Triangle

De Viquipèdia

Aquest article tracta sobre la figura geomètrica. Per a altres significats, vegeu «Triangle (desambiguació)».

Un triangle

Un triangle és un polígon de tres costats. En geometria euclidiana tres punts no alineats defineixen sempre un únic pla i un únic triangle.

La branca de les matemàtiques que tracta les relacions internes dels triangles és la trigonometria.

[edita] Tipus de triangles

[edita] Classificació segons els costats

Els triangles es poden classificar segons la longitud dels seus costats:

Triangle equilàter és aquell en què tots tres costats tenen la mateixa llargada. Un triangle equilàter també és equiangular, és a dir, que tots els seus angles interns són iguals (60 graus).
Triangle isòsceles és aquell en què dos dels costats són iguals. Un triangle isòsceles també té dos angles interns iguals.
Triangle escalè és el que té tots els costats de diferent longitud. Els angles interns d'un triangle escalès són tots diferents.

Triangle equilàter

Triangle isòsceles

Triangle escalè

[edita] Classificació segons els angles

També es poden classificar segons els seus angles interns:

Triangle rectangle té un angle intern de 90 graus (angle recte). El costat oposat a l'angle recte és la hipotenusa, que és el costat més llarg del triangle rectangle. Els altres dos costats es diuen catets.
Triangle obtusangle té un angle intern de més de 90 graus (angle obtús).
Triangle acutangle té els tres angles interns de menys de 90 graus (angles aguts).

Triangle rectangle

Triangle obtusangle

Triangle acutangle

[edita] Punts línies i cercles associats a un triangle

[edita] Medianes i centre de gravetat

Medianes i baricentre d'un triangle

Article principal: Mediana (geometria)

Article principal: baricentre

Es diu mediana d'un triangle cadascuna de les tres rectes que passen per un vèrtex del triangle i pel punt mig del costat oposat a aquest vèrtex. Cadascuna de les tres medianes divideix el triangle en dos triangles d'àrees iguals. Les tres medianes d'un triangle són concurrents. El seu punt d'intersecció $G \,$ s'anomena centre de gravetat o baricentre del triangle. Si el triangle fos una placa sòlida homogènia, podria sostenir-se en equilibri sobre una punta posant-la exactament per aquest punt $G$ .

El centre de gravetat del triangle també és el centre de gravetat dels vèrtex. La distància entre el baricentre i un vèrtex és 2/3 de la distància entre el vèrtex i el punt mig del costat oposat.

[edita] Mediatrius i cercle circumscrit

Mediatrius, circumferència circumscrita i circumcentre d'un triangle.

Article principal: Circumferència circumscrita

S'anomena mediatriu d'un triangle a cada una de les mediatrius dels deus costats.

Com que la mediatriu d'un segment és el lloc geomètric dels punts equidistants dels extrems del segment, el punt on es tallen dues de les mediatrius del triangle és equidistant las tres vèrtex, per tant és el centre de la circumferència que passa per tots tres i per tant també és un punt que pertany a la tercera mediatriu.

Es pot afirmar que :

Un triangle és obtusangle si i només si el seu circumcentre és exterior al triangle
Un triangle és acutangle si i només si el seu circumcentre és interior al triangle
Un triangle és rectangle si i només si el seu circumcentre és en un costat del triangle.

[edita] Bisectrius i circumferència inscrita

Un triangle (negre) amb la circumferència inscrita, l'incentre i les bisectrius internes.

Article principal: Incentre

Les bisectrius d'un triangle són les tres bisectrius interiors dels seus angles.

La circumferència inscrita és la circumferència que és tangent als tres costats del triangle i el seu centre és l'incentre del triangle.

La bisectriu d'un angle té la propietat de ser el lloc geomètric del centre de les circumferències que són tangents simultàniament als dos costats adjacents de l'angle, per tant el punt on es troben dues de les bisectrius és el centre de la circumferència que és tangent als tres costats del triangle, i per això la tercera bisectriu també ha de passar per aquest punt.

