Taula de s??mbols matem??tics

De Viquip??dia

En matem??tica, uns s??mbols s??n sovint utilitzats dins les f??rmules i les proposicions. La taula seg??ent en reporta una llista.

Per a cada s??mbol es precisat el nom, la pron??ncia i la branca de les matem??tiques on ??s generalment utilitzat. Una definici?? informal i uns exemples s??n afegits.

S??mbol	Nom	Significat	Exemples
	Pron??ncia
	Branca
???	Implicaci?? l??gica	$A \Rightarrow B$ significa ??si A ??s cert, llavors B ??s cert?? i, de manera equivalent, ??si B ??s fals, llavors A ??s fals?? (si A ??s falsa, no es pot dir res de B). A vegades, s'utilitza $\rightarrow\,$ en lloc de $\Rightarrow\,$	$x = 2 \Rightarrow x^2 = 4\,$ ??s cert, per?? $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\,$ ??s fals (puix que x= -2 ??s tamb?? una soluci??).
	??implica?? o ??si... llavors??
	L??gica
???	Equival??ncia l??gica	$A \iff B$ significa : ??A ??s cert si B ??s cert i A ??s fals si B ??s fals??.	$x + 5 = y + 2 \iff x + 3 = y\,$
	??si i nom??s si?? o ????s equivalent a??
	L??gica
???	Conjunci?? l??gica	$A \wedge B$ ??s cert quan A i B s??n certs i ??s fals si algun dels dos ho ??s.	$(n>2)\wedge (n<4)\iff (n=3)$ , quan n ??s un enter natural
	??i??
	L??gica
???	Disjunci?? l??gica	$A\vee B$ ??s cert quan o A o B (o ambd??s) s??n certs i ??s fals quan els dos s??n falsos.	$(n\le 2)\vee (n\ge 4)\iff n\ne 3$ , quan n ??s un enter natural
	??o??
	L??gica
??	Negaci?? l??gica	$\neg A$ ??s cert quan A ??s fals i fals quan A ??s cert.	$\neg (A\wedge B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)$ $x\notin S\iff \neg(x\in S)$
	??no??
	L??gica
???	Quantificador universal	$\forall x\in \mathbb{R}, P(x)$ significa : ??P(x) ??s cert per qualsevol valor real que prengui x??.	$\forall n\in \mathbb N, n^2\ge n$
	??Per a tot??, ??per a qualsevol??
	L??gica
???	Quantificador existencial	$\exists x \in \mathbb R : P(x)$ significa : ??existeix al menys un valor real de x per al qual P(x) ??s cert??	$\exists n\in \mathbb N, n+5=2\cdot n$ (n=5 n'??s de fet la resposta)
	??existeix??
	L??gica
???!	Quantificador d'unicitat	$\exists\, ! x \in \mathbb R : P(x)$ significa : ??existeix un ??nic valor real de x tal que P(x) ??s cert??	$\exists\, ! n\in \mathbb N, n+5=2\cdot n$ (n=5 n'??s de fet la resposta)
	??existeix exactament un??
	L??gica
=	igualtat	$x = y$ significa : ??x i y indiquen el mateix objecte matem??tic??	$1 + 2 = 6 ??? 3$
	????s igual??
	qualsevol branca
???	desigualtat	$x\not=y$ significa : ??x i y no indiquen el mateix objecte matem??tic??. En suports inform??tics tamb?? s'indica != i <>.	$1 + 2 \not= 6 - 4$
	??no ??s igual a?? ????s diferent de??
	qualsevol branca
:= ??? :???	Definici??	$x : = y$ significa : ??x ??s definit en tant que un altre nom de y?? $P :\iff Q$ significa : ??P ??s definit en tant que l??gicament equivalent a Q??. ??? tamb?? pot significar congru??ncia.	$cosh (x) := {1\over 2}\left(e^x+e^{-x}\right)$ (cosinus hiperb??lic) $A \oplus B :\iff (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$ (Disjunci?? exclusiva)
	????s definit com a??
	qualsevol branca
{ , }	Conjunt definit anal??ticament	${a, b, c}$ individualitza el conjunt del qual els elements s??n a, b, i c	$\mathbb N = \{1,2,\ldots \}$ (conjunt dels naturals)
	??El conjunt de ...??
