Determinant (matem??tiques)

De Viquip??dia

En matem??tiques, introdu??t inicialment a ??lgebra per a resoldre el problema de determinar el nombre de solucions d???un sistema d???equacions lineals el determinant ??s un eina molt potent en nombrosos dominis (estudi d???endomorfisme, recerca de valors propis, c??lcul diferencial). Es aix?? com es defineixen el determinant d???un sistema d???equacions, el determinant d???un endomorfisme, o el determinant d???un sistema de vectors.

Com en moltes altres operacions, el determinant pot ser definit per una col??lecci?? de propietats axiomes que es resumeixen amb l???expressi?? ?? forma n - lineal alternada ??. Aquesta definici?? permet de fer-ne un estudi te??ric complert i ampliar encara m??s els seus camps d???aplicaci??. Per?? el determinant tamb?? es pot concebre com una generalitzaci?? en l'espai de dimensi?? n de la noci?? de superf??cie o de volum orientats. Aquest aspecte, sovint negligit, ??s un enfocament pr??ctic i llumin??s de les propietats del determinant.

Taula de continguts

1 Hist??ria dels determinants
2 Primers exemples : ??rees i volums
3 Marc d'utilitzaci??
4 Definici?? del determinant
5 Propietats
6 Generalitzaci?? als espais vectorials sobre altres cossos i en els m??duls
7 Notes
8 Vegeu tamb??
9 Bibliografia
10 Enlla??os externs

[edita] Hist??ria dels determinants

Els determinants van ser introdu??ts a Occident a partir del segle XVI, fou ben abans que les matrius, que no apareixen fins al segle XIX. Conv?? recordar que els Xinesos van ser els primers a utilitzar taules de nombres i a aplicar un algoritme ara conegut sota el nom de procediment d'eliminaci?? de Gauss-Jordan.

[edita] Primers c??lculs de determinants

En el seu sentit original, el determinant d??termine la unicitat de la soluci?? d'un sistema d'equacions lineals. Va ser introdu??t en el cas de la dimensi?? 2 per Cardan el 1545 en el seu Ars magna, en forma d'una r??gle per a la resoluci?? de sistemes de dues equacions amb dues inc??gnites^[1]. Aquesta primera f??rmula porta el nom de regula de modo.

El japon??s Kowa Seki introdueix els primers determinants de dimenssi?? 3 i 4, a la mateixa ??poca que l'alemany Leibniz

L'aparici?? dels determinants de dimensi?? superior tardar?? encara m??s de cent anys. Curiosament el japon??s Kowa Seki i l'alemany Leibniz en van donar els primers exemples de manera gaireb?? simult??nia.

Leibniz estudia nombrosos sistemes d'equacions lineals. En Abs??ncia de notaci?? matricial, representa els coeficients desconeguts amb una parella d?????ndex : escriu aix?? ij per a a_{i, j}. El 1678, s'interessa per un sistema de tres equacions i tres inc??gnites i d??na, sobre aquest exemple, la f??rmula de desenvolupament seguint una columna. El mateix any, escriu un determinant de dimensi?? 4^[2]. Leibniz no publica aquests treballs, que semblen haver estat oblidat abans que els resultats siguin descoberts independentment cinquanta anys m??s tard.

Al mateix per??ode, Kowa Seki publica un manuscrit sobre els determinants, on troba una formulaci?? general dif??cil d'interpretar. Sembla donar f??rmules correctes per a determinants de dimensi?? 3 i 4, i els signes erronis per als determinants de dimansi?? sup??rieure^[3]. El descobriment quedar?? sense continu??tat, a causa de l???a??llament del Jap?? amb el m??n exterior.

[edita] Determinants d'una dimensi?? qualsevol

El 1748, un tractat d'??lgebra p??stuma de MacLaurin rellan??a la teoria dels determinants, amb l'escriptura correcta de la soluci?? d'un sistema de quatre equacions i quatre inc??gnites^[4].

El 1750, Cramer f??rmula les regles que permeten resoldre un sistema de n equacions i n inc??gnites, per?? sense donar-ne la demostraci??^[5]. Els m??todes de c??lcul dels determinants s??n llavors delicats, dons es fonamenten en la noci?? de permutacions parells i senars ]]^[6].

Els matem??tics s'apoderen d'aquest nou objecte, amb articles de B??zout en 1764^[7], de Vandermonde en 1771^[8] (sorprenentment sense obtenir el c??lcul del determinant de la matriu de Vandermonde actual^[9]). El 1772, Laplace estableix les f??rmules de recurr??ncia que porten el seu nom. L'any seg??ent, Lagrange descobreix la relaci?? entre el c??lcul dels determinants i dels volums^[10].

Gauss utilitza per primera vegada la paraula ??determinant??, en els Disquisitiones arithmeticae el 1801. L'utilitza pel que qualifiquem avui de discriminant d'una qu??drica que ??s un cas particular del determinant modern. ??s igualment a prop d'obtenir el teorema sobre el determinant d'un producte.^[11]

[edita] Aparici?? de la noci?? moderna de determinant

Cauchy ??s el primer en fer servir la paraula determinant en el seu sentit modern. Es pot llegir al seu article de s??ntesi de m??s de vuitanta p??gines sobre la q??esti??:

??	El Sr. Gauss se n'ha servit amb avantatge en les seves Investigacions anal??tiques per descobrir les propietats generals de les formes del segon grau, ??s a dir dels polinomis de segon grau de dues o m??s variables, i ha designat aquestes mateixes funcions sota el nom de determinants. Conservar?? aquesta denominaci?? que subministra a un mitj?? f??cil d'enunciar els resultats ; observar?? nom??s que es d??na de vegades a les funcions de qu?? es tracta el nom de resultants a dos o a diverses variables. Aix?? les dues expressions seg??ents, determinant i resultant, hauran de ser vistes com a synonymes.^[12]	??