[edita] Altures i ortocentre

Altures i ortocentre d'un triangle

Article principal: Altura (triangle)

Les altures d'un triangle són cadascuna de les tres rectes que passen per un dels seus vertex i són perpendiculars al costat oposat. L'ortocentre d'un triangle és el punt on es troben les tres altures.

Propietats :

Un triangle és rectangle si el seu ortocentre és un dels seus vèrtex
Un triangle és obtusangle si i només si el seu ortocentre és exterior al triangle
Un triangle és acutangle si i només si el seu ortocentre és interior al trangle
Cada vèrtex del triangle és l'ortocentre del triangle format pels altres dos vèrtex i l'ortocentre del triangle original.

[edita] Recta i cercle d'Euler

Circumferència dels nou punts.

Recta d'Euler.

Article principal: Recta d'Euler

Article principal: Circumferència dels nou punts

L' ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle són col·lineals (en el cas particular del triangle equilàter, tots tres coincideixen en el mateix punt, per tant hi ha infinites rectes que els contenen a tots tres). La recta que els conté es diu recta d'Euler en honor al matemàtic suís Leonhard Euler el qual va descobrir aquest fet a mitjan segle XVIII.

La circumferència dels nou punts, anomenada també circumferència d'Euler és una circumferència associada a cada triangle que passa per nou punts notables. Aquests punts són:

El punt mig de cada costat del triangle.
Els peus de les alçades
Els punts mitjos dels segments determinats per l'ortocentre i els vèrtexs del triangle.

[edita] Superfície

La superfície d'un triangle s'obté multiplicant la base per l'altura (on l'altura és un segment perpendicular que parteix de la base fins al vèrtex oposat) i dividint entre dos.

A = (b⋅h)/2.

Demostració gràfica de la fórmula de la superfície d'un triangle a base d'obtenir un paral·lelogram d'àrea doble

Demostració gràfica de la fórmula de la superfície d'un triangle a base de descomposar-lo en dos triangles rectangles.

Tot i que és senzilla, aquesta fórmula només és útil si es coneix la altura. Per exemple per a mesurar l'àrea d'un camp triangular és fàcil mesurar la longitud de cada costat, però per a poder aplicar aquesta fórmula, cal trobar la altura i això no és fàcil a la pràctica perquè s'ha de traçar una perpendicular a un costat que passi per un vèrtex i la distància entre el vèrtex i el costat pot ser gran. Hi ha fórmules que permeten trobar l'àrea del triangle sense saber la altura. Tot seguit es presenten les que es fan servir més sovint ref>Plantilla:MathWorld</ref>

[edita] Fent servir vectors

L'àrea d'un triangle calculada fent servir vectors.

L'àrea d'un paral·lelogram definit per dos vectors $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ és la norma del seu producte vectorial :

$A_p = \left\|{ \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}}\right\|$ .

Per tant, es pot calcular l'àrea d'un triangle a partir d'aquesta fórmula:

$A = \frac12 \left\|{ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}}\right\|$ .

Aplicant la identitat de Lagrange:

$\left\| \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC} \right\|^{2}+\left\| \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \right\|^{2}=\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^{2}\centerdot \left\| \overrightarrow{AC} \right\|^{2}$

Resulta que l'àrea del triangle també es pot expressar en funció del producte escalar dels vectors:

$A=\frac{1}{2}\sqrt{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^{2}\centerdot \left\| \overrightarrow{AC} \right\|^{2}-\left\| \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \right\|^{2}}$

Aplicant trigonometria per a calcular la altura h.

