Constant d???integraci??

De Viquip??dia

En c??lcul, la integral indefinida d'una funci?? donada (es a dir el conjunt de totes les primitives de la funci??) s???escriu sempre amb una constant, la constant d'integraci??. Aquesta constant expressa una ambig??itat inherent a la construcci?? de primitives. Si una funci?? f es defineix en un interval i F ??s una primitiva de f, llavors el conjunt de totes les primitives de f v?? donat per les funcions F (x) + C, amb C, una constant arbitr??ria.

[edita] Origen de la constant

La derivada de qualsevol funci?? constant ??s zero. Un cop s???ha trobat una primitiva F, sumant-li o restant-li una constant C s???obt?? una altra primitiva, perqu?? (F + C) ' = F ' + C ' = F '. La constant ??s una manera d'expressar que cada funci?? t?? un nombre infinit de primitives diferents. Per exemple, suposeu que es vol trobar les primitives de cos(x). Una d???aquestes primitives ??s sin(x). Un altre ??s sin(x)+1. Una tercera ??s sin(x)-??. Cada una d'aquestes funcions t?? per derivada cos(x), per tant totes s??n primitives de cos(x). Resulta que afegir i restar constants ??s l'??nic grau de llibertat que hi ha en trobar primitives diferents de la mateixa funci??. ??s a dir, totes les primitives s??n les mateixes tret d???una constant. Per expressar aquest fet per a cos(x), s???escriu:

Substituint C per un nombre qualsevol, s???obt?? una primitiva. En canvi, escrivint C en comptes d'un nombre s'obt?? una descripci?? compacta de totes les primitives possibles de cos(x). C s'anomena la constant d'integraci??. Es pot comprovar facilment que totes aquestes funcions s??n, en efecte, primitives de cos(x):

[edita] Necessitat de la constant

A primera vista pot semblar que la constant es innecess??ria, ja que es pot posar a zero. A m??s, en avaluar integrals definides emprant el teorema fonamental del c??lcul, la constant sempre s'anul??lar??. Per??, intentar posar la constant igual a zero, no sempre t?? sentit. Per exemple, 2sin(x)cos(x) es pot integrar de dues maneres diferents:

Per tant fixant C a qulsevol valor encara deixa una constant. Aix?? significa que, per a una funci?? donada, no hi ha cap f??rmula "m??s simple". Ignorant la constant d'integraci??, es pot construir una demostraci?? que 1=0, que ha de ser ??bviament inv??lida. Un altre problema amb igualar C a zero ??s que a vegades es vol trobar una primitiva que t?? un valor donat en un punt donat. Per exemple, per a obtenir la primitiva de cos(x) que t?? el valor 100 a x =??,nom??s hi ha un valor de C que funciona (en aquest cas C = 100). Aquesta restricci?? es pot reformular en el llenguatge de les equacions diferencials. Trobar una integral indefinida d'una funci?? f(x) ??s el mateix que resoldre l'equaci?? diferencial dy/dx = f(x) . Qualsevol equaci?? diferencial t?? moltes solucions, i cada constant representa la soluci?? ??nica d'un problema de valor inicial ben definit. Imposar la condici?? que la primitiva prengui el valor 100 a x = ?? ??s una condici?? inicial. Cada condici?? inicial correspon a un i nom??s un valor de C, aix?? sense C seria impossible resoldre el problema. Hi ha una altra justificaci??, que ve de l'??lgebra abstracta. L'espai de totes les funcions reals sobre el conjunt dels nombres reals (adequades) ??s un espai vectorial, i l'operador diferencial

d/dx

??s un operador lineal. L???operador d/dx fa correspondre una funci?? a zero si i nom??s si la funci?? ??s constant. Conseg??entment, el nucli de d/dx ??s l'espai de totes les funcions constants. El proc??s d'integraci?? indefinida equival a trobar una antiimatge d'una funci?? donada. No hi ha cap antiimatge can??nica per a una funci?? donada, per?? el conjunt de totes les tals antiimatges formen una classe lateral. Escollir una constant ??s el mateix que escollir un element de la classe lateral. En aquest context, resoldre un problema de valor inicial s???interpreta com pert??nyer a l'hiperpl?? donat per les condicions inicials.

[edita] Motiu per a una difer??ncia constant entre primitives

Aquest resultat es pot establir formalment d???aquesta forma: Siguin F:R???R i G:R???R dues funcions derivables a tot arreu. Suposeu que F'(x) = G'(x) per a tots els nombres reals x. Llavors existeix un nombre real C tal aquell F(x) - G(x) = C per a tot x real. Per demostrar aix??, fixeu-vos que [F(x) - G(x)]' = 0. Per tant F es pot substituir per F-G i G per la funci?? constant 0, aix?? transforma el problema en el de demostrar que una funci?? derivable a tot arreu que t?? per derivada la funci?? constant zero ha de ser la funci?? constant: S???escull un nombre real a, i es fa C=F (a). Per a qualsevol x, el teorema fonamental del c??lcul estableix que

Que implica que F(x)=C. Per tant F ??s una funci?? constant.

Hi ha dos fets crucials en aquesta prova. Primer, la recta real ??s un espai connex. Si la recta real no fos connexa,no sempre es podria integrar des de un punt fix a fins a qualsevol x donat. Per exemple si es tract??s de funcions definides en la uni?? dels intervals[0,1] i [2,3], i si a fos 0, llavors no seria possible integrar de 0 a 3, perqu?? la funci?? no estaria definida entre 1 i 2. En aquest cas hi hauria dues constants, una per a cada component connex del domini de la funci??. En general, a base de substituir constants per funcions localment constants es pot extendre aquest teorema a dominis no connexos.

Segon, F i G s???ha suposat que s??n derivables a tot arreu. Si F i G no s??n derivables a tant sols un punt, el teorema falla. Per exemple, sia F(x) la funci?? gra??, que val 0 per a valors negatius de x i 1 per a valors no negatius de x, i sia G(x)=0. Llavors la derivada de F es zero a atot arreu on est?? definida, i la derivada de G es sempre zero. Tanmateix ??s clar que F i G no difereixen en una constant.

Fins i tot si se suposa que F and G s??n cont??nues a tot arreu i derivables gaireb?? a tot arreu el teorema encara falla. Com a exemple, agafis com a F la funci?? de Cantor i altre cop sia G = 0.