Aplicació lineal

De Viquipèdia

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecten l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Taula de continguts

1 Definicions
2 Nucli i imatge
- 2.1 Teorema del rang
- 2.2 Teorema d'isomorfisme
3 L'espai dual

[edita] Definicions

Sigui

$f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F$

una aplicació on $\mathbf E$ i $\mathbf F$ són dos $\mathbb K$ -espais vectorials.

f

és una aplicació lineal (o un morfisme de $\mathbb K$ -espais vectorials) si:

* $\forall x\in E,\forall y\in E,f(x+y)=f(x)+f(y)$

* $\forall \lambda \in \mathbb K,\forall x\in E,f(\lambda\cdot x)=\lambda \cdot f(x)$

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogeni.

Si $f:\mathbf E \rightarrow \mathbf F$ és una aplicació lineal, $\forall x,y \in \mathbf E$ , i $\forall a,b \in \mathbb K$ es compleix:

$f(ax+by)=af(x)+bf(y)\,$
$f(\sum_{i=1}^m a_ix_i)=\sum_{i=1}^m a_if(x_i)$
$f(\vec 0)=\vec 0$
$f(-x)=-f(x)\,$
Si $g:\mathbf F \rightarrow \mathbf G$ també és una aplicació lineal, aleshores: $g\circ f: \mathbf E \rightarrow \mathbf G$ , també és una aplicació lineal.

[edita] Nucli i imatge

Sigui $f:\mathbf E\rightarrow \mathbf F$

S'anomenarà nucli de $f$ al subespai vectorial de $\mathbf E$

$Nuc f=\left\{x\in \mathbf E|f(x)=0\right\}$

S'anomenarà imatge de $f$ al subespai vectorial de $\mathbf F$

$Im f=\left\{y \in \mathbf F|\exist x\in \mathbf E , y=f(x)\right\}$

[edita] Teorema del rang

$dim(Nuc f) + dim(Im f)=dim (\mathbf E)$

[edita] Teorema d'isomorfisme

$Im f \cong \mathbf E/Nuc f$

[edita] L'espai dual

S'escriurà $\mathcal{L}(\mathbf E,\mathbf F)$ com el conjunt de totes les aplicacions lineals de $\mathbf E$ a $\mathbf F$ , que són espais vectorials sobre el cos $\mathbb K$ .

Es defineix l'espai dual com el conjunt $\mathbf E^*=\mathcal{L}(\mathbf E,\mathbb K)$ .

$\mathbf E^*$ és un espai vectorial de la mateixa dimensió de $\mathbf E$ . De tal forma que si $(u 1, u 2,..., u n)$ és una base de $\mathbf E$ , les aplicacions

$u_i^':\mathbf E \rightarrow \mathbb K$

definides per $u_i^'(u_j)=\left\{\begin{matrix} 1&\mbox {si}&i=j\\ 0&\mbox {si}& i\ne j\end{matrix}\right.$ formen una base $(u_1^',u_2^',...u_n^')\,$ de $\mathbf E^*$ que anomenarem base dual de $(u_1,u_2,...,u_n)\,$