Integral multiplicativa

De Viquipèdia

En càlcul infinitesimal la Integral multiplicativa és una versió multiplicativa de la integral. Varen ser desenvolupades per primer cop pel biòleg i matemàtic Vito Volterra a la dècada del 1890 per resoldre sistemes d'equacions diferencials. Des de llavors les integrals multiplicatives han estat d'utilitat en àrees que van des de la epidemiologia (L'estimador de Kaplan-Meier) fins a la dinàmica estocàstica de poblacions (multigrals), l'anàlisi i fins i tot en mecànica quàntica.

Les integrals multiplicatives no han tingut mai un tractament important en el desenvolupament de les matemàtiques, probablement degut a la notació poc intuïtiva que va fer servir en Volterra. Fins a la data, periòdicament s'han anat redescobrint les integrals multiplicatives i ha anat creixent una gama aclaparadora de terminologia i notació.

En aquest article es fa servir la notació "producte" $\prod$ per indicar la integral multiplicativa en comptes de la "integral" $\int$ (normalment modificada amb un símbol superposat de "multiplicació" o la lletra P) que és el que preferien en Volterra i d'altres. També s'ha adoptat una classificació arbitrària dels tipus d'integrals multiplicatives per tal d'imposar una mica d'ordre en aquest camp.

[edita] Definicions bàsiques

En la seva forma més bàsica les integrals es poden entendre com el límit d'una sèrie que calcula l'àrea tancada davall del gràfic de la funció $f (x)$

$\int f(x)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum{f(x_i){\Delta x}}$

Les integrals multiplicatives són semblants només que en comptes de calcular el límit d'una suma, calculen el límit d'un producte.

$\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{f(x)^{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{f(x_i)^{\Delta x}}$

Es pot entendre com un producte "continu" en comptes d'un producte "discret".

Ara bé, a diferència de les integrals normals, hi ha diferents tipus de integrals multiplicatives , que degut a la manca de terminologia amplament acceptada, es designaran de forma arbitrària com els Tipus I fins a III de més avall.

Tipus I:

$\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{f(x)^{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{f(x_i)^{\Delta x}} =\exp(\int_a^b {\ln(f(x))dx})$

Tipus II:

$\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{1+f(x)\,{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{(1+f(x_i){\Delta x})}$

Tipus III (sense dx):

$\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{f(x)}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{f(x_i)} =\exp(\int_a^b {\ln(f(x))})$

(nota: cal determinar les condicions en les quals $f (x), a, b$ convergeix i en el cas de l'últim tipus també s'ha de descriure la partició del domini per calcular el límit)

Els arguments ( $x$ ) de les expressions de dalt, poden ser tant variables reals com matrius (vegeu les referències de Gill més avall).

[edita] Exemple

$\; \sideset{}{_1^2}\prod_{x\in\Re}{x^{dx}} =\exp(\int_a^b {\ln(x)dx})=\exp(x\ln(x)-x)_1^2=4/e$

[edita] Resultats

Igual que en les integrals normals, les integrals multiplicatives tenen resultats equivalents (per f(x), a, b adequats) com ara:

El teorema fonamental

$\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{f^*(x)^{dx}}=\sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{\exp\left (\frac{f'(x)}{f(x)}dx\right )}=\frac{f(b)}{f(a)}$

on $f * (x) = exp(f'(x) / f (x))$ és la derivada multilicativa (o m-derivada).

Regla del producte

$\; (fg)^* = f^*g^*$

Regla del quocient

$\; (f/g)^* = f^*/g^*$

Llei dels grans nombres

$\; \sqrt[n] {X_1*X_2*...*X_n} \to \sideset{}{}\prod_{x}{X^{pr(x)dx}} \; quan\; n \to \infty$

on X és una variable aleatòria amb distribució de probabilitat pr(x)).

Comparant-la amb la Llei dels Grans Nombres estandard:

$\; \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} \; \to \; \int X*pr(x)dx\; quan \; n \to \infty$

(fixeu-vos que el que s'exposa més amunt és pel tipus I d'integrals multiplicatives. Els altres tipus donen altres resultats).

[edita] Referències

W. P. Davis, J. A. Chatfield, "Concerning Product Integrals and Exponentials" Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 4 (Aug., 1970), pp. 743-747, doi:10.2307/2036741
Volterra, V., Hostinsky, B, "Operations Infinitesimales Lineaires", Gauthier-Villars, Paris (1938).
Dollard, John D., Friedman, Charles, N., "Product integrals and the Schrödinger Equation", Journ. Math. Phys. 18 #8,1598-1607 (1977).

[edita] Enllaços externs

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa