M??xims i m??nims

De Viquip??dia

M??xims i m??nims locals i globals de cos(3??x)/x, 0.1???x???1.1

En matem??tiques, dels m??xims i dels m??nims, se???n du de forma general extrems. S??n el valor m??s gran (m??xim) o el m??s petit (m??nim), que pren una funci??, ja sigui en un entorn del punt (extrem local) o en tot el domini (extrem global).

[edita] Definicions

D???una funci?? real f' defiida en la recta real es diu que t?? un m??xim local al punt x^???, si existeix algun ?? > 0, tal que f(x^???) ??? f(x) per a tot x tal que |x ??? x^???| < ??. Del valor de la funci?? en aquest punt se???n diu m??xim de la funci??.

En la gr??fica d'una funci??, els seus m??xims locals tenen l???aspecte de cims dels turons.

De forma similar, una funci?? t?? un m??nim local a x^???, si f(x^???) ??? f(x) per a tot x tal que |x ??? x^???| < ??. Del valor de la funci?? en aquest punt se???n diu m??nim de la funci??.

En la gr??fica de la funci??, els seus m??nims tenen l???aspecte de fons de les valls.

Una funci?? t?? un m??xim global a x^???, si f(x^???) ??? f(x) per a tot x.

De forma similar, una funci?? t?? un m??nim global a x^???, si f(x^???) ??? f(x) per a tot x.

Qualsevol m??xim (m??nim) global ha de ser tamb?? un m??xim (m??nim) local. No tots els m??xims o m??nims locals s??n m??xims o m??nims globals.

Terminologia: El termes local i global s??n sin??nims de relatiu i de absolut respectivament. Extrem ??s un terme que inclou tant m??xim com m??nim: un extrem local ??s un m??xim o un m??nim, local o relatiu, i un extrem global ??s un m??xim o un m??nim, global o absolut.

Dominis restringits: Pot haver-hi m??xims i m??nims de funcions, el domini de les quals no inclou tots els nombres reals. Una funci?? real, el domini de la qual ??s un conjunt qualsevol pot tenir un m??xim i un m??nim globals. Tamb?? hi pot haver m??xims i m??nims locals, per?? nom??s si el domini ??s un conjunt on hi ha definit el concepte de entorn. Un entorn juga el paper de un conjunt de x tal que |x ??? x^???| < ??.

Una funci?? real cont??nua sobre un conjunt compacte sempre t?? m??xim i m??nim en el conjunt. Un exemple important ??s una funci?? el domini de la qual ??s un int??rval real tancat i afitat (vegeu la gr??fica de m??s amunt). El requisit de que hi hagi un entorn del punt, impedeix que els extrems locals es puguin donar en els punts finals o inicials d'un interval. Aix?? no ??s sempre veritat, pel cas de dominis finits que els extrems globals hagin de ser tamb?? extrems locals.

Terminologia: El terme ??ptim, depenent del context pot substituir, un o tots dos, els termes m??xim o m??nim. Alguns problemes d???optimitzaci?? busquen un m??xim global mentre que d???altres busquen un m??nim.

[edita] Trobar m??xims i m??nims

Els extrems locals es poden trobar gr??cies al teorema de Fermat que en ess??ncia diu que si una funci?? t?? un extrem local en un punt i ??s derivable en aquest punt llavors la derivada en aquest punt val zero. Aix?? dona una condici?? necess??ria per?? no suficient per a que en un punt una funci?? tingui un extrem local: que la seva derivada sigui zero, per tant derivar la funci?? i plantejar l'equaci?? de que la seva derivada sigui igual a zero permet de trobar els punts candidats a ser els extrems.

Llavors cal identificar quins d???aquest punts (punts estacionaris) corresponen a m??xims, quins corresponen a m??nims i quins a punts d'inflexi??. Aix?? es fa amb el test de la derivada segona i successives. Per a trobar el m??xim o el m??nim absolut d???una funci?? definida a trossos, es troben els m??xims i m??nims relatius a cada tros i els valors als extrems; llavors es busca quin ??s el valor m??s gran de tots per a trobar el m??xim absolut (o el m??s petit per a trobar el m??nim absolut).

[edita] Exemples

x³+3x²???2x+1
???4 ??? x ??? 2

La funci?? x² t?? un ??nic m??nim global a x = 0.
La funci?? x³ no t?? m??xims ni m??nims. Tot i que la derivada primera (3x²) val 0 a x = 0, ??s un punt d'inflexi??.
La funci?? x³/3 ??? x t?? com a derivada primera x² ??? 1 i com a derivada segona 2x. Igualant a 0 la derivada primera i resolent x dona els punts estacionaris ???1 i +1. A parir del signe de la derivada segona es veu que ???1 ??s un m??xim local i que+1 ??s un m??nim local. Fixeu-vos que aquesta funci?? no t?? m??xim ni m??nim global.
La funci?? |x| t?? un m??nim global a x = 0 que no es pot trobar emprant derivades perqu?? no ??s derivable a x = 0.
La funci?? cos(x) t?? infinits m??xims globals a 0, ??2??, ??4??, ???, i infinits m??nims globals a ????, ??3??, ???.
La funci?? 2 cos(x) ??? x t?? infinits m??xims i m??nims locals, per?? no t?? m??xim ni m??nim globals.
La funci?? cos(3??x)/x amb 0.1 ??? x ??? 1.1 t?? un m??xim global a x = 0.1 (una frontera), un m??nim global a prop de x = 0.3, un m??xim local aprop de x = 0.6, i un m??nim local a prop de x = 1.0. (Vegeu figura del cap de la p??gina.)
La funci?? x³ + 3x² ??? 2x + 1 definida a l???interval tancat (segment) [???4,2] t??: un m??xim local a x = ???1???^???15???₃, un m??nim local a x = ???1+^???15???₃, un m??xim global a x = 2 i un m??nim global a x = ???4. (Vegeu figura de la dreta)

[edita] Funcions de varies variables

Per a funcions de m??s d???una variable, s???apliquen consideracions similars.

Per exemple, a la figura de la dreta, les condicions necess??ries per que hi hagi un m??xim local s??n similars a les que ha de complir una funci?? amb una variable. Les derivades parcials de primer ordre han de ser zero i les derivades parcials de segon ordre han de ser negatives. Si les derivades parcials de segon ordre s??n de signe diferent pot haver-hi punts de sella.