Teorema de Fermat (punts estacionaris)

De Viquipèdia

Aquest article es refereix al teorema de Fermat per als punts estacionaris, vegeu aquí: l’Últim teorema de Fermat

El Teorema de Fermat és un teorema de anàlisi matemàtica, anomenat així en honor de Pierre de Fermat. Dona un mètode per a trobar els màxims i mínims locals de les funcions derivables. El teorema estableix que cada extrem local és un punt estacionari de la funció (la funció derivada val zero en aquest punt]]). Per tant, emprant el teorema de Fermat, el problema de trobar els extrems locals d’una funció es redueix al problema de resoldre una equació.

És important aclarir que el teorema de Fermat només dona una condició necessària per a que un punt sigui extrem local. Es a dir, alguns punts estacionaris, no són extrems (hi ha punts d’inflexió). Per a verificar si un punt estacionari és un extrem local i saber si es tracta d’un màxim o d’un mínim cal analitzar la derivada segona i de vegades les derivades d’ordre superior (si existeixen).

[edita] Teorema de Fermat

Sia $f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ una funció i sia $\displaystyle x_0 \in (a,b)$ un extrem local de $\displaystyle f$ . Si $\displaystyle f$ és derivable a $\displaystyle x_0$ llavors $\displaystyle f'(x_0) = 0$ .

[edita] Applicació a l'optimització

Vegeu també: màxims i mínims

Com a corol·lari, un extrem global d’una fuinció f en un domini A només pot ser: a les fronteres, als punts no derivables o als punts estacionaris. Si $x 0$ és un extrem global de f, llavors alguna de les següents afirmacions és certa:

frontera: $x 0$ és a la frontera de A
no derivable: f no és derivable a $x 0$
punt estacionari: $x 0$ és un punt estacionari de f

[edita] Demostració

Se suposarà que $\displaystyle x_0$ és un màxim local (una demostració similar es pot fer si $\displaystyle x_0$ és un mínim local). Llavors $\exists \, \delta > 0$ tal que $(x_0 - \delta,x_0 + \delta) \subset (a,b)$ i tal que es té $f(x_0) \ge f(x)\, \forall x$ amb $\displaystyle |x - x_0| < \delta$ . Per tant, per a qualsevol $h \in (0,\delta)$ es compleix que

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.$

Com que el límit d’aquesta fracció quan $\displaystyle h$ tendeix a 0 per l'esquerra existeis i és igual a $\displaystyle f'(x_0)$ s’arriba a la conclusió de que $f'(x_0) \le 0$ . Per altra banda quan $h \in (-\delta,0)$ es compleix que

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0$

Altre cop el límit quan $\displaystyle h$ tendeix a zero per l’esquerra existeix i és igual a $\displaystyle f'(x_0)$ per tant resulta que $f'(x_0) \ge 0$ .