Integral impròpia

De Viquipèdia

En càlcul, una integral impròpia és una extensió de la integral definida que permet calcular-la en intervals infinits o en intervals que contenen punts on la funció integrand tendeix a infinit.

Taula de continguts

1 Definició
2 Exemples
3 Questions d’interpretació
4 Valor principal de Cauchy
5 Enllaços externs

[edita] Definició

Punt singular a c.

Punt singular al infinit.

Els extrems infinits del interval o els punts de l’interval on la funció tendeix a infinit es diuen punts singulars.

La forma per poder calcular una integral en el cas que l’interval d’integració tingui punts singulars segueix dos passos:

Primer es transforma en una suma d’integrals definides de forma que els extrems dels intervals d’integració coincideixin com a màxim amb un punt singular i que no hi hagi cap punt singular dins dels intervals.

Desprès es defineix el valor d’una integral impròpia sobre un interval amb un punt singular en un dels extrems com el límit de una integral pròpia quant l’extrem tendeix al punt singular pel cantó del interior de l’interval. Per exemple, si la funció $f (x)$ tendeix a infinit en el punt 3, la integral:

$\int_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx}$

Es defineix com:

$\int_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx=}\int_{-\infty }^{0}{f(x)}dx+\int_{0}^{3}{f(x)dx+}\int_{3}^{4}{f(x)dx+}\int_{4}^{+\infty }{f(x)}dx$

On cada un dels termes es defineix com:

$\begin{align} & \int_{-\infty }^{0}{f(x)dx=\underset{h\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,}\int_{h}^{0}{f(x)dx} \\ & \int_{0}^{3}{f(x)dx=}\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int_{0}^{3-h}{f(x)}dx \\ & \int_{3}^{4}{f(x)dx=}\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int_{3+h}^{4}{f(x)}dx \\ & \int_{4}^{+\infty }{f(x)dx=}\underset{h\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{4}^{\infty }{f(x)}dx \\ \end{align}$

Si tots aquests límits existeixen (són finits) llavors la integral impròpia existeix i és igual al valor que s’obté en calcular els límits i sumar-los. En aquest cas es diu que la integral impròpia és convergent. Si alguns límits tendeixen a $+\infty$ i d’altres a $-\infty$ vegeu l'apartat de "valor principal de Cauchy més avall.

[edita] Exemples

La funció $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ tendeix a infinit al punt x=0, per tant aquest és un punt singular, però la integral:

$\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\int_{h}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}dx=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ 2\sqrt{x} \right]_{h}^{1}=2$

Existeix (és convergent).

Un cas de integral amb interval infinit:

$\int_{0}^{\infty }{e^{-x}dx=}\underset{h\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{0}^{h}{e^{-x}dx=1}$

En canvi la integral:

$\int_{0}^{1}{\frac{1}{x}}dx=\underset{h\to 0^{+}}{\mathop{\lim }}\,\int_{h}^{1}{\frac{1}{x}}dx=\underset{h\to 0^{+}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \ln \left( x \right) \right]_{h}^{1}=\infty$

Per tant la integral no existeix.

[edita] Questions d’interpretació

Hi ha més d’una teoria matemàtica de la integració. Des de el punt de vista del càlcul, la integral de Riemann és la teoria que se suposa que es fa servir si no es diu res. A l’hora d’estudiar les integrals impròpies, pot ser important saber quina és la teoria que s’està emprant.

En el cas de la integral

$\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}$

es pot interpretar com

$\lim_{b\to\infty}\int_0^b\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{b\to\infty}\arctan{b}=\frac{\pi}{2},$

Però no necessàriament s’ha d’interpretar així, també es pot interpretar com la integral de Lebesgue sobre el conjunt (0, ∞). En aquest cas no es tractaria d’una integral impròpia (dons sí que està definida i per tant no cal estendre la definició d’integral) i la utilització del límit només seria un eina per a calcular el valor que té la integral.

En canvi,

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx$

no pot ser interpretada com una integral de Lebesgue donat que

$\int_0^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\,dx=\infty.$

En aquest cas es tractaria de una integral impròpia "pròpiament dita" (perquè no està definida i cal estendre la definició) i el seu valor vindria donat per

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.$

[edita] Valor principal de Cauchy

Article principal: Calor principal de Cauchy

La definició d’integral impròpia encara es pot estendre més en el cas en que l'integral d’uns subintervals tendeixi a infinit i la d’una altres a menys infinit (per tant d’acord amb la definició donada al començament no existiria la integral impròpia) la suma de límits no existeix, però, de vegades, el límit de la suma si que existeixi.

Aquest és una altre cas de integrals impròpies “pròpiament dites” (perquè tampoc es poden interpretar com a integrals). Aquest cas té el problema de que depenent de com es calculi el límit donen valors diferents. Fixeu-vos en els valors diferents que donen els següents límits:

$\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_a^1\frac{dx}{x}\right)=0,$

$\lim_{a\rightarrow 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{dx}{x}+\int_{2a}^1\frac{dx}{x}\right)=-\ln 2.$

El primer és el valor principal de Cauchy del que altrament seria una expressió indeterminada

$\int_{-1}^1\frac{dx}{x}{\ } \left(\mbox{que }\ \mbox{dona}\ -\infty+\infty\right).$

De forma similar, es té

$\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=0,$

però

$\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,dx}{x^2+1}=-\ln 4.$

El primer és el valor principal del que altrament seria una expressió indeterminada

$\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,dx}{x^2+1}{\ } \left(\mbox{que}\ \mbox{dona}\ -\infty+\infty\right).$

Tots aquests casos són indeterminacions del tipus ∞ − ∞.

Aquestes patologies no afecten a les funcions que siguin "Lebesgue-integrables", es a dir, funcions tals que la integral del seu valor absolut sigui finita.

[edita] Enllaços externs

Numerical Methods to Solve Improper Integrals at Holistic Numerical Methods Institute

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa