Recta d'Euler
De Viquipèdia
L' ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle són colinials. La recta que els conté es diu recta d'Euler en honor al matemàtic suís Leonhard Euler el qual va descobrir aquest fet a mitjan segle XVIII.
Per veure que això és aixó, ens referim a la figura. el baricentre G divideix les mitjanes d'un triangle en dos segments desiguals, sent el més gran dels segments el doble que el menor. Per exemple, a la figura tenim que AG = 2GF. Per tant, en la homotècia el centre de la qual sigui el punt G i de raó -2, el punt A és la imatge del punt F, B la imatge del punt E i C la imatge del punt D.
En aquesta homotècia, la mediatriu FO, del costat BC es transforma en la recta que conté a l'altura del vèrtex A: la recta AH (s'ha d'observar que les dues rectes són paral·leles, per ser perpendiculars al costat Bc del triangle). De manera similar, en aquesta homotècia, les altres dues mediatrius, EO i DO es transformen en les rectes que contenen les altures dels vèrtex B i C respectivament. Les altures es tallen a l'ortocentre H del triangle i per tant, aquest és la imatge del circumcentre O del triangle, on es tallen les mediatrius dels costats del triangle. D'aquí que els tres punts, l'ortocentre H, el baricentre G i el circumcentre O estàn aliniats i es troben sobre la recta d'Euler e.
També concluim així que la mida del segment HG és el doble de la mida del segment OG
[edita] Teorema
Sigui ABC un triangle, G el seu baricentre, O el seu circumcentre, y H el seu ortocentre
Llavors aquests tres punts estan aliniats.
La recta que els conté es diu recta d'Euler (en vermell a la figura). 
[edita] Prova
Es construeix al voltant d'ABC un triangle A' B' C' en el qual A B i C siguin els centres de [B'C'], [A'C'] i [A'B'] respectivament, i que els dos costats siguin paral·lels dos a dos: (A'B') // (AB) i que cada costat sigui el doble del corresponent, per exemple: A'B'=2AB
No és difícil veure que aquests dos triangles comparteixen les mateixes mitjanes i per tant el mateix baricentre. A més les altures d'ABC són les mediatrius d'A'B'C', conseqüentment H és l circumcentre d'A'B'C'. Sigui H la homotècia de centre G i de raó -2. Llavors H(A) = A', H(B) = B' i H(C) = C', com propietat del baricentre del triangle (G està situat en les mitjanes a dos terços del camí a partir dels vèrtex).
Les homotècies conserven entre altres coses l'equidistància; llavors conserven també les mediatrius i el circumcentre, en el sentit que la imatge del circumcentre d'ABC és el circumcentre de la imatge del triangle ABC, aquí d'A'B'C'; o sigui h(O) = H, per tant tenim igualtat de vectors: GH = -2GO el que implica que O , G i H estan aliniats.