Representa una s??ntesi dels coneixements anteriors, aix?? com de proposicions noves com el fet que l'aplicaci?? transposada no modifica el determinant aix?? com la formula del determinant d'un producte. Binet proposa igualment una demostraci?? aquest mateix any. M??s tard, Cauchy posa les bases de l'estudi de la reducci?? d'endomorphismes ^[13].

Publicant els seus tres tractats sobre els determinants el 1841 al journal de Crelle, Jacobi d??na una verdadera notorietat a la notion^[11]. Per primera vegada, presenta m??todes de c??lcul sistem??tics, sota forma algor??tmica. Es fa igualment possible avaluar determinants de funcions amb el naixement del jacobi??.

El quadre matricial ??s introdu??t pels treballs de Cayley i Sylvester. Cayley ??s igualment l'inventor de la notaci?? dels determinants amb barres verticals ; estableix la f??rmula de c??lcul de la inversa.

La teoria es complerta amb l'estudi de determinants que tenen propietats de simetria particulars i amb la introducci?? del determinant en nous camps de les matem??tiques, com el wronski?? per a les equacions diferencials lineals.

[edita] Primers exemples : ??rees i volums

Els c??lculs d'??rees i de volums en forma de determinants en espais euclidians apareixeran com casos particulars d'una noci?? m??s general de determinant. La lletra maj??scula D (Det) es fa servir de vegades reservada per indicar-los.

[edita] Determinant de dos vectors en el pla euclidi??

Figura 1. El determinant ??s l'??rea blava orientada.

Sigui P el pla euclidi?? amb l???orientaci?? usual. El determinant dels vectors X i X ??? ve donat per l'expressi?? anal??tica

$\det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'\end{vmatrix}=xy'-yx'$

O, de forma equivalent, per l???expressi?? geom??trica

$\det(X,X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sin \theta$

En la qual $??$ ??s l'angle orientat format pels vectors X i X ???.

[edita] Propietats

el valor absolut del determinant ??s igual a l'??rea del paral??lelogram definit per X i X ??? (( $X sin??$ ??s en efecte l'al??ada del paral??lelogram, d'on A = Base*Altura).
el determinant ??s nul si i nom??s si els dos vectors s??n col??lineals (el paral??lelogram es fa una l??nia).

En efecte aquesta anul??laci?? apareix com un senzill test de proporcionalitat dels components dels vectors pel producte vectorial.

El seu signe ??s estrictament positiu si i nom??s si la mesura de l'angle (X, X ???) ??s compresa en ]0, $??$ [.
l'aplicaci?? determinant ??s bilineal : la linearitat respecte al primer vector s'escriu

$\det(aX+bY,X')=a\det(X,X')+b\det(Y,X')\;$

i respecte al segon vector s'escriu

$\det(X,aX'+bY')=a\det(X,X')+b\det(X,Y')\;$

Figura 2. Suma de les ??rees de dos paral??lelograms adjacents. Fixeu-vos que tots els vectors estan en el mateix pla, no es tracta d???una figura tridimensional, altament la afirmaci?? no seria certa ni el valor de les ??rees seria el que dona el determinant

La figura, en el pla, il??lustra un cas particular d'aquesta f??rmula. Representa dos paral??lelograms adjacents, l'un definit pels vectors u i v (en verd), l'altre pels vectors u' i v (en blau). ??s f??cil visualitzar sobre aquest exemple l'??rea del paral??lelogram definit pels vectors u+u' i v (en gris) : ??s igual a la suma de les ??rees dels dos paral??lelograms precedents, a la qual es treu l'??rea d'un triangle, i s??? afegeix l'??rea d'un altre triangle igual. Els dos triangles es corresponen per translaci??,es verifica la f??rmula seg??ent Det(u+u', v)=Det(u, v)+Det(u', v).

Aquest dibuix correspon a un cas particular de la f??rmula de bilinealitat ja que les orientacions han estat escollides per tal de que les ??rees tinguin el mateix signe, per?? ajuda a entendre el significat geom??tric.

[edita] Generalitzaci??

??s possible definir la noci?? de determinant en un pla euclidi?? orientat prove??t d'una base ortonormal directa B, utilitzant les coordenades dels vectors en aquesta base. El c??lcul del determinant d??na el mateix resultat independentment de quina sigui la base ortonormal directa escollida per al c??lcul.

[edita] Determinant de tres vectors en l'espai euclidi??

Sigui E l'espai euclidi?? amb l???orientaci?? usual de dimensi?? 3. El determinant de tres vectors d'E ve donat per

$\det(X,X ',X '')=\begin{vmatrix} x & x' &x''\\ y & y'&y''\\ z&z'&z'' \end{vmatrix}=x \begin{vmatrix} y' & y'' \\ z' & z''\end{vmatrix} - x' \begin{vmatrix} y & y'' \\ z & z''\end{vmatrix} + x'' \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z'\end{vmatrix} = xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z.$

Figura 3. Il??lustraci?? gr??fica de la trilinealitat

Aquest determinant tamb?? porta el nom de producte mixte.

[edita] Propietats

el valor absolut del determinant ??s igual al volum del paral??lelep??pede definit pels tres vectors.
el determinant ??s nul si i nom??s si els tres vectors estan continguts en un mateix pla (paral??lelep??pede ??pla??)
L???aplicaci?? determinant ??s trilineal:

$\det(aX+bY,X ',X '')=a\det(X,X ',X '')+b\det(Y,X ',X '')\,$

Una il??lustraci?? geom??trica d'aquesta propietat es dona a la figura 3, per dos paral??lelep??pedes adjacents, ??s a dir posseint una cara comuna. La igualtat seg??ent esdev?? intu??tiva

$\det(u+u', v,w)=\det(u, v,w)+\det(u', v,w)\,$ .

[edita] Interpretaci?? del signe del determinant : orientaci??

