Simetria

De Viquipèdia

El concepte de simetria és un terme molt usat a les diferents branques de les ciències. En general hom denomina simetria al fet que certs objectes no canvien en aplicar una certa operació. Aquesta definició tan àmplia es pot visualitzar amb el següent exemple: suposem que ens col·loquem davant d'un mirall amb els peus i els braços estesos. Aviat comprovarem que la part esquerra i dreta del nostre cos son (com a mínim a primer cop d'ull) iguals. Aquest exemple és el que s'anomena simetria bilateral. En aquest cas l'objecte seria el nostre cos i l'operació és la comparació entre els dos costats. Aquest senzill exemple es tecnifica molt al emprar-lo en àrees del coneixement com les matemàtiques o la física.

[edita] Simetria a la física

En física el concepte de simetria està molt estretament lligat a la invariància del Hamiltonià o del Lagrangià. Bàsicament es tracta d'un conjunt d'operacions (com per exemple la translació o la rotació) que no produeixen cap canvi en el sistema, això és, el deixen invariant.

Per veure-ho posem un exemple. Suposem que tenim un sistema que ve descrit per un Lagrangià L i que aquest és invariant sota la translació:

$q_i \to q_i + \delta q_i$

on $q i$ denota la posició de la partícula. El fet que L "és invariant" sota la translació s'expressa matemàticament com:

$\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

És a dir: el sistema no depen d'aquesta. Si fem servir això a les equacions de Lagrange:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

obtenim que:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} = \frac{dp_i}{dt} = 0$

on hem fet servir la definició de moment canònic:

$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

Per tant: si L és invariant respecte la translació a $q i$ , llavors el moment canònic conjugat (el corresponent a $q i$ ) és constant (diem que es conserva, que no canvia en el temps).

El teorema central que tracta les simetries és el teorema de Noether. A grosso modo aquest ve a dir que per cada simetria tenim una quantitat conservada. En el nostre exemple: a la simetria de translació li correspon la conservació del moment.