Integraci?? de fraccions racionals

De Viquip??dia

La integraci?? de les funcions racionals (o trobar la seva funci?? primitiva) es fa descomponent la fracci?? racional en la suma d'un polinomi m??s una s??rie de fraccions racionals amb el denominador de grau dos com a m??xim i despr??s integrant cada fracci??.

Sia $f=\frac{P}{Q}$ , on P i Q s??n polinomis, si el grau de P ??s m??s gran que el grau de Q, es divideix P entre Q i s???escriu: $\frac{P}{Q}=P_{1}+\frac{P_{2}}{Q}$

Llavors es descompon $\frac{P_{2}}{Q}$ en una suma de fraccions racionals de la forma:

$\frac{P_{2}}{Q}=\frac{A_{n}}{\left( x-a \right)^{n}}+\ldots +\frac{A_{1}}{\left( x-a \right)}+\ldots +\frac{p_{m}x+q_{m}}{\left( \left( x-r \right)^{2}+s^{2} \right)^{m}}+\ldots +\frac{p_{1}x+q_{1}}{\left( x-r \right)^{2}+s^{2}}$

Per a obtenir aquesta descomposici??, es troben les arrels de Q, es descompon Q i es planteja una equaci?? on les A, p i q s??n inc??gnites, en plantejar que el polinomi $P 2$ sigui igual al numerador, cada terme ha de ser igual, de forma que s???obt?? un sistema d???equacions lineals amb tantes equacions i tantes inc??gnites com el grau del polinomi del denominador.

Llavors el problema queda redu??t a integrar cada un dels diferents tipus de fraccions que han quedat.

Taula de continguts

1 Polinomi de primer grau al denominador
2 Pot??ncia d???un polinomi de primer grau al denominador
3 Polinomi irreductible de segon grau al denominador
4 Polinomi irreductible de segon grau al denominador elevat a una pot??ncia
5 Vegeu tamb??

[edita] Polinomi de primer grau al denominador

La [[integraci?? per substituci??|substituci??] u = ax + b, du = a dx transforma la integral

$\int {1 \over ax+b}\,dx$

$\int {1 \over u}\,{du \over a}={1 \over a}\int{du\over u}={1 \over a}\ln\left|u\right|+C = {1 \over a} \ln\left|ax+b\right|+C.$

[edita] Pot??ncia d???un polinomi de primer grau al denominador

La mateixa substituci?? transforma la integral

$\int {1 \over (ax+b)^8}\,dx$

$\int {1 \over u^8}\,{du \over a}={1 \over a}\int u^{-8}\,du = {1 \over a} \cdot{u^{-7} \over(-7)}+C = {-1 \over 7au^7}+C = {-1 \over 7a(ax+b)^7}+C.$

[edita] Polinomi irreductible de segon grau al denominador

Suposeu una integral com per exemple

$\int {x+6 \over x^2-8x+25}\,dx.$

La forma m??s r??pida de veure que el denominador x² ??? 8x + 25 ??s irreductible ??s observar que el seu discriminant ??s negatiu.

Es transforma de la seg??ent manera:

$x^2-8x+25=(x^2-8x+16)+9=(x-4)^2+9\,$

La idea ??s fer la substituci??

$u=x^2-8x+25\,$

$du=(2x-8)\,dx$

$du/2=(x-4)\,dx$

Per aix?? caldria tenir x ??? 4 al numerador. Per aix?? es descomposa el numerador en x + 6 en (x ??? 4) + 10, i s???escriu la integral com a

$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx + \int {10 \over x^2-8x+25}\,dx.$

La substituci?? porta a:

$\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx = \int {du/2 \over u} = {1 \over 2}\ln\left|u\right|+C = {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25)+C.$

Ara cal resoldre la integral

$\int {10 \over x^2-8x+25} \, dx.$

Es fa:

$\int {10 \over x^2-8x+25} \, dx = \int {10 \over (x-4)^2+9} \, dx = \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx$

I tot seguit la substituci??

