Derivada direccional

De Viquipèdia

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de varies variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quant es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.

La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux.

[edita] Definició

La derivada direccional d'una funció escalar $f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ al llarg d'un vector $\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)$ és la funció definida pel límit

$\nabla_{\vec{v}}{f}(\vec{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.$

De vegades alguns autors escriuen D_v en comptes de $\nabla_v$ . Si la funció $f$ és derivable a $\vec{x}$ , llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector $\vec{v},$ i es té

$\nabla_{\vec{v}}{f}(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x}) \cdot \vec{v}$

On la $\nabla$ de la dreta denota el gradient i $\cdot$ és el Producte escalar. A qualsevol punt $\vec{x}$ , la derivada direccional de $f$ , intuïtivament, representa la raó de canvi de $f$ al llarg de $\vec{v}$ al punt $\vec{x}$ . Normalment les direccions es prenen normalitzades, es a dir $\vec{v}$ és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol. ^[1]

Demostració

Per claredat es farà la demostració pel cas d'una funció de dues variables, el cas general s'obté de la mateixa manera. Sia una funció derivable $z = f(x,y)\;$ . La derivada direccional en la direcció d'un vector $\mathbf{v} = (v_x,v_y)$ és:

$D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y)}{h}$

$D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)+f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}$

$D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)}{h} + \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}$

El primer d'aquests límits es pot calcular amb el canvi $h' = v_xh\;$ això, pel fet de ser derivable la funció, condueix a:

$\lim_{h'\to 0} \cfrac{f(x+h',y+v_yh'/v_x)-f(x,y+v_yh'/v_x)}{h'/v_x} = \lim_{h'\to 0} v_x\frac{\part f(x,y+v_yh'/v_x)}{\part x} = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x}$

Fent el mateix amb l'altre límit i sumant s'obté:

$D_\mathbf{v}f = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x} + v_y\frac{\part f(x,y)}{\part y}$

Aquest resultat coincideix amb el producte escalar del gradient pel vector $\mathbf{v} = (v_x,v_y)$ :

$(\nabla f)\cdot\mathbf{v} = \left(\frac{\part f(x,y)}{\part x}, \frac{\part f(x,y)}{\part y} \right) \cdot (v_x,v_y) = \frac{\part f(x,y)}{\part x}v_x + \frac{\part f(x,y)}{\part y}v_y = D_\mathbf{v}f$

[edita] Propietats

Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:

La regla de la suma: $\nabla_v (f + g) = \nabla_v f + \nabla_v g$
La regla del producte per una constant: Per a qualsevol constant c, $\nabla_v (cf) = c\nabla_v f$
La regla del producte: $\nabla_v (fg) = g\nabla_v f + f\nabla_v g$
La regla de la cadena: Si g és derivable a p i h és derivable a g(p), llavors

$\nabla_v h\circ g (p) = h'(g(p)) \nabla_v g (p)$

[edita] En geometria diferencial

Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a $\nabla_v f(p)$ (vegeu derivada covariant), $L v f (p)$ (vegeu derivada de Lie), o $v p (f)$ (vegeu espai tangent#Definició via derivació), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ^′(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per

$\nabla_v f(p) = \left.\frac{d}{d\tau} f\circ\gamma(\tau)\right|_{\tau=0}$

Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ es selecciona de la forma prescrita, es a dir γ'(0) = v.

[edita] Derivada normal

Una derivada normal és una derivada direccional peresa en la direcció normal (es a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu $\vec{n}$ , llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades $\frac{ \partial f}{\partial n}$ .