Article principal: orientaci?? (matem??tiques)

En el pla, el signe del determinant s'interpreta com el signe de l'angle orientat.

En l'espai a tres dimensions, el cub unitat serveix de refer??ncia. El seu determinant val un. Un paral??lelep??pede no pla posseeix un determinant positiu si ??s possible obtenir-lo deformant continuament ( sense aixafar-lo mai) el cubica unitat.

El determinant ??s en canvi negatiu si ??s necessari aplicar a dem??s una simetria, ??s a dir si el cub unitat no pot ser obtingut m??s que deformant el paral??lelep??pede, i despr??s observant el resultat d'aquesta deformaci?? en un mirall.

Figura 4. ??s possible passar del cub groc al paral??lelep??pede verd per deformaci?? continua. Aix?? no ??s possible per al paral??lelep??pede vermell que ??s la imatge especular del verd.

[edita] Plantejament intu??tiu del determinant d'una aplicaci?? lineal

Una aplicaci?? lineal ??s una aplicaci?? que transforma les coordenades d'un vector de manera lineal. Per exemple en l'espai de dimensi?? 3, l'aplicaci?? ??s lineal si les coordenades x, y i z d'un vector tenen per a imatge x', y' i z' amb :

$\begin{matrix} x'= ax + by +cz\\ y'= dx + ey+fz \\z'=gx+hy+iz \end{matrix}$

on a, b,c..., i s??n nombres. La figura seg??ent il??lustra dos casos d???aplicacions lineals.

En el primer cas, el cub groc ??s transformat en un paral??lelep??pede il??lustrat en verd. En el segon cas, el cub groc ??s transformat en un volum aixafat, un quadrat vermell (??s a dir que alguns dels v??rtex del cub inicial tenen la mateixa imatge per l'aplicaci?? lineal). Aquests dos casos corresponen a situacions diferents en matem??tiques. La primera funci?? del determinant ??s de subministrar un mitj?? de separar aquests casos.

Figura 5. Exemple d'aplicacions lineals: La primera transforma el cub groc en un volum verd la segona en un volum aixafat vermell.

Per ser m??s prec??s, el determinant d'una aplicaci?? lineal ??s un nombre, que representa un factor multiplicatiu per als volums. Si el cub groc ??s de volum 1, llavors el volum de la imatge del cub verd ??s el valor absolut del determinant de la primera aplicaci??. La segona aplicaci?? t?? un determinant nul, el que correspon a un aixafament dels volums.

El signe del determinant ??s positiu si ??s possible deformar cont??nuament el cub groc per obtenir el verd. En canvi ??s negatiu si ??s necessari aplicar-hi a m??s una simetria.

De fet aquesta propietat no ??s verdadera nom??s per al cub unitat groc. Tot volum transformat per una aplicaci?? lineal resulta multiplicat pel valor absolut del determinant.

El determinant existeix per a les aplicacions lineals d'un espai en si mateix fins i tot en el cas de m??s de tres dimensions, sempre que es tracti d???un nombre finit de dimensions. En efecte, la noci?? de volum pot ser generalitzada : aix?? un ??hipercub?? que tingui les sevesarestes de longitud 2 en un espai euclidi?? de dimensi?? n tindria un determinant (mena de ?? hipervolum ??) de 2ⁿ. Per contra si l'espaia cont?? una infinitat de dimensions, llavors el determinant no t?? sentit.

[edita] Marc d'utilitzaci??

[edita] Determinant i equacions lineals

Existeix un cas de c??lcul num??ric molt freq??ent per als enginyers, els f??sics o els economistes. Es tracta de la resoluci?? d'un sistema d'equacions lineals. Si el sistema posseeix tantes equacions com variables, es pot esperar l'exist??ncia i la unicitat d'una soluci??. Per?? no ??s sempre el cas, per exemple en cas de repetici?? de la mateixa equaci??, hi haur?? una multiplicitat de solucions.

M??s precisament, en un sistema de n equacions i n inc??gnites es pot associar un determinant. L'exist??ncia i la unicitat de la soluci?? s???obt?? si i nom??s si el determinant ??s diferent de 0. Aquest problema ??s l'origen hist??ric de la introducci?? dels determinants.

??s possible, no nom??s de garantir l'exist??ncia i la unicitat de la soluci??, sin?? que la regla de Cramer permet un c??lcul exacte de la soluci?? amb l'ajuda de determinants. Aquest m??tode no ??s ni el m??s r??pid, ni el m??s senzill, es fa servir poc per als c??lculs expl??cits, no obstant aix?? ??s ??til per establir certs resultats te??rics, tal com la depend??ncia respecte als par??metres.

[edita] Relaci?? amb l'aixafament dels volums

Un sistema de 3 equacions lineals amb 3 inc??gnites pot ser posat en forma d'una equaci?? lineal u(X)=B on X=(x, y,z) ??s un vector, els components del qual s??n les inc??gnites del sistema, u una aplicaci?? lineal de l'espai i B un vector. La resoluci?? del sistema pot ser formulada de manera geom??trica : el vector B ??s la imatge d'un cert vector X per u? Aquest ??ltim ??s ??nic ? El determinant de u dona la resposta : l'exist??ncia i la unicitat s???obtenen si i nom??s si no ??s nul.

La figura 5 permet un enfocament intu??tiu d'aquest resultat. N'hi ha prou amb considerar una pavimentaci??de l??? espai amb el cub groc i les seves imatges per translacions segons les tres direccions. Una fam??lia de cubs grocs adjacents omplen llavors tot l'espai.

