Geometría
Antecedentes de las escuelas de Wikipedia
Esta selección Escuelas fue originalmente elegido por SOS para las escuelas en el mundo en desarrollo que no tienen acceso a Internet. Está disponible como una descarga intranet. Haga clic aquí para obtener más información sobre SOS Children.
Geometría ( griego γεωμετρία; geo = tierra, metria = medida) es una parte de las matemáticas que se ocupan de cuestiones de tamaño, forma y posición relativa de las cifras y con propiedades del espacio. La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con longitudes, áreas y volúmenes , en el siglo III aC, la geometría se puso en un forma axiomática de Euclides , cuyo tratamiento - la geometría euclidiana - estableció un estándar durante muchos siglos a seguir. El campo de la astronomía , especialmente la cartografía de las posiciones de las estrellas y los planetas en la esfera celeste, sirvió como una importante fuente de problemas geométricos en los próximos milenios y medio.
Introducción de por coordenadas René Descartes y el desarrollo simultáneo de álgebra marcaron una nueva etapa para la geometría, ya que las figuras geométricas, como curvas planas, ahora podían ser representados analíticamente , es decir, con funciones y ecuaciones. Esto jugó un papel clave en la aparición de sarro en el siglo XVII. Por otra parte, la teoría de la perspectiva mostró que hay más a la geometría que sólo las propiedades métricas de figuras. El tema de la geometría se enriqueció aún más por el estudio de la estructura intrínseca de los objetos geométricos que se originaron con Euler y Gauss y condujeron a la creación de la topología y la geometría diferencial .
Desde el descubrimiento del siglo XIX de geometría no euclidiana, el concepto de espacio ha sufrido una transformación radical. Geometría contemporánea considera colectores , espacios que son considerablemente más abstracto que el conocido espacio euclidiano , que sólo se asemejan aproximadamente a pequeñas escalas. Estos espacios pueden estar dotados de una estructura adicional, que permite a uno hablar de longitud. Geometría moderna tiene múltiples enlaces fuertes con la física , ejemplificados por los vínculos entre La geometría de Riemann y la relatividad general . Una de las teorías físicas más jóvenes, la teoría de cuerdas , también es muy geométrica en sabor.
La naturaleza visual de la geometría hace que sea inicialmente más accesibles que otras partes de las matemáticas, como el álgebra o la teoría de números . Sin embargo, el lenguaje geométrico también se utiliza en contextos que están muy lejos de su procedencia tradicional, euclidiana, por ejemplo, en la geometría fractal , y especialmente en geometría algebraica.
Historia de la geometría
Los inicios registrados más tempranos de la geometría se remontan a la antigua Mesopotamia , Egipto y el valle del Indo de todo 3000 antes de Cristo. Geometría temprano era una colección de principios empíricamente descubiertos en relación con longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que fueron desarrollados para satisfacer alguna necesidad práctica en topografía, la construcción, la astronomía , y diversas artesanías. Los textos más antiguos conocidos en la geometría son la Egipcio Papiro de Rhind y Papiro de Moscú, el Tablillas de arcilla babilónicas, y el indio Shulba Sutras, mientras que los chinos tenían el trabajo de Mozi, Zhang Heng, y el Nueve capítulos del arte matemático, editado por Liu Hui.
De Euclides Los Elementos de Geometría (c. 300 aC) fue uno de los más importantes de los primeros textos sobre la geometría, en la que presentó la geometría en un ideal forma axiomática, que llegó a ser conocido como la geometría euclidiana . El tratado no es, como se piensa a veces, un compendio de todo lo que Matemáticos helenísticos sabían acerca de la geometría en ese momento; más bien, es una introducción elemental a la misma; Euclides mismo escribió ocho libros más avanzados en la geometría. Sabemos por otras referencias que Euclides no fue el primer libro de texto de geometría elemental, pero los demás cayeron en desuso y nos perdimos.
En la Edad Media , Matemáticos musulmanes contribuyeron al desarrollo de la geometría, especialmente geometría algebraica y álgebra geométrica. Al-Mahani (b. 853) concibió la idea de reducir problemas geométricos, como la duplicación del cubo a problemas en álgebra . Thabit Ibn Qurra (conocido como Thebit en América ) (836-901) trató aritméticos operaciones aplicadas a proporciones de cantidades geométricas, y contribuido al desarrollo de la geometría analítica . Omar Khayyam (1048-1131) encontró soluciones geométricas a ecuaciones cúbicas y sus extensos estudios de la postulado de las paralelas contribuyó al desarrollo de La geometría no-euclidiana.
