Derivaci?? num??rica

De Viquip??dia

La derivaci?? num??rica ??s una t??cnica de c??lcul num??ric per a obtenir una estimaci?? del valor de la derivada d'una funci?? en un punt fent servir valors de la funci?? i de vegades altre informaci?? coneguda de la funci??.

Una estimaci?? senzilla basada en dos punts ??s calcular el pendent de la recta secant que passa pels punts (x,f(x)) and (x+h,f(x+h)). Triant un nombre h petit que representa un canvi petit en x, i que tant pot ser positiu com negatiu. El pendent d'aquesta recta ??s

${f(x+h)-f(x)\over h}.$

Aquesta expressi?? ??s el quocient de difer??ncies de Newton.

EL pendent de la secant difereix del pendent de la tangent en una quantitat que ??s aproximadament proporcional a h. A mesura que h s'apropa a zero, el pendent de la secant s'apropa al pendent de la tangent. Per??, el veritable valor de la derivada de f a x ??s el l??mit del valors del quocient de difer??ncies a mesura que la secant es fa m??s i m??s propera a la tangent:

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}.$

Com que una substituci?? directa de h per 0 dona una divisi?? per zero, el c??lcul directe de la derivada pot ser contrari a la intu??ci??.

Una estimaci?? senzilla basada en tres punts ??s calcular el pendent de la secant que passa pels punts (x-h,f(x-h)) i (x+h,f(x+h)). El pendent d'aquesta recta ??s

${f(x+h)-f(x-h)\over 2h}.$

De forma m??s general, la estimaci?? de tres punts fa servir la secant que passa pels punts $(x ??? h 1, f (x ??? h 1))$ i $(x + h 2, f (x + h 2))$ . El pendent d'aquesta l??nea ??s

${f(x+h_2)-f(x-h_1)\over {h_1+h_2}}.$

Exemple mostrant la dificultat de triar

h

degut a la interacci?? entre l'error d'arrodoniment i l'error de la f??rmula

El pendent d'aquesta secant difereix del pendent de la tangent en una quantitat que ??s aproximadament proporcional a $h 2$ per tant, quan h ??s petita, una estimaci?? basada en tres punts ??s m??s exacta que una de basada en dos punts.

Una consideraci?? important a la pr??ctica quan la funci?? s'avalua fent servir aritm??tica de coma flotant ??s fins a quin punt conv?? triar un h petit. Si es tria massa petit, la resta dona un error d'arrodoniment gran. Si es tria massa gran, el c??lcul del pendent de la secant ser?? m??s exacte, per?? la estimaci?? de la tangent en base a la secant pot ser que sigui pitjor.