Si el determinant no ??s nul, llavors la imatge d'aquest paviment ??s un paviment de paral??lelep??pedes de color verd, omplint igualment tot l'espai. Aix?? significa que tots els vectors de l'espai s??n vectors imatges. Sobretot, la inc??gnita est?? ben recoberta per un dels volums verds. ??s imatge d'un vector.
Per contra, si el determinant ??s nul, llavors la imatge del paviment no omple l'espai sencer. En l'exemple del cub aixafat vermell, no omple m??s que un pla. Certs vectors mai no s??n imatge de cap vector, altres s??n la imatge de diversos vectors alhora.

M??s generalment, per a un sistema de n equacions i n inc??gnites, el determinant indica si les imatges per u omplen l'espai sencer o nom??s un subespai.

[edita] Determinant i reducci??

Les aplicacions lineals apareixen no nom??s en geometria elemental sin?? tamb?? en nombrosos ??mbits avan??ats com certes resolucions d'equacions diferencials, la definici?? d'algoritmes r??pids o la resoluci?? de problemes te??rics. ??s important comprendre el seu comportament.

Una eina d'an??lisi fecunda consisteix a catalogar els eixos privilegiats, segons els quals l'aplicaci?? es comporta com una dilataci??, multiplicant les longituds dels vectors per una de constant. Aquesta relaci?? de dilataci?? es diu valor propi i els vectors als quals s???aplica vectors propis.

El fenomen d'aixafament dels volums pot ser mesurat per un determinant. Correspon en cas que, segons una certa direcci??, els vectors s??n multiplicats per una relaci?? de dilataci?? igual a 0 (valor propi nul). M??s generalment, tots els valors propis poden ser obtinguts pel c??lcul d'un determinant a par??metre, dit polinomi caracter??stic.

[edita] Determinant i integral m??ltiple

Figura. 6. Jacobi??.

Tal com mostra l'enfocament intu??tiu, el determinant caracteritza la modificaci?? de volum d'un paral??lelep??pede per un endomorfisme. La integral m??ltiple ??s una eina de determinaci?? dels volums en el cas general. Utilitza la noci?? de determinant en el marc del canvi de variables. Llavors el determinant pren el nom de jacobi??. Pot ser imaginat com la relaci?? dels volums elementals abans i despr??s de canvi de variables, usant la terminologia dels elements diferencials.

M??s precisament, el comportament d'una aplicaci?? diferenciable a l???entorn d'un punt ??s en primer ordre, equivalent al terme de modificaci?? de volum, de una aplicaci?? lineal que t?? com a determinant el jacobi??.

[edita] Determinant i esmorte??ment en les equacions diferencials

Figura 7. Exemple del p??ndol de longitud variable, sense esmorte??ment. En blau i en vermell es representen dues solucions particulars, en l'espai de les fases. L'??rea formada per les dues solucions continua sent constant en el transcurs del temps

En f??sica, sobretot en mec??nica del punt,??s freq??ent l'equaci?? diferencial lineal d'ordre dos Es presenta sota la forma $y'' = a y' + b y + c$ on a,b,c poden ser coeficients constants o m??s generalment funcions (per exemple del temps). El terme $a$ e diu factor d'esmorte??ment.

Aquesta equaci?? diferencial s??? associa a un determinant, dit wronski??. S'interpreta com una ??rea en el pla (y, y') dit espai de les fases pels f??sics. Aquesta ??rea continua sent constant en el transcurs del temps si el terme d'esmorte??ment ??s nul, disminueix de manera exponencial si ??s estrictament positiu. Encara que no sempre es possible presentar una soluci?? expl??cita, el wronski?? sempre ??s calculable.

El wronski?? pot ser generalitzat a totes les equacions diferencials lineals.

[edita] Definici?? del determinant

[edita] Origen de la construcci?? del determinant

Les nocions de paral??lelogram i de paral??lelep??pede es generalitzena un espai vectorial E de dimensi?? finita n sobre $\mathbb{R}$ . A n vectors x₁, ..., x_n de E s???associa un paral??lel??top. Es defineix com la part de E formada pel conjunt de les combinacions dels x_i amb coeficients compresos entre 0 i 1

$P=\left\{x=\sum_{i=1}^n t_i x_i \Bigg|\, \forall i , 0\leq t_i \leq 1\right\}$

Conv?? veure en aquest paral??lel??top una mena de llamborda obliqua.

Quan l'espai est?? prove??t d'un producte escalar, ??s possible definir el volum d'aquest paral??lel??top, de vegades dit el seu hipervolum per subratllar que la dimensi?? de l'espai concernit no ??s per for??a 3. Verifica les propietats seg??ents :

els volums de dues llambordes adjacents per una cara, s'afegeixen
la multiplicaci?? d'un dels vectors que defineixen la llamborda per una de constant produeix la multiplicaci?? del volum per aquesta constant
el volum d'una llamborda formada per la repetici?? del mateix vector (que constitueix un cas particular de llamborda plana), ??s nul.

Un canvi de producte escalar sobre l'espai E modifica les mesures de longituds, angles, i per tant de volums. Tanmateix la teoria dels determinants ensenya que tret d???una constant multiplicativa , no existeix m??s que un ??nic m??tode de c??lcul dels volums en un espai vectorial de dimensi?? n.

Reprenent un espai vectorial sense estructura particular, la noci?? de determinant t?? per objectiu donar un sentit intr??nsec al ??volum?? del paral??lel??top, sense refer??ncia a un producte escalar per exemple, ??s a dir de construir una funci?? f, que a x₁, ..., x_n els associa un nombre real, i verifica les propietats precedents. Tal aplicaci?? es diu una forma n - lineal alternada.

[edita] Formes n - lineals alternades

La noci?? de forma n - lineal alternada generalitza les propietats precedents. Es defineix com una aplicaci?? de Eⁿ en $\mathbb{R}$ que ??s :

[[aplicaci?? lineal|lineal] en cada variable. Aix?? per la vectors x₁, ..., x_n, x'_i i dos escalars a i b

$f(x_1,\dots,x_{i-1}, ax_i+bx'_i,x_{i+1}, \dots, x_n )=a f(x_1, \dots, x_n) + bf(x_1, \dots,x'_i,\dots x_n) \;$

alternada, significa que s'anul??la cada vegada que ??s avaluada sobre una tupla que contingui dos vectors id??ntics

$[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_n)=0$

L'article aplicaci?? multilineal procedeix a l'estudi sistem??tic de les formes n- lineals alternades sobre un espai vectorial de dimensi?? n.

