Trigonometria esfèrica
De Viquipèdia
La trigonometria esfèrica és un conjunt de relacions anàlogues a les de la trigonometria plana, però en aquest cas, amb angles i distàncies disposades sobre una esfera.
Les regles habituals de la trigonometria plana ja no seran vàlides; per exemple la suma dels angles d'un triangle situat sobre una esfera és superior a 
i els segments de rectes es transformen en arcs de cercles màxims.
Taula de continguts |
[edita] El triangle esfèric
Si es situen dos punts sobre una superfície esfèrica, la corba més curta sobre aquesta superfície que els uneix, és un dels dos arcs del cercle màxim que aquest dos punts determinen. Aquest cercle màxim queda perfectament determinat pels dos punts diferents, qualssevol sobre l'esfera. Cal recordar que tots els cercles màxims d'una esfera tenen el mateix radi que l'esfera.
Un triangle esfèric no queda totalment determinat per tres punts A, B i C situats sobre la superfície esfèrica. Ja que, per exemple en el cas de l'adjunta imatge, els tres punts A, B i C, a part del triangle a, b i c remarcat pel dibuix, també són els vèrtexs del triangle a, 
' i 
, entenent per i , els arcs complementaris de b i c respectivament.
Així doncs, a, b i c són els costats del nostre triangle, però en trigonometria esfèrica, a, b i c no s'han de veure com a longituds, sinó com a angles. Així, quan s'escriu a s'ha de pensar en l'angle 
BOC, on O és el centre de l'esfera. Igualment b serà l'angle AOC i c serà AOB. Evidentment, la longitud de a és Ra, aquesta segona a en radians.
Una altre de les característiques són els angles, ja que aquí no ens trobem sobre una superfície plana. Per exemple el valor del angle α del vèrtex A és el que tindria un angle sobre el pla de la tangent a l'esfera en A, limitat per la recta definida per aquest pla tangent i el pla determinat pel cercle màxim que passa per A i B, d'una banda, i la recta definida pel mateix pla tangent i el pla determinat pel cercle màxim que passa per A i C, d'altra banda. En els triangles esfèrics no degenerats, no es compleix que la suma dels seus angles és igual a , com passa amb els triangles d'un pla. En aquest cas es pot escriure 
.
Així doncs, en un triangle esfèric, considerem els següents elements:
- El seu radi: R.
- Els seus vèrtexs: A, B i C.
- Els costats, que tal com s'ha dit són els angles: a=BOC, b=AOC i c=AOB.
- I els angles: α, del vèrtex A. β, del vèrtex B i γ, del vèrtex C.
[edita] Àrea del triangle esfèric
Un aspecte remarcable és l'àrea del triangle esfèric, que es calcula molt fàcilment a partir dels tres angles:
Àrea=
on 
és el radi de l'esfera, i els angles van expressats en radians.
[edita] Grup de Bessel
El grup de són les fórmules bàsiques de la trigonometria esfèrica en la resolució de triangles esfèrics:
| cosa = cosb · cosc + sinb · sinc · cosα | Fórmula del cosinus |
| sina · sinβ = sinb · sinα | Fórrmula del sinus |
| sina · cosβ = cosb · sinc - sinb · cosc · cosα |
I, per mutació, el grups corresponents als costats b i c.
[edita] Aplicacions
- Càlculs de coordenades :
- a astronomia (declinació i ascensió recta)
- a geografia (latitud i longitud)
[edita] Enllaços externs
Podeu trobar les demostracions del grup de Bessel, i moltes altres relacions trigonomètriques a:
