorment també és vàlida per a tota àlgebra de Banach, i en particular per matrius quadrades (en aquest cas la funció és anomenada la matriu exponencial). Tenim que:

$\ e^{x + y} = e^x e^y \mbox{ si } xy = yx$

$\ e^0 = 1$

$\ e^x$ és invertible amb inversa $\ e^{-x}$

la derivada de $\ e^x$ en el punt $\ x$ és l'aplicació lineal que envia $\ u$ a $\ ue^x$ .

En el context d'àlgbres de Banach no commutatives, tals com àlgebres de matrius o d'operadors en espais de Banach o de Hilbert, la funció exponencial sovint es considera com una funció amb argument real:

$\ f(t) = e^{t A}$