Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema de la diverg??ncia - Viquip??dia

Teorema de la diverg??ncia

De Viquip??dia

En c??lcul vectorial, el teorema de la diverg??ncia, tamb?? conegut com a teorema de Gauss, teorema de Ostrogradsky, o teorema de Ostrogradsky???Gauss ??s un resultat que enlla??a la diverg??ncia d'un camp vectorial al valor de les integrals de superf??cie del fluxe definit pel camp. El teorema de la diverg??ncia ??s un resultat important per les matem??tiques de la f??sica, en particular en electroest??tica i din??mics de fluids.

Taula de continguts

[edita] Enunciat matem??tic

Sigui V un subconjunt compacte de Rn (pensant en el cas n=3) i diferenciable a trossos. Si F ??s un camp vectorial diferenciable continu definit en una bola al voltant de V, llavors tenim

\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}

on S = ???V ??s la vora de V orientada per vectors normals enfora, i dS ??s NdS, la normal enfora de la vora ???V.

Cal remarcar que el teorema de Gauss prov?? del teorema de Stokes m??s general, que generalitza el teorema fonamental del c??lcul.

[edita] Exemple

Suposant que volem evaluar \iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS, on S ??s l'esfera unitat definida per x2 + y2 + z2 = 1 i F ??s el camp vectorial \mathbf{F} = 2 x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}. El c??lcul directe d'aquesta integral ??s for??a dif??cil, per?? es pot simplificar fent servir el teorema de la diverg??ncia:

\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} dS=\iiint\limits_W\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right)dV
= 2\iiint\limits_W dV + 2\iiint\limits_W y dV + 2\iiint\limits_W z dV

Per simetria,

\iiint\limits_W y dV = \iiint\limits_W z dV = 0

Llavors,

2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right)dV = 2\iiint\limits_W dV = \frac{8\pi}{3}

perqu?? l'esfera unitat W t?? volum 4??/3.

[edita] Aplicacions

[edita] Electroest??tica

Aplicat a un camp electroest??tic, s'obt?? la llei de Gauss: la diverg??ncia ??s una constant per la densitat de c??rrega del volum.

[edita] Gravetat

Aplicat a un camp gravitacional, s'obt?? que la integral de superf??cie ??s -4??G per la massa de dins, sigui quina sigui la distribuci?? de massa, i siguin quines siguin les masses externes.

[edita] Distribuci?? esf??rica sim??trica de masses

En el cas de distribuci?? esf??rica sim??trica de masses, es pot concloure que la for??a del camp a una dist??ncia r del centre ??s interior amb una magnitud de G/r?? per la massa total a una dist??ncia petita, siguin quines siguin les masses a dist??ncia superior.

Per exemple, una esfera buida no produeix gravetat a l'interior. El camp gravitacional a l'interior ??s el mateix que si l'esfera buida no fos all??.

[edita] Distribuci?? cil??ndrica sim??trica de masses

En el cas que una distribuci?? cil??ndrica infinita sim??trica de masses, es pot concloure que la for??a del camp a una dist??ncia del centre r ??s interior amb una magnitud de 2G/r per la massa total per unitat de longitud a una dist??ncia curta, siguin quines siguin les masses a una dist??ncia superior

Per exemple, un cilindre buid infinit no produeix gravetat a l'interor.

[edita] Hist??ria

El teorema va ser descobert per Joseph Louis Lagrange el 1762, i m??s tard redescobert independentment per Carl Friedrich Gauss el 1813, per George Green el 1825 i el 1831 per Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, qui tamb?? va donar la primera prova del teorema. Subseg??entment, variacions del teorema de la diverg??ncia s'anomenen teorema de Gauss, teorema de Green i teorema de Ostrogradsky.

Aquest article es basa orginalment en l'article GFDL de PlanetMath a http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html