Semblan??a

De Viquip??dia

Les formes geom??triques del mateix color s??n semblants

Es diu que entre dos objectes hi ha una relaci?? de semblan??a si es pot establir una relaci?? entre els punts d???un dels objectes i els punts de l???altre de forma que la dist??ncia entre qualsevol parell de punts despr??s de la transformaci?? sigui la mateixa d???abans multiplicada per una constant.

Taula de continguts

1 Definici??
2 Composici?? de relacions de semblan??a
- 2.1 Cas de l???espai euclidi??
- 2.2 Triangles semblants
3 Auto semblan??a

[edita] Definici??

De manera m??s formal,

si $x$ i $y$ s??n elements d???un espai m??tric M i

la funci?? $d\left( M,M \right)\to \Re$ ??s la dist??ncia en $M$

i per a dos subconjunts de M, $A 1, A 2$ existeix una funci?? bijectiva $f\left( A_{1} \right)\to A_{2}$ tal que

$d\left( f\left( x \right),f\left( y \right) \right)=c\times d\left( x,y \right)$

Per a tot x,y de , $A 1$ i per alg??n c de $\mathbb{R}$ ,

llavors els conjunts $A 1$ i $A 2$ s??n semblants.

De la funci?? $y=f\left( x \right)$ que aplicada a tots els elements de $A 1$ genera $A 2$ es diu que ??s una relaci?? de semblan??a

[edita] Composici?? de relacions de semblan??a

La composici?? de dues relacions de semblan??a ??s tamb?? una relaci?? de semblan??a dons:

Si $d\left( f\left( x \right),f\left( y \right) \right)=c_1\times d\left( x,y \right)$ i $d\left( g\left( x \right),g\left( y \right) \right)=c_2\times d\left( x,y \right)$ Llavors :

$\begin{align} & d\left[ \left( f\circ g \right)\left( x \right),f\circ g\left( y \right) \right]=d\left[ f\left( g\left( x \right) \right),f\left( g\left( y \right) \right) \right] \\ & =c_{1}\times d\left[ g\left( x \right),g\left( y \right) \right]=\left( c_{1}\times c_{2} \right)\times d\left( x,y \right) \\ \end{align}$

[edita] Cas de l???espai euclidi??

En el cas de l???espai euclidi?? la dist??ncia entre dos punts $x=\left( \begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ \end{matrix} \right)$ i $y=\left( \begin{matrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ \end{matrix} \right)$ ??s:

$d\left( x,y \right)=\sqrt{\left( x_{1}-y_{1} \right)^{2}+\left( x_{2}-y_{2} \right)^{2}+\left( x_{3}-y_{3} \right)^{2}}$

Amb aquesta dist??ncia, les translacions, les rotacions, les simetries i les homot??cies s??n relacions de semblan??a. Per tant qualsevol composici?? de funcions d???aquest tipus tamb?? ??s una relaci?? de semblan??a. Per veure-ho n???hi ha prou en aplicar la definici?? de dist??ncia a la transformaci?? de dos punts qualsevol per cada una d???aquestes funcions.

Translaci??.

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)=\left( \left( x_{1}+t_{1} \right),\left( x_{2}+t_{2} \right),\left( x_{3}+t_{3} \right) \right)$

Rotaci?? entorn a l???eix 3 (sense p??rdua de generalitat perqu?? sempre es pot fer un canvi de sistema de coordenades per que qualsevol rotaci?? es pugi fer entorna al l???eix 3.

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)=\left( \left( x_{1}\cos \theta -x_{2}sin\theta \right),\left( x_{1}sin\theta +x_{2}\cos \theta \right),x_{3} \right)$

Simetria respecte al pla $x 3 = 0$ (tamb?? sense p??rdua de generalitat pel mateix motiu).

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)=\left( x_{1},x_{2},-x_{3} \right)$

Homot??cia.

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)=\left( t\times x_{1},t\times x_{2},t\times x_{3} \right)$

[edita] Triangles semblants

En un espai euclidi?? dos triangles s??n semblants si i nom??s si els seus angles s??n iguals. De fet com que els tres angles (en l???espai euclidi??) sumen sempre 180??, n???hi ha prou amb dir que dos dels seus angles siguin iguals. Un cas particular d???aix?? ??s el teorema de Tales. Cal tenir en compte que si l???espai no ??s euclidi?? aix?? no ??s veritat. De fet comprovar qualsevol d???aquestes afirmacions (suma dels angles del triangle o semblan??a de triangles amb igualtat d???angles) ??s una forma per verificar si l???espai f??sic ??s euclidi?? o no.