Quadratura adaptativa

De Viquipèdia

En càlcul, la quadratura adaptativa és un procés en el qual es troba una aproximació de la integral definida d'una funció $f (x)$ emprant un mètode estàtic d'integració numèrica sobre uns subintervals d'integració que es divideixen de forma adaptativa. En general, els algorismes adaptatius són tan eficients i efectius com els algorismes tradicionals pel cas de funcions amb "bon comportament", però també son efectius per a funcions amb "mal comportament" per a les quals els algorismes tradicionals fallen.

[edita] Esquema general

La quadratura adaptativa segueix el següent esquema general

1. procediment integrar ( f , a , b , tau )
2.    
3.    
4.    si  llavors
5.       m = (a + b) / 2
6.       Q = integrar(f,a,m,tau) + integrar(f,m,b,tau)
7.    fi si
8.    retorna Q

Es calcula una aproximació $Q$ a la integral de $f (x)$ sobre l'interval $[a, b]$ (línia 2), així com una estimació de l'error $\varepsilon$ (linia 3). Si l'error estimat és més gran que la tolerància requerida $τ$ (línia 4), llavors, l'interval es subdivideix (línia 5) i s'aplica la quadratura a totes dues meitats per separat (línia 6). Ja sigui l'estimació inicial o la suma de les dues meitats calculades de forma recursiva és el resultat que es retorna (línia 7).

Els component importants són:

el mètode de quadratura

$Q \approx \int_a^bf(x)\,\mbox{d}x ,$

la forma de fer l'estimació de l'error

$\varepsilon \approx \left|Q - \int_a^bf(x)\,\mbox{d}x\right| ,$

i la lògica per decidir quin interval s'ha de subdividir i quant s'ha d'acabar.

[edita] Mètode bàsic de quadratura

Els mètodes de quadratura, generalment tenen la forma

$Q_n \quad = \quad \sum_{i=0}^n w_if(x_i) \quad \approx \quad \int_a^b f(x)\,\mbox{d}x$

On els nodes $x i$ i els pesos $w i$ en general es tenen precalculats.

En el cas més simple, es fan servir les fórmules de Newton-Cotes de grau parell, on els nodes $x i$ estàn uniformement espaiats dins l'interval:

$x_i = a + \frac{i}{n}(b - a)$ .

Quan es fan servir aquest tipus de mètodes, els punts als quals $f (x)$ ha estat avaluada es poden reutilitzar al subdividir l'interval:

Una estratègia similar es fa sevir amb la quadratura de Clenshaw-Curtis, on els nodes es trien com

$x_i = \cos\left( \frac{2i}{n}\pi \right)$

O quant es fa servir la quadratura de Fejér,

$x_i = \cos\left( \frac{2(i+0.5)}{n+1}\pi \right)$ .

Un algorisme pot decidir fer servir diferents mètodes de quadratura sobre diferents subintervals, per exemple emprant un mètode d'ordre elevat només quant l'integrand és suau.

[edita] Estimació de l'error

Alguns algorismes de quadratura generen una successió de resultats que haurien d'aproximar el valor correcte. Altrament es pot fer servir un "mètode nul" que té la forma del mètode de quadratura de més amunt però que el seu valor hauria de ser zero per a un integrand simple (per exemple, si l'integrand fos un polinomi del grau adequat).

Vegeu:

extrapolació de Richardson
mètode de Romberg

[edita] Lògica de subdivisió

Un mètode de quadratura "Local" fa que l'error acceptable per a un interval donat sigui proporcional a la longitud de l'interval. Aquest criteri pot ser difícil de satisfer si l'integrand té un mal comportament només en uns quant punts, per exemple unes quantes discontinuïtats de salt. Alternativament, es podria requerir només que la suma dels errors de tots els subintervals sigui més petita que els requeriments de l'usuari. Això seria una quadratura adaptativa "global". Les quadratures adaptatives globals poden ser més eficients (emprant menys avaluacions de l'integrand) però en general són més complexes de programar i poden requerir més espai de treball per emmagatzemar la informació del conjunt d'intervals a cada moment.

[edita] Vegeu també

Mètode de Simpson adaptatiu per veure un exemple de quadratura adaptativa

[edita] Referències

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa