Integral de Lebesgue-Stieltjes

De ViquipÃ¨dia

En matemÃ tiques la integral de Lebesgue-Stieltjes generalitza la integral de Riemann-Stieltjes i la integral de Lebesgue, preservant molts dels avantatges d'aquesta Ãºltima, perÃ² en un marc teÃ²ric de la mesura mÃ©s general.

La integral de Lebesgue-Stieltjes, que s'anomena aixÃ en honor de Henri Leon Lebesgue i Thomas Joannes Stieltjes, tambÃ© es coneix com la integral de Lebesgue-Radon o nomÃ©s la integral de Radon, en honor a Johann Radon, a qui es deu molta de la teoria d'aquest tema. TÃ© aplicaciÃ³ en la teoria de la probabilitat, i els processos estocÃ stics, i en certes branques del anÃ lisi matemÃ tica que inclouen la teoria del potencial.

Taula de continguts

[amaga]

1 ConstrucciÃ³ formal
2 IntegraciÃ³ per parts
3 Conceptes relacionats
- 3.1 Integral de Lebesgue
- 3.2 Integral de Riemann-Stieltjes i la teoria de la probabilitat
4 ReferÃ¨ncies
5 EnllaÃ§os externs

[edita] ConstrucciÃ³ formal

Per tal de definir la integral de Lebesgue-Stieltjes, es comenÃ§a per associar una mesura, Î¼_w, amb una funciÃ³ additiva no negativa d'un interval, w(I), la qual ha de ser de variaciÃ³ afitada. Sia (Î©, F) un espai mesurable tal que w tÃ© suport a F, llavors es defineix

$(1) \quad \mu_w(E) := \inf \left\{\sum_j w(I_j) : E \subseteq \Omega, \, E \subset \bigcup_j I_j \right\},$

(l'Ãnfim sobre totes les successions d'intervals {I_j}). Fixeu-vos que es pot demostrar que Î¼_w Ã©s una mesura exterior de Lebesgue.

Tot seguit es passa a construir la integral de Lebesgue-Stieltjes d'una funciÃ³ mesurable no negativa seguint un estil similar al que es fa servir per construir la integral de Lebesgue corresponent. Si (Î©, F, Î¼_w) Ã©s un espai mesurable, llavors es pot definir la integral de qualsevol funciÃ³ esglaonada s = Î£_i a_i1_{A_i} (on 1_A Ã©s la funciÃ³ caracterÃstica de A) com

$\int s \, d\mu_w = \sum_i a_i \mu_w(A_i).$

Llavors, si f Ã©s una Î¼_w-aplicaciÃ³ mesurable, f:(Î©, F) â†’ [0, +âˆž], es pot definir la integral de f respecte de Î¼_w sobre E âŠ† Î©, com

$(2) \quad \int_E f \, d\mu_w = \sup\left\{\int s\,d\mu_w^E : s < f, s\ \mbox{simple}\,\right\},$

on Î¼_w^E(â€¢) = Î¼_w(Eâˆ©â€¢) a E i 0 fora de E. (Si E = Î©, Î¼_w^Î© = Î¼_w.)

per suposat que, sovint cal calcular la integral de funcions mesurables arbitrÃ ries (no nomÃ©s no negatives) f:(Î©, F) â†’ Râˆª{-âˆž, +âˆž}, perÃ² (al igual que en el cas de la integral de Lebesgue) aquestes integrals es costrueixen a partir de dues funcions no negatives. Si g:(Î©, F) â†’ [0, +âˆž] i h:(Î©, F) â†’ [0, +âˆž] de forma que g = max(0,f) i h = max(-f,0), llavors Ã©s clar que f = g - h i

$\int_E f \, d\mu_w = \int_E g \, d\mu_w - \int_E h \, d\mu_w.$

Ara ja es tÃ© una teoria de la integral de Lebesgue-Stieltjes de funcions arbitrÃ ries f, respecte de mesures Î¼_w associades amb funcions de variaciÃ³ afitada additives no negatives dâ€˜un interval. Normalment es vol tractar amb mesures associades amb funcions additives arbitrÃ ries, ara bÃ©, suposant que v Ã©s una funciÃ³ additiva de variaciÃ³ afitada arbitrÃ ria (es a dir, no cal que sigui no negativa) d'un interval. Sian w₁ i w₂ les variacions superior e inferior de v, respectivament. Llavors

$(3) \quad \mu_v(E) = \mu_{w_1}(E) - \mu_{-w_2}(E),$

On les mesures Î¼_w₁ i Î¼_-w₂ es defineixen com a l'equaciÃ³ (1), de mÃ©s amunt.

