Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Diverg??ncia - Viquip??dia

Diverg??ncia

De Viquip??dia

En c??lcul vectorial, s'anomena diverg??ncia a l'operador que mesura la tend??ncia d'un camp vectorial per originar-se o convergir a un determinat punt. Per exemple, per un camp vectorial que denoti la velocitat del fluxe de l'aigua escolant-se per una banyera, la diverg??ncia tindria valor negatiu al forat de la banyera, ja que l'aigua se'n va per all?? (si nom??s considerem dues dimensions); lluny del forat, la diverg??ncia seria zero, ja que no hi ha cap m??s p??rdua o font d'aigua.

Un camp vectorial que t?? diverg??ncia zero s'anomena soleno??dal.

Taula de continguts

[edita] Definici??

Sigui x, y, z un sistema de coordenades cartesianes en un espai euclidi?? de dimensi?? tres, i siguin i, j, k les bases dels vectors unitat corresponents.

La diverg??ncia d'un camp vectorial diferenciable continu

F = Fx i + Fy j + Fz k

es defineix com la funci?? de valor escalar

\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}.

Encara que s'expressi en termes de coordenades, el resultat ??s invariant sota transformades ortogonals, tal i com suggereix la interpretaci?? f??sica.

Una altra notaci?? com?? de la diverg??ncia ??s ?????F. Veure en aquest sentit operador nabla.

[edita] Interpretaci?? f??sica

En termes f??sics, la diverg??ncia d'un camp vectorial ??s l'abast en el que el fluxe d'un camp vectorial es comporta com una font o un desgu??s en un punt determinat. De fet, una alternativa d??na la diverg??ncia com la derivada del fluxe net d'un camp vectorial a trav??s de la superf??cie d'una esfera petita relativa amb el volum de l'esfera. Concretament,

( \operatorname{div}\,\mathbf{F}) (p) = \lim_{r \rightarrow 0} \int_{S(r)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}dS \over \frac{4}{3} \pi r^3 }

on S(r) denota l'esfera de radi r al punt p en R3, i la integral ??s la integral de superf??cie respecte de n, la normal a l'esfera.

Per la interpretaci?? f??sica, un camp vectorial amb diverg??ncia constant zero s'anomena incomprimible ??? en aquest cas, no hi pot haver cap fluxe net a trav??s de cap superf??cie tancada.

[edita] Propietats

Les propietats seg??ents deriven totes de les regles de diferenciabilitat ordin??ria del c??lcul. La m??s important, la diverg??ncia ??s un operador lineal,

\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )

per tots els camps vectorials F i G i tots els n??meros reals a i b.

Hi ha una norma de producte del tipus seg??ent; si ?? ??s una funci?? de valor escalar, i F ??s un camp vectorial, llavors

\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),

o en notaci?? m??s suggestiva

\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).

Una altra regla del producte pel producte escalar de dos camps vectorials F i G en tres dimensions implica el rotacional, que ??s:

\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),

o b??

\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).

El Laplaci?? d'un camp escalar ??s la diverg??ncia del gradient del camp.

La diverg??ncia del rotacional de qualsevol camp vectorial (en tres dimensions) ??s constant i val zero.

\nabla\cdot(\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0.

Al contrari, si tens un camp vectorial F amb diverg??ncia nul??la definit en una bola en R3, llavors existeix algun camp vectorial F en aquesta bola amb F = rot(G). Per regions en R3 m??s complicades que boles, l'??ltima afirmaci?? pot no ser veritat.

[edita] Vegeu tamb??