	Teoria de conjunts
{ \| } { ; } { : }	Conjunt definit sint??ticament	$\{x\;\|\;P(x)\}$ individualitza el conjunt de tots els x que verifiquen P(x). Notacions equivalents: $\{x \; ; \; P(x)\}$ o ${x : P (x)}$	$\{n\in \mathbb N \;\|\; n^2<20\} = \{ 1, 2, 3, 4\}$
	??el conjunt de tots els ... que verifiquen...??
	Teoria de conjunts
??? { }	Conjunt buit	${}$ i $\emptyset$ indiquen conjunt buit, el conjunt que no t?? elements.	$\{n\in \mathbb N \;\|\; 1<n^2<4\} = \emptyset$
	??Conjunt buit??
	Teoria de conjunts
??? ???	Pertinen??a (o no) a un conjunt	$a\in S$ significa : ??a ??s un element del conjunt S?? $a\notin S$ significa : ??a no ??s un element de S??	$2\in \mathbb N$ ${1\over 2}\notin \mathbb N$
	??pertany a??, ????s element de??, ????s en??. ??no pertany a??, ??no ??s un element de??, ??no ??s en??
	Teoria de conjunts
??? ???	Subconjunt	$A\subseteq B$ significa : ??cada element de A ??s tamb?? un element de B?? Generalment, $A\subset B$ t?? el mateix significat, tot i que a vegades s'utilitza com per a representar un subconjunt propi. Per a representar que un conjunt cont?? un altre s'utilitzen ??? i ???.	$(A\cap B) \subseteq A$ $\mathbb R\supseteq \mathbb Q$
	????s un subconjunt (una part) de ...??, ????s contingut en...??
	Teoria de conjunts
??? ???	Subconjunt propi o estricte	$A\subsetneq B$ significa $A\subseteq B$ i $A\ne B$ . Rarament s'utilitza $A\subset B$ per a dir el mateix.	$\mathbb N\subsetneq \mathbb Q$ $\mathbb R\supsetneq \mathbb Q$
	????s un subconjunt propi de ...??, ????s estrictement incl??s en...??
	Teoria de conjunts
???	Uni??	$A\cup B$ indica el conjunt que cont?? tots els elements de A i de B i nom??s aquells.	$A\subseteq B\iff A\cup B=B$
	??Uni?? de ...??, ??reuni?? de ...??, ??... uni?? ...??
	Teoria de conjunts
???	Intersecci??	$A\cap B$ indica el conjunt dels elements que pertanyen alhora a A i a B, ??s a dir els elements que els conjunts A i B tenen en com??.	$\{x\in \R \;\|\; x^2=1\}\cap \mathbb N = \{1\}$
	??Intersecci?? de ... i de ...??
	Teoria de conjunts
???	Difer??ncia	$A\setminus B$ indica el conjunt de tots els elements de A que no pertanyen a B.	$\{1,2,3,4\}\setminus \{3,4,5,6\} = \{1,2\}$
	??difer??ncia de ... i ...??, ??... menys ...??
	Teoria de conjunts
( ) [ ] { }	Associativitat;	S'utilitza per a indicar en una f??rmula que unes operacions s'han d'executar amb prefer??ncia. Aix??, $a + (b + c)$ vol dir que primer s'ha d'executar $b + c$ i posteriorment fer $a +$ aquest resultat.	${({8 \over 4}) \over 2}= {2 \over 2}= 1$ , per?? ${8 \over ({4 \over 2})}= {8 \over 2}= 4$
	no es llegeix o es diu ??par??ntesi??
	qualsevol branca
	Funci??, aplicaci??;	f(x) indica la imatge de l'element x mitjan??ant la funci?? f.	Si $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ??s definida com a $f (x): = x 2$ , llavors f(3) = 3² = 9
	??de??
	qualsevol branca
???	Funci??	$f:X\to Y$ significa que la funci?? f va de X en Y, o que t?? X com a conjunt de definici?? (domini) i Y com a conjunt d'arribada (codomini).	Considerem la funci?? $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$ definida mitjan??ant $x \mapsto f(x):=x^2$
	??de ... a??, ??de ... dins??, ??de ... sobre ...??
	qualsevol branca
???	Funci??	$x \mapsto f(x)$ significa que la variable x t?? per imatge $f (x)$ .	En lloc d'escriure que f ??s definida mitjan??ant f(x) = x², podem escriure tamb?? $f\colon x \mapsto x^2$
	????s manat sobre??, ??t?? per imatge??
	qualsevol branca
???	Conjunt dels nombres naturals	$\mathbb N$ representa $\{0, 1, 2, 3, \ldots \}$ .	$\{\left\|a\right\| \; ; a\in \mathbb Z\}\setminus \{0\}=\mathbb N$
	??N??