$w=(x-4)/3\,$

$dw=dx/3\,$

Que d??na

${10 \over 3}\int {dw \over w^2+1} = {10 \over 3} \arctan(w)+C={10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C.$

Ajuntant-ho tot,

$\int {x + 6 \over x^2-8x+25}\,dx = {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25) + {10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right) + C.$

[edita] Polinomi irreductible de segon grau al denominador elevat a una pot??ncia

Per exemple

$\int {x+6 \over (x^2-8x+25)^{8}}\,dx.$

Tal com abans, es parteix x + 6 en (x ??? 4) + 10, i es tracta la part que cont?? x ??? 4 via la substituci??

$u=x^2-8x+25,\,$

$du=(2x-8)\,dx$

$du/2=(x-4)\,dx.$

Aix?? deixa

$\int {10 \over (x^2-8x+25)^{8}}\,dx.$

Tal com abans, s???obt??

$\int {10 \over (x^2-8x+25)^{8}}\,dx =\int {10 \over ((x-4)^2+9)^{8}}\,dx =\int {10/9^{8} \over \left(\left({x-4 \over 3}\right)^2+1\right)^8}\,dx.$

Llavors es fa servir la substituci??:

$\tan\theta={x-4 \over 3},\,$

$\left({x-4 \over 3}\right)^2+1=\tan^2\theta+1=\sec^2\theta,\,$

$d\tan\theta=\sec^2\theta\,d\theta={dx \over 3}.\,$

Aix?? la integral esdev??

$\int {30/9^{8} \over \sec^{16}\theta} \sec^2\theta \,d\theta ={30 \over 9^{8}}\int \cos^{14} \theta \, d\theta$

Aplicant repetidament la f??rmula del angle meitat

$\cos^2\theta={1 \over 2}+{1 \over 2} \cos(2\theta)\,$

Es pot reduir a una integral que no implica pot??ncies del cos ?? m??s grans que la unitat.

Llavors es t?? el problema de una expressi?? amb el sin(??) i el cos(??) com a funcions de x. Com que

$\tan(\theta)={x - 4 \over 3},$

I la tangent = catet oposat/adjacent. Si el catet "oposat" t?? la longitud x ??? 4 i l???"adjacent" t?? la longitud 3, llavors pel teorema de Pit??gores la hipotenusa t?? de longitud ???((x ??? 4)² + 3²) = ???(x² ???8x + 25).

Per tant es t??

$\sin(\theta) = {\mathrm{oposat} \over \mathrm{hipotenusa}} = {x-4 \over \sqrt{x^2 - 8x + 25}},$

$\cos(\theta) = {\mathrm{adjacent} \over \mathrm{hipotenusa}} = {3 \over \sqrt{x^2 - 8x + 25}},$

$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = {6(x-4) \over x^2 - 8x + 25}.$

[edita] Vegeu tamb??

Llista d'integrals de funcions racionals

Integraci??

C??lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integraci?? simb??lica ?? Integral de Gau?? ?? Integral no elemental ?? Constant d???integraci?? ?? Algorisme de Risch ?? Funcions elementals ?? Teorema de Fubini ?? M??tode d'exhausti??
De fraccions racionals ?? Per canvi de variable ?? Per parts ?? Per substituci?? trigonom??trica ?? Per s??ries ?? Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals ?? Integrals de funcions irracionals ?? Integrals de funcions exponencials ?? Integrals de funcions logar??tmiques ?? Integrals de funcions trigonom??triques ?? Integrals inverses de funcions trigonom??triques ?? Integrals de funcions hiperb??liques ?? Integrals de funcions inverses de les funcions hiperb??liques
Definicions d'integraci??
Integral de Bochner ?? Integral de Darboux ?? Integral de Henstock-Kurzwe ?? Integral de Lebesgue ?? Integral de Lebesgue-Stieltjes ?? Sumatori de Riemann ?? Integral de Riemann ?? Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impr??pia ?? Integral m??ltiple ?? Integral multiplicativa ?? Integral de superf??cie ?? Integral curvil??nia ?? Teorema de Fubini
Integraci?? num??rica
M??tode de Simpson ?? M??tode trapezial ?? M??tode rectangular ?? M??tode de Romberg ?? Integraci?? de Montecarlo ?? F??rmules de Newton-Cotes ?? Sumatori de Riemann ?? Quadratura de Gauss ?? Quadratura adaptativa