Derivada direccional
De Viquipèdia
En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de varies variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quant es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.
La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux.
Taula de continguts |
[edita] Definició
La derivada direccional d'una funció escalar al llarg d'un vector
és la funció definida pel límit
De vegades alguns autors escriuen Dv en comptes de . Si la funció f és derivable a
, llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector
i es té
On la de la dreta denota el gradient i
és el Producte escalar. A qualsevol punt
, la derivada direccional de f, intuïtivament, representa la raó de canvi de f al llarg de
al punt
. Normalment les direccions es prenen normalitzades, es a dir
és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol. [1]
![z = f(x,y)\;](../../../../math/5/d/4/5d4d7f0f21e8d6712b080b5251b1fa35.png)
![\mathbf{v} = (v_x,v_y)](../../../../math/f/5/4/f54850e07e7aed54d25a1e7674e51651.png)
El primer d'aquests límits es pot calcular amb el canvi això, pel fet de ser derivable la funció, condueix a:
Fent el mateix amb l'altre límit i sumant s'obté:
Aquest resultat coincideix amb el producte escalar del gradient pel vector :
[edita] Propietats
Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:
- La regla de la suma:
- La regla del producte per una constant: Per a qualsevol constant c,
- La regla del producte:
- La regla de la cadena: Si g és derivable a p i h és derivable a g(p), llavors
[edita] En geometria diferencial
Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a (vegeu derivada covariant), Lvf(p) (vegeu derivada de Lie), o vp(f) (vegeu espai tangent#Definició via derivació), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ′(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per
Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ es selecciona de la forma prescrita, es a dir γ'(0) = v.
[edita] Derivada normal
Una derivada normal és una derivada direccional peresa en la direcció normal (es a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu , llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades
.
[edita] Referències
- ↑ VegeuSee Tom Apostol (1974). Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 344-345. ISBN 0-201-00288-4.
[edita] Vegeu també
- Derivada de Lie
- Forma diferencial