	Nombres
???	Conjunt dels enters relatius	$\mathbb Z$ representa $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}$ .	$\{a ; \left\| a\right\| \in \mathbb N\}\cup\{0\}=\mathbb Z$
	??Z??
	Nombres
???	Conjunt dels nombres racionals	$\mathbb Q$ representa $\left\{ {p\over q} ; p\in \mathbb Z\wedge q\in \mathbb N\right\}$ .	$3,14\in \mathbb Q$ $\pi \notin \mathbb Q$
	??Q??
	Nombres
???	Conjunt dels nombres reals	$\R$ representa el conjunt dels l??mits de les successions de Cauchy de $\mathbb Q$ .	$\pi \in \R$ $i \notin \R$ (i ??s el nombre complex tal que $i 2 = ??? 1$ )
	??R??
	Nombres
???	Conjunt dels nombres complexos	$\mathbb C$ representa $\{a+b\cdot i \;\|\; a\in \R \wedge b\in \R\}$	$i\in \mathbb C$
	??C??
	Nombres
< >	desigualtat estricta	$x < y$ significa que x ??s estrictament menor a y. $x > y$ significa que x ??s estrictament superior a y.	$x<y\iff y>x$
	????s estrictament menor a??, ????s estrictament major a??
	Relacions d'ordre
??? ???	desigualtat ordin??ria	$x\le y$ significa que x ??s m??s petit o igual a y. $x\ge y$ significa que x ??s m??s gran o igual a y.	$x\ge 1\Rightarrow x^2\ge x$
	????s menor que??, ????s menor o igual a??; ????s major que??, ????s major o igual a??
	Relacions d'ordre
+	Addicci??	4 + 6 = 10 significa que si quatre ??s afegit a sis, llavors la suma o el resultat de l'addicci?? ??s igual a deu.	43 + 65 = 108 2 + 7 = 9
	??m??s??
	Aritm??tica
-	Sostracci??	9 - 4 = 5 significa que si es resta quatre de nou, llavors la suma ??s igual a 5. El signe menys pot tamb?? ??sser posat immediatament a l'esquerra d'un nombre per a indicar que ??s negatiu. Par exemple, 5 + (-3) = 2 significa que si cinc i el nombre negatiu menys tres han estats afegits, llavors el resultat ??s igual a dos.	87 - 36 = 51
	??menys??
	Aritm??tica
??? ?? *	Producte	3???2 = 6 significa que si tres ??s multiplicat per dos, llavors el resultat ??s igual a sis. Quan s'utilitzen constants o variables normalment no es posa, ??s a dir, 25a vol dir 25???a. Tamb?? s'utilitzen els s??mbols ?? i *, el segon especialment en mitjans inform??tics. Quan es tracta amb vectors, el s??mbol ??? representa el producte escalar i ?? el producte vectorial. Per a representar el producte cartesi?? tamb?? es fa servir exclusivament ??.	23???11 = 253
	??per??
	Aritm??tica
/ ?? :	Divisi??	9 : 4 = 2 significa que nou dividit per a quatre ??s igual a dos.	101: 4 = 25
	??dividit entre??, ??dividit per??
	Aritm??tica
_	fracci??	${9 \over 4}$ representa la fracci?? nou quarts. / pot ??sser tamb?? utilitzat per a representar la divisi??.	${100 \over 25} = 4$
	??entre??
	Aritm??tica, nombres
???	Aproximaci??	$e\approx 2,718$ a menys de 10^-2 significa que un valor aproximat de e a menys de 10^-2 ??s 2,718.	$\pi \approx 3,1415926$ a menys de 10^-7 .
	??aproximadament igual a??
