Recta d'Euler

De Viquip??dia

L' ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triangle s??n colinials. La recta que els cont?? es diu recta d'Euler en honor al matem??tic su??s Leonhard Euler el qual va descobrir aquest fet a mitjan segle XVIII.

Per veure que aix?? ??s aix??, ens referim a la figura. el baricentre G divideix les mitjanes d'un triangle en dos segments desiguals, sent el m??s gran dels segments el doble que el menor. Per exemple, a la figura tenim que AG = 2GF. Per tant, en la homot??cia el centre de la qual sigui el punt G i de ra?? -2, el punt A ??s la imatge del punt F, B la imatge del punt E i C la imatge del punt D.

En aquesta homot??cia, la mediatriu FO, del costat BC es transforma en la recta que cont?? a l'altura del v??rtex A: la recta AH (s'ha d'observar que les dues rectes s??n paral??leles, per ser perpendiculars al costat Bc del triangle). De manera similar, en aquesta homot??cia, les altres dues mediatrius, EO i DO es transformen en les rectes que contenen les altures dels v??rtex B i C respectivament. Les altures es tallen a l'ortocentre H del triangle i per tant, aquest ??s la imatge del circumcentre O del triangle, on es tallen les mediatrius dels costats del triangle. D'aqu?? que els tres punts, l'ortocentre H, el baricentre G i el circumcentre O est??n aliniats i es troben sobre la recta d'Euler e.

Tamb?? concluim aix?? que la mida del segment HG ??s el doble de la mida del segment OG

[edita] Teorema

Sigui ABC un triangle, G el seu baricentre, O el seu circumcentre, y H el seu ortocentre

Llavors aquests tres punts estan aliniats.

La recta que els cont?? es diu recta d'Euler (en vermell a la figura).

[edita] Prova

Es construeix al voltant d'ABC un triangle A' B' C' en el qual A B i C siguin els centres de [B'C'], [A'C'] i [A'B'] respectivament, i que els dos costats siguin paral??lels dos a dos: (A'B') // (AB) i que cada costat sigui el doble del corresponent, per exemple: A'B'=2AB

No ??s dif??cil veure que aquests dos triangles comparteixen les mateixes mitjanes i per tant el mateix baricentre. A m??s les altures d'ABC s??n les mediatrius d'A'B'C', conseq??entment H ??s l circumcentre d'A'B'C'. Sigui H la homot??cia de centre G i de ra?? -2. Llavors H(A) = A', H(B) = B' i H(C) = C', com propietat del baricentre del triangle (G est?? situat en les mitjanes a dos ter??os del cam?? a partir dels v??rtex).

Les homot??cies conserven entre altres coses l'equidist??ncia; llavors conserven tamb?? les mediatrius i el circumcentre, en el sentit que la imatge del circumcentre d'ABC ??s el circumcentre de la imatge del triangle ABC, aqu?? d'A'B'C'; o sigui h(O) = H, per tant tenim igualtat de vectors: GH = -2GO el que implica que O , G i H estan aliniats.