El resultat principal ??s la possibilitat de remetre el c??lcul de la imatge de $(x 1,..., x n)$ al d'imatges dels vectors de base per n- linealitat. A m??s a m??s el car??cter alternat permet canviar l'ordre dels vectors, de manera que n'hi ha prou amb con??ixer la imatge $f (e 1,..., e n)$ dels vectors d'una base, pres en l'ordre, per con??ixer f. Posar els vectors en l'ordre fa intervenir la noci?? de permutaci??.

Teorema

El conjunt A_n(E) de les formes n- lineals alternades sobre un espai vectorial de dimensi?? n constitueix un espai vectorial de dimensi?? 1. Ames, si $(e_{1},\dots,e_{n})$ ??s una base de E, es pot expressar la imatge d'una tupla de vectors per

$f(x_1,\dots,x_n )= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})$

amb X_ij la i-ena component de x_j i $\varepsilon(\sigma)$ que denota el signe de la permutaci?? (un per a una permutaci?? parell, -1 per a una de senar).

[edita] Determinant d'una fam??lia de n vectors en una base

Definici??

Se suposa E prove??t d'una base $B=(e_{1},\dots,e_{n})$ . L'aplicaci?? que determina en base B ??s l'??nica forma n- lineal alternada sobre E que verifica $det B (e 1,..., e n) = 1$ , abreviat en $det B (B) = 1$ Cal representar-se aquesta quantitat com una mena de volum de llamborda, relativament a la base B.

Formula de Leibniz

Gottfried Leibniz introdueix els primers determinants de dimensi?? 3 i m??s

Siguinx₁,...x_n els vectors de E. ??s possible representar aquests n vectors per n matrius columna, formant per juxtaposici?? una matriu quadrada X. El determinant de x₁,...x_n relatiu a la base B val llavors

$\det{}_B(x_1,\dots, x_n)=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j}$

Aquesta f??rmula porta de vegades el nom de Leibniz. Presenta poc inter??s pel c??lcul pr??ctic dels determinants, per?? permet establir diversos resultats te??rics.

En f??sica, es troba sovint la f??rmula de Leibniz expressada amb l'ajuda del s??mbol de Levi-Civita, utilitzant la convenci?? d'Einstein per al sumatori dels index :

$\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{A^{1}}_{i_1}\cdots {A^{n}}_{i_n}$

F??rmula de canvi de base

Si B i B ??? s??n dues bases de E, les aplicacions determinants corresponents s??n proporcionals (amb una relaci?? de proporcionalitat no nul??la)

$\det{}_{B'}(x_1,\dots, x_n)=\det{}_{B'}(B)\times \det{}_{B}(x_1,\dots, x_n)\,$

Aquest resultat ??s conforme a la interpretaci?? en termes de volum relatiu.

[edita] Determinant d'una matriu

Sigui una matriu A=(a_ij) quadrada d'ordre n de coeficients reals. Els vectors columna de la matriu es poden identificar amb elements de l'espai vectorial $\mathbb{R}^n$ . Aquest ??ltim ??s prove??t d'una base can??nica.

Llavors es possible definir el determinant de la matriu A com el determinant del sistema dels seus vectors columnes relativament a la base can??nica. S???escriu det(A) ja que no hi ha ambig??itat sobre la base de refer??ncia.

Per definici?? fins i tot, el determinant dep??n de manera lineal de cada columna, i ??s nul quan dues columnes s??n iguals. El determinant de la matriu identitat val 1. Finalment verifica la f??rmula de Leibniz

$\det(A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{ \sigma(i),i}$

Aquest determinant s???escriu freq??entment amb barres verticals :

$\det \begin{bmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} m_{1;1} & \cdots & m_{1;n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n;1} & \cdots & m_{n;n} \end{vmatrix}$

La presentaci?? matricial aporta una propietat essencial : una matriu t?? igual determinant que la seva transposada

$\det A = \det \left({}^t{A}\right)\,$

El que significa que el determinant de A es veu tamb?? com el determinant del sistema dels vectors l??neals, relativament a la base can??nica.

F??rmula del determinant de la transposada - demostraci??

Aplicant la f??rmula de Leibniz a la transposada

$\det({}^t A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$

S'efectua un canvi d'??ndex posant $j = ??(i)$ . Per bijectivitat de , $??$ condueix a

$\det({}^t A)=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n a_{\sigma^{-1}(j),j}$

Una segona reindexaci?? imposa : prendre $?? = ?? ??? 1$ . L'aplicaci?? ques s???associaa la seva inversai ??s una bijeci?? de $\mathfrak{S}_n$ , es pot doncs efectuar aquest canvi d'??ndexi i aix??

