Teoria diferencial de Galois

De Viquip??dia

En matem??tiques, les primitives de certes funcions elementals no es poden expressar com a funcions elementals. Un exemple cl??ssic de funci?? d'aquest tipus ??s , la primitiva de la qual ??s (tret d'una constant) la funci?? error, que es troba habitualment en estad??stica. Altres exemples s??n i x^x.

Cal dir que la noci?? de funci?? elemental ??s merament una q??esti?? de convencions. Es pot decidir d'afegir la funci?? error a la llista de funcions elementals i, amb aquesta nova llista, la primitiva de ??s elemental. Ara b??, no importa lo llarga que es faci la llista de funcions elementals, sempre hi haur?? funcions a la llista tals que les seves primitives no hi seran.

La maquinaria de la teoria diferencial de Galois permet determinar quan una funci?? elemental t?? o no t?? una primitiva que es pot expressar com una funci?? elemental. La teoria diferencial de Galois ??s una teoria que es basa en el model de la teoria de Galois. Mentre que la teoria algebraica de Galois estudia les extensions d'un cos algebraic, la teoria diferencial de Galois estudia les extensions dels cossos diferencials, es a dir cossos amb un operador derivaci??, D. La major part de la teoria diferencial de Galois ??s paral???lela a la teoria algebraica de Galois. Una difer??ncia entre les dues construccions ??s que els grups de Galois en la teoria diferencial de Galois tendeixen a ser matrius grups de Lie, en comparaci?? amb els grups finits que sovint es troben en la teoria algebraica de Galois.

Taula de continguts 1 Definicions 2 Exemple 3 Teorema basic 4 Enlla??os externs 5 Vegeu tamb??

[edita] Definicions

Per a qualsevol cos diferencial F, hi ha un subcos

Con(F) = {f de F | Df = 0},

anomenat les constants de F. Donats dos cossos diferencials F i G, G es diu una extensi?? logar??tmica de F si G ??s una extensi?? transcendental simple de F tal que

Dt = Ds/s per algun s de F.

Aix?? t?? la forma d'una derivada logar??tmica. Intu??tivament, es pot veuret com el logaritme d'algun element s de F, en aquest cas, la condici?? ??s an??loga a la regla de la cadena ordin??ria. Per?? cal recordar que F no est?? necess??riament equipat amb un ??nic logaritme; es podrien afegir moltes extensions "pseudo-logar??tmiques" a F. De forma semblant, una extensi?? exponencial ??s una extensi?? transcendental simple que satisf??

Dt = tDs.

Amb la prevenci?? anterior en ment, aquest element es pot veure com un exponencial de un element s de F. Finalment, es diu que G ??s una 'extensi?? diferencial elemental de F si hi ha una cadena finita de subcossos des de F fins a G on cada extensi?? de la cadena ??s o b?? algebraica, o b?? logar??tmica, o b?? exponencial.

[edita] Exemple

Com a exemple, el cos C(x) de les funcions racionals d'una sola variable, t?? un operador derivada donat per la derivada habitual respecte d'aquesta variable. Les constants d'aquest cos s??n precisament els nombres complexos C.

[edita] Teorema basic

Se suposa que F i G s??n cossos diferencials, amb Con(F) = Con(G), i que G ??s una extensi?? diferencial elemental de F. Sian a de F, y de G, i se suposa que Dy = a (en paraules, se suposa que G cont?? una primitiva de a). Llavors existeix c₁, ..., c_n de Con(F), u₁, ..., u_n, v de F tal que

En altres paraules, les ??niques funcions que tenen "primitives elementals" (es a dir primitives que pertanyen, en el pitjor dels cassos, a una extensi?? diferencial elemental de F) s??n aquelles que es poden escriure d'aquesta forma que prescriu el teorema. Aix??, a nivell intu??tiu, el teorema estableix que les ??niques primitives elementals s??n les "funcions simples" m??s un nombre finit de logaritmes de funcions "simples".

[edita] Enlla??os externs

• Differential Galois Theory, M. van der Put and M. F. Singer

[edita] Vegeu tamb??

• Algorisme de Risch