A principios del siglo 17, hubo dos acontecimientos importantes en la geometría. El primero, y más importante, fue la creación de la geometría analítica , geometría o con coordina y ecuaciones , por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). Este fue un precursor necesario para el desarrollo de cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física . El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de geometría proyectiva por Girard Desargues (1591-1661). La geometría descriptiva es el estudio de la geometría sin medición, sólo el estudio de cómo los puntos se alinean entre sí.
Dos novedades en la geometría en el siglo XIX cambiaron la forma en que había sido estudiado previamente. Estos fueron el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Lobachevsky, Bolyai y Gauss y de la formulación de la simetría como la consideración central en la Programa de Erlangen Felix Klein (que generalizó la euclidiana y geometrías no euclidianas). Dos de los geómetras maestros de la época eran Bernhard Riemann , trabajando principalmente con herramientas de análisis matemático , y la introducción de la superficie de Riemann , y Henri Poincaré, el fundador de topología algebraica y la teoría geométrica de sistemas dinámicos.
Como consecuencia de estos cambios importantes en la concepción de la geometría, el concepto de "espacio" se convirtió en algo rico y variado, y el fondo natural para las teorías tan diferentes como análisis complejo y la mecánica clásica . El tipo tradicional de la geometría fue reconocida como la de espacios homogéneos, aquellos espacios que tienen un suministro suficiente de simetría, por lo que a partir de un punto a otro y tienen la apariencia de la misma.
¿Cuál es la geometría?
Desarrollo Grabado de la geometría se extiende por más de dos milenios. No es de extrañar que las percepciones de lo que constituía la geometría evolucionaron a lo largo de los siglos. Los paradigmas geométricos se presentan a continuación deben considerarse como ' Cuadros de una exposición "de una especie: no agotan el tema de la geometría sino que reflejan algunos de sus temas característicos.
Geometría práctica
Hay pocas dudas de que la geometría se originó como una ciencia práctica, preocupado por topografía, medidas, áreas y volúmenes. Entre los logros notables se encuentra fórmulas para longitudes, áreas y volúmenes , como el teorema de Pitágoras , circunferencia y área de un círculo, área de un triángulo , volumen de una cilindro, esfera , y una pirámide. El desarrollo de la astronomía condujo a la emergencia de la trigonometría y trigonometría esférica, junto con las técnicas computacionales concomitantes.
Geometría axiomática
Un método de calcular ciertas distancias o alturas inaccesibles basa en semejanza de figuras geométricas y atribuido a Thales presagiaban aproximación más abstracta a la geometría adoptada por Euclides en sus Elementos , uno de los libros más influyentes jamás escritos. Euclides introdujo cierta axiomas, o postula, expresando propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. Se procedió a deducir rigurosamente otras propiedades de razonamiento matemático. El rasgo característico del enfoque de Euclides a la geometría era su rigor. En el siglo XX, David Hilbert emplea razonamiento axiomático en su intento de actualizar Euclides y proporcionar bases modernas de la geometría.
Construcciones geométricas
Científicos antiguas prestó especial atención a la construcción de objetos geométricos que habían sido descritos en alguna otra forma. Instrumentos clásicos permitidos en construcciones geométricas son la regla y compás . Sin embargo, algunos problemas resultaron ser difícil o imposible de resolver por estos medios solo, y construcciones ingeniosas utilizando parábolas y otras curvas, así como dispositivos mecánicos, se encontraron. El enfoque de los problemas geométricos con medias geométricas o mecánicas se conoce como geometría sintética.
Los números en la geometría
Ya Pitagóricos consideraban el papel de los números en la geometría. Sin embargo, el descubrimiento de longitudes inconmensurables, que contradecían sus puntos de vista filosóficos, les hizo abandonar los números (resumen) en favor de (hormigón) las cantidades geométricas, como la longitud y el área de figuras. Los números se reintroducen en la geometría en forma de coordina por Descartes , quien se dio cuenta de que el estudio de formas geométricas puede ser facilitada por su representación algebraica. Geometría analítica aplica métodos de álgebra para cuestiones geométricas, normalmente relacionando geométricas curvas algebraicas y ecuaciones . Estas ideas tuvieron un papel clave en el desarrollo del cálculo en el siglo XVII y condujeron al descubrimiento de muchas nuevas propiedades de las curvas planas. Moderno geometría algebraica considera preguntas similares en un nivel mucho más abstracto.