[edita] Aplicant trigonometria

La altura d'un triangle es pot calcular aplicant trigonometria. Fent servir la nomenclatura de la imatge de l'esquerra, la altura és h = a sin γ. Substituit a la fórmula A = ½bh, l'àrea del triangle es pot expressar com:

$S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta.$

A demés, com que sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), i de forma similar per als altres dos angles:

$A = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).$

[edita] Fent servir coordenades

Si el vèrtex A coincideix amb l'origen (0, 0) d'un sistema de coordenades cartesianes i les coordenades dels altres dos vèrtex venen donades per B = (x_B, y_B) i C = (x_C, y_C), llavors, com que el determinant de dos vectors és l'àrea orientada del paral·lelogram definit pels dos vectors, l'àrea A del triangle es pot calcular com ½ del valor absolut del determinant

$A=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.$

Pel cas general en que cap dels tres vèrtex coincideix amb l'origen, l'equació és:

$A=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|.$

En tres dimensions, l'àrea d'un triangle qualsevol {A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) and C = (x_C, y_C, z_C)} és la suma pitagòrica de les àrees de les respectives projeccions sobre els tres plans principals (es a dir x = 0, y = 0 i z = 0):

$S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }.$

[edita] Fent servir la fórmula d'Heró

La forma d'un triangle queda completament determinada per les longituds dels costats. Per tant l'àrea A també es pot calcular a partir només de les longituds dels costats. Fent servir la fórmula d'Heró:

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

on s = ½ (a + b + c) és el semiperímetre, es a dir la meitat del perímetre del triangle.

Una forma equivalent d'escriure la fórmula d'Heró és

$S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}.$

[edita] Propietats dels triangles

[edita] Suma dels angles d'un triangle

Per demostrar que la suma dels angles d'un triangle és igual a 180º, es perllonga la base i es traça una paral•lela al costat AB.

En la Proposició 32 del Llibre I dels lements d'Euclides es demostra que la suma dels tres angles de qualsevol triangle és igual a dos rectes:

«	Proposició 32. En qualsevol triangle, si un dels costats s´allarga, aleshores l´angle exterior és igual a la suma dels angles interiors i oposats, i la suma dels tres angles del triangle és de dos angles rectes.	»

http://www.euclides.org/menu/elements_cat/01/proposicionsllibre1.htm#Proposici%F3%2027

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ = \pi~\mbox{radiants} \$

Euclides ho demostra traçant un triangle com el de la figura de la dreta, llavors perllonga la base i traça una paral·lela al costat AB. Aplicant els resultats de les proposicions sobre angles de rectes que es tallen, l'angle BCD és igual a l'angle ABC i l'angle DCE és igual a l'angle BAC, per tant la suma de ACB + BCD + DCE (que és igual a l'angle pla ACE, es a dir dos rectes) també és igual a BAC + ABC + BCA que són els tres angles del triangle.

[edita] Longituds dels costats i desigualtat triangular

En un triangle, la longitud d'un costat és inferior a la suma de les longituds dels altres dos costats. En altres paraules, en un triangle ABC, es verifiquen les tres desigualtats següents:

$BC<BA+AC ,\ AB< AC+CB \ \ i \ \ AC< AB+BC$

Aquesta propietat és característica dels triangles. Recíprocament. Donats tres nombres reals positius $a$ , $b$ i $c$ , si es verifiquen les tres desigualtats :

$a< b+c ,\ b< a+c \ \ i \ \ c< a+b$

llavors, existeix un triangle en el que els costats mesuren $a$ , $b$ i $c$ .

Inversament, per a verificar que existeix un triangle en el que les logituds dels costats són $a$ , $b$ i $c$ , a la pràctica, n'hi ha prou amb verificar nomes una de les tres desigualtats, aquella en la que el costat més llar és a l'esquerra de la desigualtat (així, si $m a x (a, b, c) = a$ , llavors l'única desigualtat a verificar és : $a < b + c$ ).

En cas d'igualtat, la desigualtat triangular permet de caracteritzar tres punts alineats:

M és un punt del segment [AB] (i per tant està alineat amb els seus extrems) si i només si : AM + MB = AB.

Finalment, la suma le les longituds dels tres costat d'un triangle és el seu perímetre.

