Teoria de Galois

De Viquipèdia

Si tenim un polinomi pot succeir que algunes de les seves arrel (matemàtiques) estiguin diguem que "connectades" mitjançant diverses equacions algebraiques, que compleixin aquestes equacions. Per exemple, pot succeir que per a dos de les arrels, diguem A i B, l'equació A² + 5B³ = 7 sigui certa. La idea central de la teoria de Galois és el considerar aquelles permutacions de les arrels que tinguin la propietat que qualsevol equació algebraica satisfeta per elles sigui satisfeta també després de la permutació o l'arranjament. És important assenyalar que ens restringim a equacions algebraiques els coeficients de les quals són nombres racionals. (Es poden especificar certs cossos per als coeficients, però en els exemples de baix seran els nombres racionals els quals usem.) El conjunt de tals permutacions formaran un grup de permutacions, també cridat Grup de Galois del polinomi (sobre els nombres racionals). Un exemple:

[edita] Primer exemple — equació quadràtica

Sigui l'equació quadràtica

x² − 4x + 1 = 0.

Mitjançant l'ús de la fórmula per l'equació quadràtic sabem que les seves dos arrels són

A = 2 + √3,   y

B = 2 − √3.

Algunes de les equacions algebraiques que satisfan A y B són

A + B = 4,   y

AB = 1.

En cadascuna d'aquestes equacions és clar que si intercanviem els papers de A i B obtenim equacions vàlides. Però a més això és cert, encara que menys obvi, per a qualsevol equació algebraica que satisfan A i B. Per a provar-lo es requereix de la teoria dels polinomis simètrics.

Concloem que el grup de Galois del polinomi x>2 − 4x + 1 consisteix en dues permutacions: la identitat que deixa A i B quietes, i la transposició, que intercanvia A i B. Com grup, és isomorf a el grup cíclic d'ordre dos, denotat Z/2Z.

Podríem plantejar l'objecció que existeix aquesta altra equació satisfeta per A i B: :A − B − 2√3 = 0 , però que no és certa quan vam intercanviar els papers. No obstant això hem d'observar que no ens importa doncs els seus coeficients no són racionals; √3 és irracional.

De forma semblant podem parlar de qualsevol polinomi quadràtic ax>2 + bx + c, on a, b i c són nombres racionals.

• Si el polinomi té només una arrel, per exemple x>2 − 4x + 4 = (x−2)2, llavors el grup de Galois és trivial; això és, conté només a la permutació identitat.
• Si té dues diferents arrels racionals, per exemple x>2 − 3x + 2 = (x−2)(x−1), el grup és de nou trivial.
• Si té dues arrels irracionals (inclusivament el cas en el qual ambdues són nombres complexos), llavors el grup de Galois compté dues permutacions, com en l'exemple anterior.