Geometría de posición
Ya en la antigüedad, geómetras consideran cuestiones de posición relativa o relación espacial de las figuras geométricas y formas. Algunos ejemplos se dan a los círculos inscritos y circunscritos de polígonos , líneas de intersección y tangentes a cónicas secciones , las Pappus y Menelao configuraciones de puntos y líneas. En las preguntas Edad Media nuevos y más complicados de este tipo se considera: ¿Cuál es el número máximo de esferas, toque simultáneamente una esfera dada del mismo radio ( besando problema número)? ¿Cuál es el más denso embalaje de esferas de igual tamaño en el espacio ( Conjetura de Kepler)? La mayoría de estas preguntas involucradas formas 'rígidos' geométricas, tales como líneas o esferas. Proyectiva, convexa y geometría discreta son tres subdisciplinas dentro presente geometría día que se ocupan de estas cuestiones y otras relacionadas.
Un nuevo capítulo en Geometria situs fue inaugurado por Leonhard Euler , quien audazmente arrojado propiedades métricas de figuras geométricas y consideró su estructura geométrica más fundamental basa únicamente en forma. topología , que surgió a partir de la geometría, pero se convirtió en una gran disciplina independiente, hace no diferenciar entre objetos que se pueden deformar de forma continua en la otra. Sin embargo, los objetos pueden retener alguna geometría, como en el caso de nudos hiperbólica.
Geometría allá de Euclides
Durante casi dos mil años desde que Euclides, mientras que el rango de preguntas geométricas preguntado y respondido inevitablemente se expandió, la comprensión básica de espacio permaneció esencialmente la misma. Immanuel Kant argumentó que sólo hay una, absoluta, la geometría, que se sabe que es cierto a priori por una facultad interna de la mente: la geometría euclidiana era a priori sintético. Este punto de vista dominante fue anulada por el revolucionario descubrimiento de la geometría no euclidiana en las obras de Gauss (que nunca publicó su teoría), Bolyai, y Lobachevsky, quienes demostraron que la ordinaria espacio euclidiano es sólo una de las posibilidades para el desarrollo de la geometría. Entonces una visión amplia del tema de la geometría fue expresada por Riemann en su conferencia inaugurational Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis en que se basa la geometría), publicado después de su muerte. Nueva idea de Riemann de espacio resultó crucial en Einstein 's teoría de la relatividad general y La geometría de Riemann, que considera espacios muy generales en que se define la noción de longitud, es uno de los pilares de la geometría moderna.
Simetría
El tema de la simetría en la geometría es casi tan antigua como la ciencia de la geometría en sí. El círculo , polígonos regulares y sólidos platónicos celebraron un profundo significado para muchos filósofos antiguos y fueron investigados en detalle por el tiempo de Euclides. Patrones simétricos se producen en la naturaleza y se prestaron artísticamente en una multitud de formas, incluyendo los gráficos desconcertantes de MC Escher. No obstante, no fue hasta la segunda mitad del siglo XIX que se había reconocido el papel unificador de la simetría en fundamentos de la geometría. Felix Klein Programa de Erlangen proclama que, en un sentido muy preciso, simetría, expresada a través de la noción de una transformación grupo , lo que determina la geometría es. Simetría en clásica geometría euclidiana es representado por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en geometría proyectiva un papel análogo es interpretado por colineaciones, transformaciones geométricas que tienen líneas rectas en líneas rectas. Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein y Sophus Lie que la idea de Klein para 'definir una geometría a través de su grupo de simetría 'resultó ser la más influyente. Tanto simetrías discretas y continuas desempeñan un papel prominente en la geometría, el primero en la topología y teoría geométrico grupo, este último en Teoría de Lie y La geometría de Riemann.
Geometría moderna
Geometría moderna es el título de un libro de texto popular Dubrovin, Novikov y Fomenko publicaron por primera vez en 1979 (en ruso). En cerca de 1.000 páginas, el libro tiene un hilo principal: estructuras geométricas de diversos tipos de colectores y sus aplicaciones en la contemporánea la física teórica. Un cuarto de siglo después de su publicación, la geometría diferencial , geometría algebraica, geometría simpléctica, y Teoría de Lie presentado en el libro se quedan en las zonas más visibles de la geometría moderna, con múltiples conexiones con otras partes de las matemáticas y la física.