$\det({}^t A)=\sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\tau^{-1}) \prod_{j=1}^n a_{\tau(j),j} =\sum_{\tau \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\tau) \prod_{j=1}^n a_{\tau(j),j}=\det A$

[edita] Determinant d'un endomorfisme

Sigui u un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensi?? finita. Totes les matrius representatives de u tenen el mateix determinant. Aquest valor com?? es diu el determinant de u. El determinant de u ??s el valor pel qual u multiplica els determinants dels vectors

$\det{}_B(u(x_1),\dots, u(x_n))=\det u \times \det{}_B(x_1,\dots, x_n)\,$

Demostraci?? d'aquestes dues propietats

S'introdueix l'aplicaci??

d u, B

que a x₁, ..., x_n associa

$d_{u,B}(x_1,\dots,x_n) = \det{}_B(u(x_1), \dots, u(x_n))\,$

??s una forma n - lieal alternada i el seu valor sobre els vectors de B, que s'escriu $d u, B (B)$ , ??s justament el determinant de la matriu representativa de u a la base B. La forma $d u, B$ ??s doncs proporcional al determinant en base B, la relaci?? de proporcionalitat es calcula prenent la imatge dels vectors de B

$d_ {u,B}= d_{u,B}(B) \times \det{}_B\,$

El que significa, per a una nt??pla de vectors

$\det{}_B(u(x_1),\dots, u(x_n))=d_{u,B}(B) \times \det{}_B(x_1,\dots, x_n) \qquad (1)$

Queda per provar que si B' ??s una altra base de E, d_{u, B}(B) ??s id??ntic a d_{u, B '} (B ' ). Per aix?? s'utilitza la f??rmula de canvi de base en els dos membres de (1).

Els endomorfismes de determinant 1 conserven el determinant dels vectors. Formen un subgrup de Gl(E), notat Sl(E), i dit grup especial lineal. En un espai real de dimensi?? dos, es conceben com les aplicacions lineals que conserven les ??rees orientades, en dimensi?? tres els volums orientats.

Es demostra que aquest grup ??s generat per les transvections, dels quals la matriu en una base adaptada ??s de la forma

$\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & \lambda & \\ & & . & & \\ & & & 1 & \\ & & & & 1 \end{bmatrix}=I_n+\lambda E_{ij}$

Efecte d'una transvecci?? en l'espai (conservaci?? del volum)

Figura 8. Cub abans de la transvecci??	Cub despr??s de la transvecci??

Per construcci?? del propi determinat dels endomorfismes, dues matrius semblants tenen el mateix determinant.

[edita] Propietats

Tret d'efectuar la tria d'una base, ??s possible enunciar aquestes propietats al marc matricial.

[edita] Car??cter n - lineal alternat

La aplicaci?? determinant sobre les fam??lies de vectors ??s una forma multilineal alternada. Utilitzar aquesta propietat sobre una matriu demana d'expressar el sistema de vectors columnes, o de vectors l??nies. Per exemple si la matriu A admet per a columnes C₁, ..., C_n amb C_i de la forma C_i=aC '_i+C ' '_i

$\det(C_1,C_2,\dots,aC'_i+C''_i,\dots,C_n)=a\cdot\det(C_1,\dots,C'_i,\dots, C_n)+\det(C_1,C_2,\dots,C''_i,\dots,C_n)\,$

Heus aqu?? l'efecte de les operacions elementals sobre les columnes de la matriu

multiplicar una columna per a, implica la multiplicaci?? del determinant pel mateix valor
intercanviar dues columnes, implica la multiplicaci?? del determinant per -1
afegir en una columna una combinaci?? lineal de les altres columnes no modifica el determinant.

Si totes les columnes s??n multiplicades per a, el resultat ??s una multiplicaci?? per aⁿ del determinant

$\det (a \times M) = a^n \times \det{M}$

Per contra, no existeix cap f??rmula senzilla per expresar el determinant de la suma A+B de dues matrius. En efecte, aplicar la multilinearitat respecte a les columnes demana d'escriure les columnes de la suma com a A_i+B_i, despr??s d'aplicar n vegades la propietat de linearitat. Finalment, el determinant de A+B s'escindeix en una suma de 2ⁿ determinants h??brids det(A₁, A₂, B₃, A₄,..., B_n), formats d'un cert nombre de columnes de A i de B. ??s possible efectuar igualment operacions elementals sobre les files, que tenen les mateixes propietats que les operacions sobre les columnes. Operar sobre les files seguint la t??cnica del pivot de Gauss dona un m??tode sistem??tic c??lcul dels determinants ; ??s el m??tode m??s efica?? per regla general.

Article principal: C??lcul de determinants

[edita] Propietats de morfisme i d'anul??laci??

Augustin Louis Cauchy va demostrar que el determinant constitueix un morfisme de grups

Cas d'anul??laci?? dels determinants

el determinant d'un sistema de n vectors ??s nul si i nom??s si aquest sistema ??s linealment dependent (i aix?? ??s v??lid sigui quina sigui la base de refer??ncia)
el determinant d'una matriu (o d'un endomorfisme) ??s nul si i nom??s si aquesta matriu (o endomorfisme) ??s no invertible.

Aquestes propietats expliquen el paper essencial que poden jugar els determinants en ??lgebra lineal. Constitueixen una eina fonamental per provar que una fam??lia de vectors ??s una base.

Demostraci?? del cas d'anul??laci??

si el sistema ??s linealment dependent, una columna ??s combinaci?? lineal de les altres. Per una operaci?? elemental, ??s possible de transformar-lo en un determinant que tingui una columna mula, per tant el determinant ??s nul.
si el sistema ??s independent, ??s possible considerar-lo com una base B' i aplicar-li la f??rmula de canvi de bases : det_B(B ').det_B ' (B)=1.

Propietat de morfisme

$\det (M \times N) = \det {M} \times \det{N}$
aix?? si M ??s invertible llavors $\det {M^{-1}} = (\det{M})^{-1}\,$
i el determinant ??s un morfisme de grups de $(GL_n(\mathbb{R}),\times)$ en $(\mathbb{R}^*,\times)$

Demostraci?? de la propietat de morfisme

La doble aplicaci?? de la f??rmula per a la imatge d'una fam??lia de vectors d??na el resultat, prenent els vectors imatges dels vectors de la base B mateixos

$\det (uv)=\det{}_B (u(v(e_1)),\dots, u(v(e_n)))=\det u . \det{}_B (v(e_1),\dots, v(e_n))=\det u \det v$

Existeix una generalitzaci?? de la f??rmula de determinant d'un producte per al cas de dues matrius rectangulars : ??s la f??rmula de Binet-Cauchy.