Finalment ja es tÃ© l'equipament necessari per a definir la integral de Lebesgue-Stieltjes d'una funciÃ³ f arbitrÃ ria respecte de una mesura associada amb una funciÃ³ additiva arbitrÃ ria d'un interval, v, la qual ha de ser de variaciÃ³ afitada.

Sia g = max(0, f) i h = max(-f, 0), i sian w₁ i w₂ la variaciÃ³ superior i inferior de v, respectivament. Llavors si Î¼_v es defineix d'acord amb les equacions (1) i (3), la integral de Lebesgue-Stieltjes de f respecte de Î¼_v Ã©s

$\int_E f \, d\mu_v = \left(\int_E g \, d\mu_{w_1} - \int_E h \, d\mu_{w_1}\right) - \left(\int_E g \, d\mu_{-w_2} - \int_E h \, d\mu_{-w_2}\right),$

On cada una de les integrals del cantÃ³ dret d'aquesta equaciÃ³ es defineixen d'acord amb (2).

[edita] IntegraciÃ³ per parts

Es diu que una funciÃ³ $f$ Ã©s "regular" en un punt $a$ si els lÃmits per la dreta i per l'esquerra $f (a + )$ i $f (a âˆ’ )$ existeixen, i el valor de la funciÃ³ al punt Ã©s la mitjana aritmÃ¨tica,

$f(a)=\frac{1}{2}\left(f(a-)+f(a+)\right)$ ,

Donades dues funcions $U$ i $V$ , si a cada punt, tant $U$ com $V$ sÃ³n contÃnues, o si tant $U$ com $V$ sÃ³n regulars, llavors es compleix la fÃ³rmula d'integraciÃ³ per parts per a la integral de Lebesgue-Stieltjes:

$\int_a^b U\,dV+\int_a^b V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-)$ ,

on $b > a$ .

[edita] Conceptes relacionats

[edita] Integral de Lebesgue

Quan Î¼_v Ã©s la mesura de Lebesgue, llavors la integral de Lebesgue-Stieltjes de f Ã©s equivalent a la integral de Lebesgue de f.

[edita] Integral de Riemann-Stieltjes i la teoria de la probabilitat

Si f Ã©s una funciÃ³ real d'una variable real i v Ã©s una funciÃ³ real no decreixent, la integral de Lebesgue-Stieltjes Ã©s equivalent a la integral de Riemann-Stieltjes, en aquest cas sovint s'escriu

$\int_a^b f(x) \, dv(x)$

per indicar la integral de Lebesgue-Stieltjes, deixant que la mesura Î¼_v s'entengui de forma implÃcita. AixÃ² Ã©s particularment comÃº en teoria de la probabilitat quan v Ã©s la funciÃ³ distribuciÃ³ de probabilitat d'una variable aleatÃ²ria real, en aquest cas

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dv(x) = \mathrm{E}[f(X)].$

[edita] ReferÃ¨ncies

Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

[edita] EnllaÃ§os externs

Saks, Stanislaw (1937) Theory of the Integral.
www.probability.net Probability and foundations tutorial.

IntegraciÃ³

CÃ lcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ IntegraciÃ³ simbÃ²lica Â· Integral de GauÃŸ Â· Integral no elemental Â· Constant dâ€™integraciÃ³ Â· Algorisme de Risch Â· Funcions elementals Â· Teorema de Fubini Â· MÃ¨tode d'exhaustiÃ³
De fraccions racionals Â· Per canvi de variable Â· Per parts Â· Per substituciÃ³ trigonomÃ¨trica Â· Per sÃ¨ries Â· Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals Â· Integrals de funcions irracionals Â· Integrals de funcions exponencials Â· Integrals de funcions logarÃtmiques Â· Integrals de funcions trigonomÃ¨triques Â· Integrals inverses de funcions trigonomÃ¨triques Â· Integrals de funcions hiperbÃ²liques Â· Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbÃ²liques
Definicions d'integraciÃ³
Integral de Bochner Â· Integral de Darboux Â· Integral de Henstock-Kurzwe Â· Integral de Lebesgue Â· Integral de Lebesgue-Stieltjes Â· Sumatori de Riemann Â· Integral de Riemann Â· Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral imprÃ²pia Â· Integral mÃºltiple Â· Integral multiplicativa Â· Integral de superfÃcie Â· Integral curvilÃnia Â· Teorema de Fubini
IntegraciÃ³ numÃ¨rica
MÃ¨tode de Simpson Â· MÃ¨tode trapezial Â· MÃ¨tode rectangular Â· MÃ¨tode de Romberg Â· IntegraciÃ³ de Montecarlo Â· FÃ³rmules de Newton-Cotes Â· Sumatori de Riemann Â· Quadratura de Gauss Â· Quadratura adaptativa