Geómetras Contemporáneas
Algunas de las principales figuras representativas de la geometría moderna son Michael Atiyah, Mikhail Gromov, y William Thurston. La característica común en su trabajo es el uso de múltiples lisos como la idea básica de espacio; que de otro modo tienen lugar diferentes direcciones e intereses. Geometría ahora es, en gran parte, el estudio de las estructuras en variedades que tienen un significado geométrico, en el sentido de la principio de covarianza que está en la raíz de la relatividad general la teoría de la física teórica. (Ver Categoría: Estructuras de colectores para una encuesta).
Gran parte de esta teoría se refiere a la teoría de la simetría continua, o en otras palabras Grupos de Lie. Desde el punto de vista fundamental, en variedades y sus estructuras geométricas, es importante el concepto de pseudogroup, definida formalmente Shiing-shen Chern en la búsqueda de ideas introducidas por Élie Cartan. Un pseudogroup puede desempeñar el papel de un grupo de Lie de dimensión infinita.
Dimensión
Donde la geometría tradicional permitido dimensiones 1 (a line), 2 (un plano ) y 3 (nuestro mundo ambiente concebido como espacio tridimensional), los matemáticos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos. Dimensión ha pasado por etapas de ser cualquier número natural n, posiblemente infinito con la introducción de Espacio de Hilbert, y cualquier número real positivo en la geometría fractal . Teoría de la dimensión es un área técnica, inicialmente dentro topología general, que discute las definiciones; en común con la mayoría de las ideas matemáticas, dimensión se define ahora más que una intuición. Conectado variedades topológicas tienen una dimensión bien definida; este es un teorema ( invariancia de dominio) en lugar de nada a priori.
La cuestión de la dimensión todavía importa a la geometría, en ausencia de respuestas completas a las preguntas clásicas. Dimensiones 3 del espacio y el 4 de espacio-tiempo son casos especiales en topología geométrica. Dimensión 10 o 11 es un número clave en la teoría de cuerdas . Exactamente por qué es algo a lo que la investigación puede aportar una respuesta satisfactoria geométrica.
Geometría euclidiana Contemporáneo
El estudio de la tradicional geometría euclidiana es de ninguna manera muerto. Ahora se presenta típicamente como la geometría de espacios euclídeos de cualquier dimensión, y de la Grupo euclidiana de movimientos rígidos. Las fórmulas fundamentales de la geometría, como el teorema de Pitágoras , se pueden presentar de esta manera por un general espacio con producto interno.
La geometría euclidiana se ha convertido estrechamente conectada con geometría computacional, gráficos de computadora, geometría convexa, geometría discreta, y algunas áreas de la combinatoria . Momentum fue dada a seguir trabajando en la geometría euclidiana y los grupos euclidianas por cristalografía y el trabajo de HSM Coxeter, y puede ser visto en las teorías de Grupos de Coxeter y politopos. La teoría de grupos geométrica es una zona en expansión de la teoría de la más general grupos discretos, basándose en modelos geométricos y técnicas algebraicas.
La geometría algebraica
El campo de la geometría algebraica es la encarnación moderna de la geometría cartesiana de coordenadas. Después de un período turbulento de axiomatización, sus cimientos están en el siglo XXI de forma estable. Cualquiera de los dos estudios de caso "clásico" donde los espacios son variedades complejas que pueden ser descritos por ecuaciones algebraicas; o la teoría esquema proporciona una teoría técnicamente sofisticado basado en generales anillos conmutativos .
El estilo geométrico que tradicionalmente se llamaba el Escuela italiana ahora se conoce como geometría birracional. Se ha avanzado en los campos de la threefolds, teoría de la singularidad y espacios modulares, así como la recuperación y la corrección de la mayor parte de los resultados de más edad. Objetos de la geometría algebraica se aplican ahora comúnmente en la teoría de cuerdas , así como geometría diophantine.
Los métodos de la geometría algebraica dependen en gran medida teoría de la gavilla y otras partes del álgebra homológica. La Conjetura de Hodge es un problema abierto que ha incorporado gradualmente su lugar como uno de los grandes interrogantes para los matemáticos. Para aplicaciones prácticas, Gröbner teoría base y geometría algebraica real son subcampos principales.
Geometría diferencial
Geometría diferencial , que en términos simples es la geometría de curvatura, ha sido cada vez más importancia a la física matemática desde la sugerencia de que el espacio no es espacio plano. Geometría diferencial Contemporáneo es intrínseca, lo que significa que el espacio es un colector y la estructura está dada por una Métrica de Riemann, o análogo, determinar localmente una geometría que es variable de un punto a otro.
