Prueba matemática

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Antecedentes

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En matemáticas , una prueba es una demostración convincente de que algunos enunciado matemático es necesariamente cierto, dentro de las normas aceptadas de la materia. Una prueba de ello es un lógico argumento, no un empírica. Es decir, la prueba tiene que demostrar que una proposición es verdadera en todos los casos a los que se aplica, sin una sola excepción. Una proposición no demostrada cree o se sospecha fuertemente que es verdad que se conoce como un conjetura.

Las pruebas emplean lógica pero por lo general incluyen una cierta cantidad de lenguaje natural que normalmente admite cierta ambigüedad. De hecho, la gran mayoría de las pruebas de matemáticas escritas puede considerarse como aplicaciones de lógica informal. Puramente pruebas formales son considerados en teoría de la prueba. La distinción entre pruebas formales e informales ha llevado a mucha examen del actual e histórico práctica matemática, Cuasiempirismo en matemáticas, y la llamada matemáticas populares (en ambos sentidos de ese término). La filosofía de las matemáticas tiene que ver con el papel del lenguaje y de la lógica de las pruebas, y matemáticas como un lenguaje.

Independientemente de la actitud de uno al formalismo, el resultado que se resultó ser cierto es un teorema ; en una prueba completamente formal, que sería la última línea, y la prueba completa muestra como se desprende de la axiomas solo por la aplicación de las reglas de inferencia. Una vez que un teorema se demuestra, que puede ser utilizado como la base para probar nuevas declaraciones. Un teorema también puede ser denominado como una lema si se utiliza como un paso en la demostración de un teorema. Los axiomas son esas declaraciones no se puede, o no necesita, de probar. Estas fueron una vez que el estudio principal de los filósofos de las matemáticas. Enfoque hoy es más en la práctica, es decir, técnicas aceptables.

Métodos de prueba

Prueba directa

En una prueba directa, la conclusión se establece combinando lógicamente los axiomas, definiciones y teoremas anteriores. Por ejemplo, una prueba directa se puede utilizar para establecer que la suma de dos incluso números enteros es siempre incluso:

Para cualquier par de enteros pares $x$ y $y$ podemos escribir $x = 2a$ y $y = 2b$ para algunos números enteros $un$ y $b$ , Ya que ambos $x$ y $y$ son múltiplos de 2. Pero la suma $x + y = 2a + 2b = 2 (a + b)$ es también un múltiplo de 2, por lo que por lo tanto es incluso por definición.

Esta prueba utiliza definición de enteros pares, así como ley de distribución.

Demostración por inducción

En demostración por inducción, primero se prueba un "caso base", y luego una "regla de inducción" se utiliza para probar un (a menudo infinita serie de otros casos). Dado que el caso base es cierto, la infinidad de otros casos también debe ser verdad, incluso si todos ellos no se puede probar directamente debido a su número infinito. Un subconjunto de la inducción es Descenso infinito. Descenso infinito se puede utilizar para probar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.

El principio de inducción matemática establece que: Sea N = {1, 2, 3, 4, ...} el conjunto de los números naturales y P (n) ser una declaración matemática que implica el número natural n perteneciente a N tal que ( i) P (1) es verdadera, es decir, P (n) es verdadera para n = 1 (ii) P (m + 1) es cierto siempre que P (m) es verdadera, es decir, P (m) es verdadera implica que P (m + 1) es verdadera. Entonces P (n) es verdadera para el conjunto de números naturales N.

Demostración por transposición

Demostración por Transposición establece la conclusión "si p, entonces q", demostrando el equivalente declaración contrapositivo "si no q entonces no p".

Prueba por contradicción

En la prueba por contradicción (también conocida como reducción al absurdo, en latín significa "reducción en el absurdo"), se demuestra que si alguna declaración fuera falso, se produce una contradicción lógica, por lo tanto, la declaración debe ser verdad. Este método es quizás la más común de las pruebas matemáticas. Un ejemplo famoso de una prueba por contradicción muestra que $\ Sqrt {2}$ es irracional :

Suponer que $\ Sqrt {2}$ es racional, por lo $\ Sqrt {2} = {a \ over b}$ donde ayb son números enteros distintos de cero con ningún factor común (definición de número racional). Por lo tanto, $b \ sqrt {2} = a$ . La cuadratura ambos lados rinde 2 b ² = a ^2. Desde el 2 divide a la izquierda, 2 también debe dividir el lado derecho (ya que son iguales y ambos enteros). Así que un ² es par, lo que implica que un deber también ser aún. Así que podemos escribir a = 2 c, donde c es también un entero. Cambio en los rendimientos originales ecuación 2 b ² = (2 c) ² = 4 c ^2. Dividiendo ambos lados por 2 rendimientos b ² = c 2 ^2. Pero entonces, por el mismo argumento que antes, 2 divide a b ^2, por lo que b debe ser par. Sin embargo, si a y b son ambos incluso, comparten un factor, a saber 2. Esto contradice nuestra suposición, por lo que se ven obligados a concluir que $\ Sqrt {2}$ es irracional.

