Polígon

De Viquipèdia

Per a altres significats, vegeu «Polígon (desambiguació)».

Un polígon (del grec, "molts angles") és una figura geomètrica plana formada per un nombre finit de segments lineals sequencials. Cada un d'aquests segments és un costat, i cada un dels punts on s'uneixen dos costats és un vèrtex. Sovint, el terme polígon també s'utilitza per descriure l'àrea compresa dins de la figura, o la unió de la figura i l'àrea.

Els polígons amb tots els seus costats i angles iguals s'anomenen polígons regulars.

[edita] Noms i tipus

Un hexàgon simple còncau.

Un pentàgon complex.

Els polígons reben un nom segons el nombre de costats, combinant un prefix numèric derivat del grec amb el sufix -gon, com ara pentàgon, dodecàgon. El triangle i el quadrilàter són excepcions a aquesta regla. Per polígons de molts costats, els matemàtics escriuen el propi numeral, per exemple: 17-gon. També es pot fer servir una variable, normalment n-gon, quan s'utilitza el nombre de costats en una fórmula.

**Nom dels polígons**
Nom	Costats
Triangle	3
Quadrilàter	4
Pentàgon	5
Hexàgon	6
Heptàgon	7
Octàgon	8
Enneàgon (o "nonàgon")	9
Decàgon	10
Hendecàgon	11
Dodecàgon	12
Triskaidecàgon	13
Pentadecàgon	15
Heptadecàgon	17
Enneadecàgon	19
Icosàgon	20
Triacontàgon	30
Hectàgon	100
Quiliògon	1.000
Miriàgon	10.000

[edita] Anomenar polígons

Per construir el nom d'un polígon de més de 20 i menys de 100 costats, es combinen els prefixos de la següent manera:

Desenes		i	Unitats		Sufix final
Desenes		-kai-	1	-hena-	-gon
20	icosi-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	enneaconta-		9	-ennea-

Per exemple, una figura de 42 costats s'anomenaria així:

Desenes	i	Unitats	Sufix final	Nom complet del polígon
tetraconta-	-kai-	-di-	-gon	tetracontakaidígon

i una figura de 50 costats

Desenes	i	Unitats	Sufix final	Nom complet del polígon
pentaconta-			-gon	pentacontàgon

[edita] Classificació taxonòmica

La següent gràfica il·lustra la classificació taxonòmica dels polígons:

                                      Polígon
                                     /       \
                                 Simple     Complex
                                /      \      /
                           Convex    Còncau  /
                            /    \     /    /
                       Cíclic     Equilàter
                           \     /    
                           Regular

Un polígon és simple si està descrit per una sola frontera sense interseccions (i per tant divideix el pla en una zona interior i una zona exterior); en cas contrari s'anomena complex.
Un polígon simple s'anomena convex si no té angles interns més grans que 180º; en cas contrari s'anomena còncau.
Un polígon simple s'anomena equilàter si tots els costats tenen la mateixa longitud. (Un polígon de 5 o més costats pot ser còncau i equilàter alhora).
Un polígon convex s'anomena concíclic o polígon cíclic si tots els seus vèrtexs formen un únic cercle.
Un polígon cíclic i equilàter s'anomena regular. Per cada nombre de costats, tots els polígons regulars amb el mateix nombre de costats són semblants.
Un polígon complex també pot ser definit com a regular si es cíclic i equilàter. Aquests polígons s'anomenen polígons estrella.

Els polígons regulars més comuns reben aquests noms:

Triangle equilàter
Quadrat
Pentàgon regular
Hexàgon regular
Octàgon regular

Altres menys comuns són:

Heptàgon regular
Nonàgon regular
Decàgon regular
Dodecàgon regular (12 costats)

[edita] Propietats

[edita] Angles

Qualsevol polígon, regular o irregular, complex o simple, té tants angles com costats. La suma dels angles interiors d'un polígon simple és $(n - 2)π$ (o bé $(n-2)180^\circ$ ), essent n el nombre de costats.

A partir d'aquesta fórmula, podem calcular l'obertura de cada angle interior d'un polígon regular dividint la suma dels angles entre el nombre de costats: $\frac{(n-2)180^\circ}{n}$ .

[edita] Àrea

Apotema d'un hexàgon.

Una de les fórmules per calcular l'àrea d'un polígon regular és la següent:

$A=\frac{P{\cdot}ap}{2}$

la meitat del perímetre multiplicat per la longitud de l'apotema (la línia que uneix el centre del polígon i un costat perpendicularment)

Una de les fórmules per calcular l'àrea d'un polígon qualsevol, del cual es coneixen les n coordenades dels vértexs ve donada pel Teorema de fcsc $A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1} x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i\,$