	Nombre real
???	Arrel quadrada	$\sqrt x$ representa el nombre real positiu el quadrat del qual ??s igual a x.	$\sqrt 4=2$ $\sqrt {x^2}= \left\|x\right\|$
	??Arrel quadrada de ...??
	Nombre
???	Infinit	$+\infty$ i $-\infty$ s??n dels elements del conjunt est??s de nombres reals. $\infty$ apareix en els calculs dels l??mits. $\infty$ ??s un punt afegit al pla complex per a rendre-ho isomorf a una esfera (esfera de Riemann)	$\lim_{x\to 0} {1\over \left\|x\right\|}= \infty$
	??Infinit??
	Nombre
??	??	$??$ ??s la ra?? entre la mesura de la circumfer??ncia d'un cercle i el seu di??metre.	$A=\pi \cdot r^2$ ??s l'??rea d'un cercle de radi r
	??Pi??
	Geometria euclidiana
\|\| \|\|	Norma	$\Vert x\Vert\,$ ??s la norma de l'element x.
	??Norma de...??
	??lgebra lineal An??lisi funcional
\| \|	Valor absolut; m??dul d'un nombre complex; o cardinalitat d'un conjunt	$\left\|x\right\|$ indica el valor absolut de x (o el modul de x). $\| A \|$ indica la cardinalitat del conjunt A i representa, quan A ??s finit, el nombre d'elements de A.	$\left\|a+b\cdot i\right\|=\sqrt {a^2+b^2}$
	??Valor absolut?? o ??m??dul d'un nombre complex?? o ??cardinalitat d'un conjunt??
	Nombre o Teoria de conjunts
???	Sumatori	$\sum_{k=1}^n a_k$ significa ??suma dels a_k per a k des de 1 fins a n??, i representa a₁ + a₂ + ... + a_n	$\sum_{k=1}^4 k^2= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2= 30$
	??Suma de ... per a ... de ... a ...??
	Aritm??tica
???	Productori	$\prod_{k=1}^n a_k$ significa ??producte de a_k per a k des de 1 fins a n??, i representa : a₁??a₂??...??a_n	$\prod_{k=1}^4 (k+2)=3\times 4\times 5\times 6=360$
	??Producte de .. per a .. de .. a ..??
	Aritm??tica
!	Factorial	$n!$ significa el producte $1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$	$4!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4=24$
	??El factorial de n??
	Combinat??ria
???	Derivada	$f^{\prime}(x)$ significa ??derivada de f en x??, i representa la inclinaci?? de la tangent al gr??fic de f en (x,f(x)).	Si $f (x) = x 2$ , llavors $f^{\prime}(x)=2x$
	??Derivada de ... en ...??
	An??lisi
???	Derivada parcial	Amb $f (x 1, x 2 .... x n)$ , ${\partial f \over \partial {x}_i}$ significa la derivada de f respecte a x_i??, amb les altres variables tingudes constants.	Si $f (x, y, z) = x 2 y + 3 z$ , llavors ${\partial f \over \partial {x}}=2xy$
	??Derivada parcial respecte a ... de ... en ...??
	An??lisi
	Frontera	Amb ${\partial}A$ s'individualitza la frontera del conjunt A.	Si ${\mathbb D}=\{z\in {\mathbb C}: \vert z\vert \leq 1\}$ , llavors ${\partial {\mathbb D}} =\{z\in {\mathbb C}: \vert z\vert = 1\}$
	??Frontera de ...??
	An??lisi, topologia
???	Integral	$\int_a^b f(x) dx$ significa ??Integral de a a b de f de x dx??, i representa l'??rea del domini delimitat mitjan??ant el gr??fic de f, l'eix de les abscisses i les rectes d'equaci?? x = a i x = b $\int f(x) dx$ significa ??integral de f de x dx, i representa una primitiva de f	$\int_0^b x^2 dx = b^3/3$ $\int x^2 dx = x^3/3$
	??Integral (de .. a ..) de .. d-..??
	An??lisi
???	Gradient	$\nabla f$ ??s el vector de les derivades parcials $\left(\frac{\partial f}{\partial x_1} ... \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$	Si $f (x, y, z) = 3 x y + z 2$ llavors $\nabla f(x,y,z)=(3y,3x,2z)$ .
	??Gradient de??
	An??lisi