Prueba por la construcción

Prueba de la construcción, o prueba con el ejemplo, es la construcción de un ejemplo concreto con una propiedad para mostrar que algo tenga que exista la propiedad. Joseph Liouville, por ejemplo, demostró la existencia de números trascendentes mediante la construcción de un ejemplo explícito.

Demostración por casos

En la prueba por agotamiento, la conclusión se establece mediante su división en un número finito de casos y probando cada uno por separado. El número de casos a veces puede llegar a ser muy grande. Por ejemplo, la primera prueba del teorema de los cuatro colores fue una prueba por agotamiento con 1.936 casos. Esta prueba fue controversial porque la mayoría de los casos se comprobó mediante un programa informático, no con la mano. La prueba más corta conocida del teorema de los cuatro colores aún hoy cuenta con más de 600 casos.

Prueba Probabilístico

Una prueba probabilística es una en la que se muestra a existir, con certeza, mediante el uso de métodos de un ejemplo la teoría de probabilidades . Esto no se debe confundir con el argumento de que un teorema es "probablemente" cierto. Este último tipo de razonamiento puede ser llamado un 'argumento de plausibilidad "y no es una prueba; en el caso de la Collatz conjetura está claro hasta qué punto esto es de una prueba genuina. Prueba Probabilístico, como prueba por la construcción, es una de las muchas maneras de mostrar teoremas de existencia.

Prueba Combinatoria

Una prueba combinatoria establece la equivalencia de las diferentes expresiones demostrando que cuentan el mismo objeto de diferentes maneras. Por lo general, una biyección se utiliza para mostrar que los dos interpretaciones dan el mismo resultado.

Prueba no constructiva

Una prueba no constructiva establece que debe existir un cierto objeto matemático (por ejemplo, "Algunos X satisface f (X)"), sin explicar cómo se puede encontrar un objeto. A menudo, esto toma la forma de una prueba por la contradicción en la que la inexistencia del objeto se demuestra ser imposible. En contraste, una prueba constructiva establece que existe un objeto en particular proporcionando un método de encontrarlo. Un ejemplo famoso de una prueba no constructiva muestra que existen dos números irracionales $un$ y $b$ de tal manera que $a ^ b$ es un número racional :

Cualquiera de los dos $\ Sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}$ es un número racional y que se hacen (tomar $a = b = \ sqrt {2}$ ), O $(\ Sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}) ^ \ sqrt {2} = \ sqrt {2} ^ 2 = 2$ muestra que podemos tener $a = \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}$ y $b = \ sqrt {2}$ .

Prueba ni refutación

Hay una clase de enunciados matemáticos para el que no existe ni una prueba ni refutación, utilizando sólo ZFC, la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos . Los ejemplos incluyen el hipótesis del continuo; ver más Lista de las frases indecidible en ZFC. Bajo la suposición de que es ZFC consistente, la existencia de tales declaraciones se desprende de (Primera) teorema de incompletitud de Gödel. Ya sea una proposición no demostrada en particular puede ser probada o desmentida utilizando un conjunto estándar de axiomas no siempre es evidente, y puede ser extremadamente técnico para determinar. Para demostrar que un enunciado matemático es independiente (o indecidible) en una formalización dado de las matemáticas como ZFC requiere métodos que trascienden la formalización dado.

Prueba de Primaria

Una prueba elemental es (generalmente) una prueba que no utiliza análisis complejo. Desde hace algún tiempo se pensó que ciertos teoremas, como el teorema del número primo, sólo se pudo probar usando las matemáticas "más altas". Sin embargo, con el tiempo, muchos de estos resultados se han reprobado usando técnicas sólo elementales.

Fin de una prueba

A veces, la abreviatura "QED" está escrito para indicar el final de una prueba. Estas siglas significan "Quod Erat Demonstrandum", que es latina para "lo que debía ser demostrado". Una alternativa es utilizar un cuadrado o un rectángulo, tal como □ o ∎, conocido como un " lápida "o" Halmos ".

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