Este enfoque contrasta con el punto de vista extrínseco, donde la curvatura significa la forma en que un espacio se curva en un espacio más grande. La idea de los espacios 'grandes' se descarta, y en lugar de colectores llevan paquetes del vector. Fundamental para este enfoque es la conexión entre la curvatura y clases características, como lo demuestra el generalizada teorema de Gauss-Bonnet.
Topología y la geometría
El campo de la topología , que vio el desarrollo masivo en el siglo 20, es en un sentido técnico un tipo de geometría de transformación, en el que las transformaciones son homeomorfismos . Esto a menudo se ha expresado en la forma de la sentencia 'topología es la geometría de la lámina de goma'. Contemporáneo topología geométrica y topología diferencial y subcampos particulares como La teoría de Morse, se contaría por la mayoría de los matemáticos como parte de la geometría. Topología algebraica y topología general han ido a su manera.
Desarrollo axiomático y abierto
El modelo de los Elementos de Euclides, un desarrollo conectada de geometría como sistema axiomático, se encuentra en una tensión con Reducción de René Descartes de la geometría al álgebra por medio de una sistema de coordenadas. Había muchos campeones de geometría sintética, el desarrollo de estilo Euclides de la geometría proyectiva, en el siglo XIX, Jakob Steiner ser una figura particularmente brillante. En contraste con estos enfoques a la geometría como un sistema cerrado, que culminó en Hilbert de axiomas y considerado como de gran valor pedagógico, más geometría contemporánea es una cuestión de estilo. Geometría sintética computacional es ahora una rama de álgebra computacional.
El enfoque cartesiano predomina actualmente, con preguntas geométricas siendo abordados por las herramientas de otras partes de las matemáticas y las teorías geométricas siendo bastante abierta e integrada. Esto es para ser visto en el contexto de la axiomatización de la totalidad de la matemática pura, que sucedió en el período c.1900-c.1950: en principio, todos los métodos están en pie axiomática común. Este enfoque reduccionista ha tenido varios efectos. Hay una tendencia taxonómica, que después de Klein y su programa de Erlangen (una taxonomía basada en el concepto subgrupo) organiza las teorías de acuerdo a la generalización y la especialización. Por ejemplo geometría afín es más general que la geometría euclidiana, y más especial que la geometría proyectiva. Toda la teoría de grupos clásicos de ese modo se convierte en un aspecto de la geometría. Su la teoría de invariantes, en un momento en el siglo XIX llevado a ser el maestro teoría geométrica prospectivo, es sólo un aspecto de lo general teoría de la representación de los grupos de Lie. Uso campos finitos, los grupos clásicos dan lugar a grupos finitos, estudiados intensivamente en relación con el grupos simples finitos; y asociado la geometría finita, que tiene tanto combinatoria (sintético) y lados-algebro geométrica (cartesianas).
Un ejemplo de las últimas décadas es la Twistor teoría de Roger Penrose, inicialmente una teoría intuitiva y sintética, a continuación, posteriormente demostrado ser un aspecto de teoría de la gavilla en variedades complejas. En contraste, la geometría no conmutativa de la Alain Connes es un uso consciente del lenguaje geométrico para expresar fenómenos de la teoría de la álgebras de von Neumann, y para extender la geometría en el dominio de teoría del anillo donde la ley conmutativa no se asume de la multiplicación.
Otra consecuencia del enfoque contemporáneo, atribuible en gran medida al lecho de Procusto representado por Bourbakiste axiomatización tratando de completar el trabajo de David Hilbert , es crear ganadores y perdedores. La Ausdehnungslehre (cálculo de la extensión) de Hermann Grassmann fue durante muchos años un remanso matemática, compitiendo en tres dimensiones contra otras teorías populares de la zona de la física matemática , tales como las derivadas de cuaterniones. En la forma de generales álgebra exterior, se convirtió en un beneficiario de la presentación de Bourbaki Álgebra multilineal, y desde 1950 en adelante ha sido omnipresente. De la misma manera, Álgebra de Clifford hizo popular, ayudado por un libro 1957 Geometric Algebra Emil Artin. La historia de "perdido" métodos geométricos, por ejemplo infinitamente cerca de los puntos, que fueron retirados, ya que no les fue bien en forma en el mundo matemático puro post- Principia Mathematica, aún no escrita. La situación es análoga a la expulsión de infinitesimales de cálculo diferencial. Como en ese caso, los conceptos pueden ser recuperados por nuevos enfoques y definiciones. Aquellos puede no ser único: geometría diferencial sintético es un enfoque para infinitesimales desde el lado de lógica categórica, como análisis no estándar es por medio de la teoría de modelos.