[edita] Adjunts i f??rmula de recurr??ncia

Article principal: Matriu d???adjunts

Sigui A una matriu quadrada de dimansi?? n, i A(x) la matriu que t?? els mateixos coeficients que A, excepte el terme d'??ndex i, j que val a_{i, j}+x (??s la modificaci?? d'un dels coeficients de la matriu, tota la resta es conserva igual). Per la f??rmula de linearitat per a la j - ??ssima columna, ??s possible establir

$\det A(x)=\det A + x(-1)^{i+j}\begin{vmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} \\\vdots & & \vdots & \vdots& &\vdots\\ a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \dots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\ a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & a_{n,n}\end{vmatrix} = \det A+x {\rm Cof}_{i,j}$

El terme escrit Cof_{i, j} es diu l???adjunt d?????ndex i, j. Es calcula de la manera seg??ent : Escrivint M(i;j) determinant de la submatriu dedu??da de M per supressi?? la l??nia i i la columna j, ?????adjunt ??s (-1)^i+j vegades M(i;j). Admet les interpretacions seg??ents

multiplicant per x el coeficient d'??ndex i, j de la matriu (conservant tota la resta igual) torna a resultar l???augment del determinant de x vegades l???adjunt corresponent
l???adjunt ??s la derivada del determinant de la matriu A(x)

Formules de Laplace

Pierre-Simon Laplace

Si n>1 i A ??s una matriu quadrada de dimensi?? n llavors ??s possible de calcular el seu determinant en funci?? dels coeficients d'una sola columna i dels adunts corresponents. Aquesta f??rmula, dita f??rmula de Laplace, permet transformar el c??lcul del determinant a n c??lculs de determinants de dimanesi?? n-1.

F??rmula de desenvolupament respecte a la columna j

$\det{A}=\sum_{i=1}^{n} a_{i;j} {\rm Cof}_{i,j}$

Es pot donar igualment una f??rmula de desenvolupament respecte a la fila i

$\det{A}=\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} {\rm Cof}_{i,j}$

Matriu adjunta i c??lcul de la inversa

La matriu d???adjunts de A, o comatriu de A ??s la matriu constitu??da pels adjunts de A. Generalitza les f??rmules de desenvolupament del determinant respecte a les files o columnes

$A \times {}^t{{\rm com} A} = {}^t{{\rm com} A}\times A =\det{A} \times I_n$

La matriu transposada de la matriu d???adjunts es diu matriu complement??ria de A. Si A ??s invertible, la inversa de A ??s un m??ltiple de la matriu complement??ria. Aquest enfocament ofereix una f??rmula de la matriu inversa, que no requereix res m??s que c??lculs de determinants

$A^{-1}=\frac1{\det A} \, {}^t{{\rm com} A}$

[edita] Variacions de la funci?? determinant

La f??rmula de Leibniz mostra que el determinant d'una matriu A s'expressa com a sumes i productes de components de A. No ??s doncs sorprenent que el determinant tingui bones propietats de regularitat.

[edita] Determinant dependent d'un par??metre

S?? $t\mapsto A(t)$ ??s una funci?? de classe $\mathcal C^k$ amb valors a les matrius quadrades d'ordre n, llavors $t\mapsto \det A(t)$ ??s igualment de classe $\mathcal C^k$ .

La f??rmula de derivaci?? s'obt?? fent intervenir les columnes de A

$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left(\det (A_1(t),\dots, A_n(t)) \right)= \sum_{i=1}^n \det (A_1(t),\dots, A_{i-1}(t),A'_i(t),A_{i+1}(t),\dots, A_n(t))$

Aquesta f??rmula ??s formalment an??loga a la derivada d'un producte de n funcions num??riques.

[edita] Aplicaci?? determinant sobre l'espai matrius

L'aplicaci?? que a la matriu A li associa el seu determinant ??s continua.

Aquesta propietat presenta conseq????ncies topol??giques interessants : aix?? el grup GL_{n () ??s un obert, el subgrup SL_n() ??s un tancat.}

Aquesta aplicaci?? ??s derivable i fins i tot $\mathcal C^\infty$ .

El desenvolupament en s??rie de Taylor limitat al primer terme del determinant a l???entorn de A s'escriu

$\det (A+H)=\det A + {\rm tr } ({}^t{\rm Com }(A).H)+o(\|H\|)$

??s a dir que en M_n( $\mathbb{R}$ ) prove??t del seu producte escalar can??nic, la matriu d???adjunts s'interpreta com el gradient de l'aplicaci?? determinant

$\nabla \det (A) = {\rm Com }(A)$

Per al cas on A ??s la identitat

$\det (I+H)=1 + {\rm tr } (H)+o(\|H\|)\qquad \nabla \det (I) = I$

El car??cter derivable permet afirmar que GL_n( $\mathbb{R}$ ) ??s un grup de Lie.

??s tamb?? el polinomi que fa de GL_n( $\mathbb{R}$ ) una varietat algebraica.

Aquestes f??rmules porten de vegades el nom d'identitats de Jacobi. S???expliquen a l???article matriu d???adjunts.

[edita] Generalitzaci?? als espais vectorials sobre altres cossos i en els m??duls

Les diferents definicions i propietats de la teoria dels determinants s'escriuen de manera id??ntica en el marc dels espais vectorials complexos i de les matrius de coeficients complexos. El mateix sobre tot cos commutatiu, excepte per al par??graf ??variacions de la funci?? determinant?? que llavors no t?? sentit.

Quasi l totalitat de la teoria dels determinants encara pot ser estesa a les matrius a coeficients en un anell commutatiu A i amb els m??duls de dimensi?? finita sobre A. L'??nic punt de diverg??ncia ??s la caracteritzaci?? de l'anul??laci?? dels determinants.

