Teorema de Fermat (punts estacionaris)
De Viquipèdia
-
- Aquest article es refereix al teorema de Fermat per als punts estacionaris, vegeu aquí: l’Últim teorema de Fermat
El Teorema de Fermat és un teorema de anàlisi matemàtica, anomenat així en honor de Pierre de Fermat. Dona un mètode per a trobar els màxims i mínims locals de les funcions derivables. El teorema estableix que cada extrem local és un punt estacionari de la funció (la funció derivada val zero en aquest punt]]). Per tant, emprant el teorema de Fermat, el problema de trobar els extrems locals d’una funció es redueix al problema de resoldre una equació.
És important aclarir que el teorema de Fermat només dona una condició necessària per a que un punt sigui extrem local. Es a dir, alguns punts estacionaris, no són extrems (hi ha punts d’inflexió). Per a verificar si un punt estacionari és un extrem local i saber si es tracta d’un màxim o d’un mínim cal analitzar la derivada segona i de vegades les derivades d’ordre superior (si existeixen).
Taula de continguts |
[edita] Teorema de Fermat
Sia una funció i sia
un extrem local de
. Si
és derivable a
llavors
.
[edita] Applicació a l'optimització
- Vegeu també: màxims i mínims
Com a corol·lari, un extrem global d’una fuinció f en un domini A només pot ser: a les fronteres, als punts no derivables o als punts estacionaris. Si x0 és un extrem global de f, llavors alguna de les següents afirmacions és certa:
- frontera: x0 és a la frontera de A
- no derivable: f no és derivable a x0
- punt estacionari: x0 és un punt estacionari de f
[edita] Demostració
Se suposarà que és un màxim local (una demostració similar es pot fer si
és un mínim local). Llavors
tal que
i tal que es té
amb
. Per tant, per a qualsevol
es compleix que
Com que el límit d’aquesta fracció quan tendeix a 0 per l'esquerra existeis i és igual a
s’arriba a la conclusió de que
. Per altra banda quan
es compleix que
Altre cop el límit quan tendeix a zero per l’esquerra existeix i és igual a
per tant resulta que
.
En conclusió ha de ser .
[edita] Vegeu també
- Derivada
- Punt estacionari
- Punt d’inflexió
- Pierre de Fermat