[edita] Relacions mètriques en un triangle

Article principal: Resolució de triangles

Notacions :

p designa el semiperímetre del triangle : $p = \frac12 (a+b+c)$ ;

S designa la superfície del triangle ;

R designa el radi del cercle circumscrit ;

h designa la altura relativa al costat BC de llargada a ;

r designa el radi del cercle inscrit ;

$S=\frac{ah}{2}=pr=\frac{abc}{4R}$ ;

$S=\frac{1}{2}bc\,\sin\hat A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (Fórmula d'Heró) ;

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A$ (Teorema del cosinus, o Teorema de Pitàgores generalitzat) ;

$\frac{a}{\sin\hat A}=\frac{b}{\sin\hat B}=\frac{c}{\sin\hat C}=\frac{abc}{2S}=2R$ (Teorema del sinus) ;

Les dues últimes fórmules més la fórmula $\hat A + \hat B + \hat C = \pi$ , són la base dels mètodes de triangulació en geodèsia i en astronomia.

[edita] Triangles semblants i isomètrics

Es diu que dos triangles són isomètrics quan els seus tres costats són respectivament iguals (iguals un a un). En aquest cas, existeix una isometria (per exemple una translació, una rotació o una simetria) que transforma un en l'altre. Per que dos triangles siguin isometrics n'hi ha prou amb que es verifiqui una qualsevol de les condicions següents (llavors totes les altres també es compliran):

el tres costat són respectivament iguals dos a dos;
dos costats tenen la mateixa longitud i un del angles te la mateixa mesura;
dos angles mesuren el mateix i el costat comú a tots dos angles té la mateixa longitud.

Es diu que dos triangles són semblants si els seus tres angles són respectivament iguals dos a dos. Llavors hi ha una relació de semblança ( que és la composició d'una simetria i una homotècia) que transforma l'un en l'altre. En aquest cas les longituds dels seus costats són proporcionals.

[edita] Triangles no plans

Un triangle no pla és el que no esta contingut en una superfície plana. Exemples de triangles no plans en geometries no euclidianes són els triangles esfèrics en geometria esfèrica i els triangles hiperbòlics en la geometria hiperbòlica.

Mentre que en tots els triangles regulars plans la suma dels seus angles és 180º, en els triangles corbats hi ha cassos en que la suma dels angles pot ser més gran o més petita de 180º. Els angles d'un triangle en un espai de curvatura negativa sumaran menys de 180º, mentre que els triangles en un espai amb curvatura positiva tindran angles que sumaran més de 180º. Per tant si es dibuixes un triangle prou gran en la superfície de la terra, es trobaria que la suma dels seus angles seria més de 180º.

[edita] Simbolisme del triangle

Representació cristiana de déu

Representa l'estabilitat i la simplicitat, perquè tota figura es pot descomposar en triangles i qualsevol cos pot sostenir-se sobre tres punts de recolzament ben situats. Com a part d'una fletxa, significa la direcció.

Hi ha dos símbols tradicionals que tenen forma de triangle: el primer és la dona, ja que un triangle invertit representa el seu pubis (i els conceptes associats, com fecunditat, mare, atractiu...); el segon l'iguala a Déu (per la doctrina de la trinitat al cristianisme), en aquest cas a vegades amb un ull al mig, volent dir que Déu ho veu tot.

[edita] Vegeu també

Trigonometria

Funcions trigonomètriques

Polígon

Trigonometria esfèrica

Geometria no euclidiana

[edita] Enllaços externs

Els elements d’Euclides
Tot triangles web Una autèntica enciclopèdia de la geometria del triangle.
Triangles Propietats dels triangles, criteris d’igualtat i classificació dels triangles]
Teoremes sobre triangles
Problemes de triangles

Fórmules de triangles a Atlas de Geometria. (anglès)
Calculadora de triangles – Soluciona els costats i angles restants quant es donen tres costats o angles, accepta radians i graus. (anglès)
Clark Kimberling: Enciclopèdia de centres de triangles. Llista de uns 3200 punts interessants associats amb qualsevol triangle. (anglès)
Christian Obrecht: Eukleides. Paquet de software per a cerar il·lustracions de fets referents a triangles i altres teoremes de geometria euclidiana. (anglès)
Demostració de que la suma dels angles interns d’un triangle és 180º (anglès)
Àrea d’un triangle - 7 formes diferents de calcular-la (anglès)
Enciclopèdia All Math Words.(anglès)

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a:
Triangle

Categoria: Triangle