Fórmula d'Euler
De Viquipèdia
La Fórmula o relació d'Euler, és una fórmula matemàtica atribuida a Leonhard Euler, estableix que per a tot nombre real x:
e és la base del logaritme natural
i és la unitat imaginària
sin, cos són funcions trigonomètriques
Una propietat important d'aquesta fórmula d'Euler és que conté dos tipus de simetries: la parell i la imparell.
La fórmula pot interpretar-se geomètricament com una circumferència de radi unitari en el pla complex, dibuixada per la funció eix al variar x sobre els nombres reals. Així, x es l'angle d'una recta que connecta l'origen del pla i un punt sobre la circumferència unitària, amb l'eix positiu real, medit en sentit contrari a las agulles del rellotge i en radiants. La fórmula només és vàlida si també el sinus i el cosinus tenen el seu argument en radiants.
La demostració està basada en la expansió en sèrie de Taylor de la funció exponencial ez (onz és un nombre complex), i la expansió de sin x i cos x.
La fórmula d'Euler va ser demostrada per primer cop per Roger Cotes el 1714, redescoberta i popularitzada per Euler el 1748, cap dels dos descobridors va veure la interpretació geomètrica anterior: la visió dels nombres complexos como punts en el pla va sorgir uns 50 anys més tard (veure Caspar Wessel).
La fórmula proporciona una potent connexió entre l'anàlisis matemàtica i la trigonometria. S'utilitza per representar els nombres complexos en coordenades polars i permet definir el logaritme per a nombres complexos.
Una propietat important de la fórmula d'Euler és que és la única funció matemàtica que roman amb la mateixa forma -excepte per la unitat imaginària- amb les operacions d'integració i derivació del càlcul integral, el que permet que, en enginyeria elèctrica, s'utilitzi per a convertir equacions diferencials en equacions amb forma algebraica (per exemple en la resolució de circuits amb condensador i bobines), simplificant enormement aquestes operacions.
A partir de la fórmula d'Euler i les operacions amb funcions exponencials, es poden derivar diverses identitats trigonomètriques, així com la fórmula de De Moivre.
La fórmula d'Euler també permet interpretar les funcions sinus i cosinus com simples variacions de la funció exponencial:
En les equacions diferencials, la funció eix s'utiliza sovint per a simplificar derivades, fins i tot si la resposta final es una funció real en la que apareixen sinus o cosinus.
En enginyeria i altres disciplines, els senyals que varien periòdicament se solen descriure com una combinació de funcions sinus i cosinus (vegi's anàlisis de Fourier), per compactar el resultat d'utilitza l'exponencial complexa, utilitzant la fórmula de Euler.
[edita] Identitat d'Euler
De la fórmula d'Euler se'n deriva, el que es coneix com identitat d'Euler:
