Derivació numèrica

De Viquipèdia

La derivació numèrica és una tècnica de càlcul numèric per a obtenir una estimació del valor de la derivada d'una funció en un punt fent servir valors de la funció i de vegades altre informació coneguda de la funció.

Una estimació senzilla basada en dos punts és calcular el pendent de la recta secant que passa pels punts (x,f(x)) and (x+h,f(x+h)). Triant un nombre h petit que representa un canvi petit en x, i que tant pot ser positiu com negatiu. El pendent d'aquesta recta és

${f(x+h)-f(x)\over h}.$

Aquesta expressió és el quocient de diferències de Newton.

EL pendent de la secant difereix del pendent de la tangent en una quantitat que és aproximadament proporcional a h. A mesura que h s'apropa a zero, el pendent de la secant s'apropa al pendent de la tangent. Però, el veritable valor de la derivada de f a x és el límit del valors del quocient de diferències a mesura que la secant es fa més i més propera a la tangent:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}.$

Com que una substitució directa de h per 0 dona una divisió per zero, el càlcul directe de la derivada pot ser contrari a la intuïció.

Una estimació senzilla basada en tres punts és calcular el pendent de la secant que passa pels punts (x-h,f(x-h)) i (x+h,f(x+h)). El pendent d'aquesta recta és

${f(x+h)-f(x-h)\over 2h}.$

De forma més general, la estimació de tres punts fa servir la secant que passa pels punts $(x - h 1, f (x - h 1))$ i $(x + h 2, f (x + h 2))$ . El pendent d'aquesta línea és

${f(x+h_2)-f(x-h_1)\over {h_1+h_2}}.$

Exemple mostrant la dificultat de triar

h

degut a la interacció entre l'error d'arrodoniment i l'error de la fórmula

El pendent d'aquesta secant difereix del pendent de la tangent en una quantitat que és aproximadament proporcional a $h 2$ per tant, quan h és petita, una estimació basada en tres punts és més exacta que una de basada en dos punts.

Una consideració important a la pràctica quan la funció s'avalua fent servir aritmètica de coma flotant és fins a quin punt convé triar un h petit. Si es tria massa petit, la resta dona un error d'arrodoniment gran. Si es tria massa gran, el càlcul del pendent de la secant serà més exacte, però la estimació de la tangent en base a la secant pot ser que sigui pitjor.