Integració simbòlica

De Viquipèdia

Integració simbòlica és el problema de trobar una fórmula per a la primitiva, o integral indefinida, de una funció donada f(x), és a dir, trobar una funció derivable F(x) tal que

$\frac{dF}{dx} = f(x)$

Això també s'escriu

$F(x) = \int f(x)dx$

La paraula simbòlica es fa servir per a distingir aquest problema de la integració numèrica, on el que es busca és el valor de F en un punt o un conjunt particular de punts.

Tots dos problemes han tingut una gran importància pràctica i teòrica abans del desenvolupament dels ordinadors, però actualment es consideren dins el domini de la informàtica, degut a que la aplicació dels ordinadors els ha donat un punt de vista singular. Es tracta de descriure algorismes que es puguin programar en un ordinador que siguin capaços de fer aquestes tasques.

Trobar la derivada de una expressió és un procés directe per al qual és fàcil de construir un algorisme. La qüestió inversa de trobar una primitiva és molt més difícil. Moltes expressions que són relativament simples no tenen integrals que es pugin expressar en una forma tancada. Vegeu primitiva per a més detalls.

Existeix un procediment anomenat algorisme de Risch que és capaç de determinar si una integral existeix i si existeix donar la seva expressió, per a moltes classes d'expressions, aquest tipus d'algorismes (en el moment d'escriure a quest article 2008) encara estan en procés de desenvolupament i d'expansió.

[edita] Exemple

$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$

És un resultat simbòlic d'una integral indefinida (aquí C és una constant d'integració), mentre que

$\int_{-1}^1 x^2\,dx = \frac{2}{3}$

És un resultat numèric de la integral definida.

[edita] Vegeu també

[edita] Referències

Symbolic Integration 1 (transcendental functions) by Manuel Bronstein, 1997 by Springer-Verlag, ISBN 3-540-60521-5
Joel Moses, Symbolic integration: the stormy decade, Proceedings of the second ACM symposium on Symbolic and algebraic manipulation, p.427-440, March 23-25, 1971, Los Angeles, California, United States

[edita] Enllaços externs

Integració

Càlcul de primitives
$\int_a^b f(x)\,dx$ Integració simbòlica · Integral de Gauß · Integral no elemental · Constant d’integració · Algorisme de Risch · Funcions elementals · Teorema de Fubini · Mètode d'exhaustió
De fraccions racionals · Per canvi de variable · Per parts · Per substitució trigonomètrica · Per sèries · Integral de la secant al cub
Taules d'integrals
Integrals de funcions racionals · Integrals de funcions irracionals · Integrals de funcions exponencials · Integrals de funcions logarítmiques · Integrals de funcions trigonomètriques · Integrals inverses de funcions trigonomètriques · Integrals de funcions hiperbòliques · Integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques
Definicions d'integració
Integral de Bochner · Integral de Darboux · Integral de Henstock-Kurzwe · Integral de Lebesgue · Integral de Lebesgue-Stieltjes · Sumatori de Riemann · Integral de Riemann · Integral de Riemann-Stieltjes
Extensions de la integral
Integral impròpia · Integral múltiple · Integral multiplicativa · Integral de superfície · Integral curvilínia · Teorema de Fubini
Integració numèrica
Mètode de Simpson · Mètode trapezial · Mètode rectangular · Mètode de Romberg · Integració de Montecarlo · Fórmules de Newton-Cotes · Sumatori de Riemann · Quadratura de Gauss · Quadratura adaptativa