Codomini

De Viquipèdia

Imatge d’una funció(f) des de X(esquerra) cap a Y(dreta). L’àrea més petita de dins de Y és el recorregut de f. Y és el codomini de f.

En matemàtiques, el codomini de una funció $f$ : $X$ → $Y$ és el conjunt $Y$ .

El domini de $f$ és el conjunt $X$ .

El recorregut de $f$ és el conjunt $f (X)$ definit com a { $f (x)$ : $x$ ∈ $X$ }. D’aquestes definicions se'n desprèn que el recorregut de $f$ és sempre un subconjunt del codomini de $f$ .

[edita] Exemples

Com a exemple, sia la funció $f$ una funció definida al conjunt dels nombres reals:

$f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

Definida per

$f\colon\,x\mapsto x^2.$

El codomini de $f$ és $\mathbb{R}$ , però clarament f no té com a imatge cap nombre negatiu. Per tant el recorregut de f és el conjunt

$\mathbb{R}^+_0$ ,és a dir, l’interval interval [0,∞) on:

$0\leq f(x)<\infty.$

Es pot definir un altre funció $g$ així:

$g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+_0$

$g\colon\,x\mapsto x^2.$

Mentre que $f$ i $g$ produeixen el mateix nombre com a imatge de qualsevol valor x, no són, desde el punt de vista modern, la mateixa funció perquè tenen diferents codomins. Per a veure perquè, suposeu que es defineix una tercera funció h:

$h\colon\,x\mapsto \sqrt x.$

Cal definir el domini de h com a $\mathbb{R}^+_0$ :

$h\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}$ .

Ara, definint la composició

$h \circ f$ ,

$h \circ g$ .

Com es pot veure, $h \circ f$ no té sentit. Suposeu (tal com cal, tret que explicitament s’estableixi altra cosa) que no se sap quin és el recorregut de $f$ ; només se sap que pot ser $\mathbb{R}$ . Però això és un problema degut a que la arrel quadrada dels nombre negatius no està definida en el conjunt dels reals. Ara es té un problema degut a que la funció h, quant es composa amb la funció f, podria rebre un argument que "no pot manegar".

Aquesta manca de claredat ha de ser evitada en treballs formals. La composició de funcions, per això, requereix que el codomini de la funció de la banda dreta de la composició (no els seu recorregut, que és una conseqüència de la funció i es diu que és indeterminat a nivell de la composició) ha de ser el mateix que el domini de la funció del cantó esquerra.

Aquest article sobre matemàtiques és un esborrany i possiblement li calgui una expansió substancial o una bona reestructuració del seu contingut. Per això, podeu ajudar la Viquipèdia expandint-lo i millorant la seva qualitat traduint d'altres Viquipèdies, posant textos amb el permís de l'autor o extraient-ne informació.

Categories: Càlcul | Teoria de conjunts

Categoria oculta: Viquipèdia:Esborranys de matemàtiques

Codomini

De Viquipèdia

[edita] Exemples

Views

Navegació

comunitat

Cerca

En altres llengües