Aix?? una matriu de coeficients en un anell commutatiu A ??s invertible si i nom??s si el seu determinant ??s invertible a A.

La q??esti?? de l'algoritme de c??lcul del determinant s'ha de reprendre. En efecte, el m??tode del pivot de Gauss demana d???efectuar divisions, el que no ??s possible a l'anell A mateix. Les f??rmules de Leibniz o de Laplace permeten fer un c??lcul sense divisi??, per?? continuen sent molt costoses en temps de c??mput. Existeixen algoritmes m??s raonables, en els quals el temps d'execuci?? ??s d'ordre n⁴ ; sobretot, l'algoritme del pivot Gauss s'adapta en el cas d'un anell euclidi??, aquesta adaptaci?? ??s descrita a l'article sobre el teorema dels factors invariants. El lloc web de la universitat lliure de Berl??n proposa un document de refer??ncia sobre la q??esti?? dels algoritmes sense divisi?? (en angl??s).

[edita] Notes

??? E Knobloch Determinants in I Grattan-Guinness (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences Londres 1994 pp 766-774 Plantilla:ISBN
??? E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalk??l (Hildesheim, 1980)
??? Y. Mikami, The development of Mathematics in China and Japan (1913, 2e ??d. Chelsea Pub. Company 1974)
??? C. B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley, 1968)
??? Gabriel Cramer Introduction to the analysis of algebraic curves 1750
??? M. Cantor, Geschichte der Mathematik (Teubner, 1913)
??? B??zout Recherches sur le degr?? des ??quations r??sultantes de l?????vanouuissement des inconnues, et sur le moyens qu???il convenient d???employer pour trouver ces ??quations, M??m. Acad. Roy. Sci Paris, 1764, pp 288???338
??? Vandermonde M??moire sur l?????limination, Hist. de l???Acad. Roy. des Sciences Paris 1772, 2e partie, pp 516-532
??? La grande notori??t?? n'est assur??e en Math??matiques qu'aux noms associ??s ?? une m??thode, ?? un th??or??me, ?? une notation. Peu importe d'ailleurs que l'attribution soit fond??e ou non, et le nom de Vandermonde serait ignor?? de l'immense majorit?? des math??maticiens si on ne lui avait attribu?? ce d??terminant que vous connaissez bien, et qui n'est pas de lui ! V.A. Lebesgue Conf??rence d'Utrecht 1837
??? Lagrange Nouvelle solution du probl??me du mouvement de rotation d???un corps de figure quelconque qui n???est anim?? par aucune force acc??l??ratrice Nouveaux m??moires de l???Acad??mie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, 1773
??? ^11,0 ^11,1 L'essentiel des informations de ce paragraphe provient du site suivant : (angl??s) Matrices and determinants
??? Cauchy M??moire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs ??gales et des signes contraires par suite des transpositions op??r??es entre les variables qu'elles renferment adress?? en 1812 et publi?? dans le Journal de l'Ecole Poytechnique, XVIIe Cahier, Tome X, Paris 1815 lire sur Gallica
??? Cauchy Application du calcul des r??sidus ?? l???int??gration des ??quations diff??rentielles lin??aires ?? coefficients constants 1826 Lire sur le site de Gallica

[edita] Vegeu tamb??

Complements t??cnics

C??lcul de determinants
aplicaci?? multilineal
Matriu d???adjunts

??lgebra :

Resultant de dos polinomis, i el discriminant que n?????s un cas particular
Polinomi caracter??stic
Regla de Cramer

An??lisi :

Wronski??
Jacobi??
Hessi??, lligat a l???estudi dels punts cr??tics

Geometria :

Determinant de Gram
Forma volum
Orientaci??
Producte vectorial

F??sica de part??cules :

Determinant de Slater

[edita] Bibliografia

Plantilla:Lang1 ;
(angl??s) Plantilla:Artin1 ;
Henri Cartan, Cours de calcul diff??rentiel, Paris, Hermann, 1977 ;
Plantilla:Gabriel. Plantilla:Commentaire biblio

[edita] Enlla??os externs

Categoria: ??lgebra

Categoria oculta: Viquip??dia:Articles destacats en franc??s

Determinant (matem??tiques)

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] Hist??ria dels determinants

[edita] Primers c??lculs de determinants

[edita] Determinants d'una dimensi?? qualsevol

[edita] Aparici?? de la noci?? moderna de determinant

[edita] Primers exemples : ??rees i volums

[edita] Determinant de dos vectors en el pla euclidi??

[edita] Propietats

[edita] Generalitzaci??

[edita] Determinant de tres vectors en l'espai euclidi??

[edita] Propietats

[edita] Interpretaci?? del signe del determinant : orientaci??

[edita] Plantejament intu??tiu del determinant d'una aplicaci?? lineal

[edita] Marc d'utilitzaci??

[edita] Determinant i equacions lineals

[edita] Relaci?? amb l'aixafament dels volums

[edita] Determinant i reducci??

[edita] Determinant i integral m??ltiple

[edita] Determinant i esmorte??ment en les equacions diferencials

[edita] Definici?? del determinant

[edita] Origen de la construcci?? del determinant

[edita] Formes n - lineals alternades

[edita] Determinant d'una fam??lia de n vectors en una base

[edita] Determinant d'una matriu

[edita] Determinant d'un endomorfisme

[edita] Propietats

[edita] Car??cter n - lineal alternat

[edita] Propietats de morfisme i d'anul??laci??

[edita] Adjunts i f??rmula de recurr??ncia

[edita] Variacions de la funci?? determinant

[edita] Determinant dependent d'un par??metre

[edita] Aplicaci?? determinant sobre l'espai matrius

[edita] Generalitzaci?? als espais vectorials sobre altres cossos i en els m??duls

[edita] Notes

[edita] Vegeu tamb??

[edita] Bibliografia

[edita] Enlla??os externs

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es