Cálculo

Cálculo ( América , cálculo, una pequeña piedra utilizada para el recuento) es una rama de las matemáticas que incluye el estudio de límites , derivadas , integrales , y series infinitas, y constituye una parte importante de la educación universitaria moderna. Históricamente, se refiere a veces como "el cálculo", pero que el uso no es habitual hoy en día. Cálculo tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería , y se utiliza para resolver problemas complicados para que el álgebra es insuficiente. Cálculo se basa en el álgebra , la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos ramas principales, cálculo diferencial y cálculo integral , que están relacionados por el teorema fundamental del cálculo . En matemáticas más avanzadas, cálculo se suele denominar análisis y se define como el estudio de las funciones .

Más en general, el cálculo puede referirse a cualquier método o sistema de cálculo.

Historia

Aryabhatta junto con otros matemáticos indios durante siglos hechas importante contribución al campo de cálculo.

Sir Isaac Newton es uno de los más famosos contribuyentes al desarrollo del cálculo, con, entre otras cosas, el uso del cálculo en sus leyes del movimiento y la gravitación.

Desarrollo

La historia del cálculo se divide en varios períodos de tiempo distintos, sobre todo la antigua , medieval , y períodos modernos. El período antiguo introdujo algunas de las ideas del cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas en una forma rigurosa y sistemática. Cálculo de volúmenes y áreas, la función básica del cálculo integral, se remonta a la Egipcio Moscú papiro (c. 1800 aC), en la que un egipcio calculó correctamente el volumen de una pirámide tronco. Desde la escuela de Matemáticas griegas, Eudoxo (c. 408-355 aC) utilizó el método de agotamiento, que prefigura el concepto del límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes (c. 287-212 aC) desarrolló esta idea, inventando heurística que se asemejan cálculo integral . La método de agotamiento fue utilizado más adelante en China Liu Hui en el 3er siglo DC con el fin de encontrar el área de un círculo. También fue utilizado por Zu Chongzhi en el siglo 5 dC, que lo utilizó para encontrar el volumen de una esfera .

En el año 499 el indio matemático Aryabhata usa la noción de infinitesimales y expresaron un problema astronómico en la forma de una base ecuación diferencial . Esta ecuación finalmente llevó Bhaskara II en el siglo 12 para desarrollar un temprano derivado que representa el cambio infinitesimal, y describió una forma temprana de " El teorema de Rolle ". Alrededor de 1000, el AD Matemático islámico Ibn al-Haytham (Alhazen) fue el primero en obtener la fórmula para la suma del cuarto poderes , y el uso de inducción matemática, desarrolló un método que es fácilmente generalizable a encontrar la fórmula para la suma de las integrales poderes, lo cual fue fundamental para el desarrollo del cálculo integral. En el siglo 12, la Persa matemático Sharaf al-Din al-Tusi descubrió el derivado de polinomios cúbicos, un resultado importante en el cálculo diferencial. En el siglo 14, Madhava de Sangamagrama, junto con otros matemático-astrónomos de la Escuela de Kerala, describió casos especiales de la serie de Taylor , que se tratan en el texto Yuktibhasa.

En la época moderna, se estaban haciendo descubrimientos independientes de cálculo a principios de siglo 17 Japón, por los matemáticos tales como Seki Kowa, que amplió el método de agotamiento. En Europa, la segunda mitad del siglo 17 fue una época de gran innovación. Cálculo proporciona una nueva oportunidad en la física matemática para resolver problemas de larga data. Varios matemáticos han contribuido a estos avances, en particular John Wallis y Isaac Barrow. James Gregory probó un caso especial del segundo teorema fundamental del cálculo en el año 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz fue acusado originalmente de plagio de obras inéditas de Sir Isaac Newton, pero ahora se mira como un inventor independiente y colaborador hacia el cálculo.

Leibniz y Newton sacaron estas ideas en un todo coherente y por lo general se les atribuye la invención independiente y casi simultánea de cálculo. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a general de la física y Leibniz desarrolló gran parte de la notación utilizada en el cálculo de hoy; a menudo pasaba días determinación símbolos apropiados para los conceptos. La idea básica que tanto Newton y Leibniz tenían era el teorema fundamental del cálculo .

Cuando Newton y Leibniz publicó por primera vez sus resultados, había gran controversia sobre cuál matemático (y, por tanto, en qué país) merecido crédito. Newton derivó sus resultados primero, pero Leibniz publicó por primera vez. Newton afirmó Leibniz robó las ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society. Esta controversia divide matemáticos de los matemáticos continentales de habla Inglés desde hace muchos años, en detrimento de las matemáticas en inglés. Un examen cuidadoso de los papeles de Leibniz y Newton muestra que llegaron a sus resultados de forma independiente, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Hoy en día, tanto Newton y Leibniz se le da crédito por el desarrollo del cálculo independiente. Es Leibniz, sin embargo, que dio a la nueva disciplina de su nombre. Newton llamó a su cálculo " la ciencia de fluxiones ".

Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al continuo desarrollo del cálculo. En el siglo 19, el cálculo se puso en pie mucho más riguroso por los matemáticos como Cauchy, Riemann , y Weierstrass. Fue también durante este período que las ideas de cálculo fueron generalizadas para el espacio euclidiano y el plano complejo . Lebesgue generaliza aún más la noción de la integral.

El cálculo es un tema omnipresente en la mayoría de las escuelas secundarias y universidades modernas, y los matemáticos de todo el mundo que siga contribuyendo a su desarrollo.

Significado

Mientras que algunas de las ideas del cálculo se desarrollaron antes, en Grecia, China, India , Irak, Persia, y Japón, el uso moderno de cálculo se inició en Europa , durante el siglo 17, cuando Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz construyeron sobre el trabajo de los matemáticos anteriores para introducir los principios básicos de cálculo. Este trabajo tuvo un fuerte impacto en el desarrollo de la física .

Aplicaciones del cálculo diferencial incluyen operaciones en que intervienen la velocidad y la aceleración , los pendiente de una curva, y optimización. Aplicaciones del cálculo integral incluyen operaciones en que intervienen área , volumen , longitud del arco, centro de masa , trabajo , y presión. Aplicaciones más avanzadas incluyen series de potencias y Las series de Fourier. Cálculo se puede utilizar para calcular la trayectoria de un acoplamiento de transporte en una estación espacial o la cantidad de nieve en un camino de entrada.

Cálculo También se utiliza para obtener una comprensión más precisa de la naturaleza del espacio, tiempo y movimiento. Durante siglos, los matemáticos y filósofos lucharon con paradojas que implica división por cero o sumas de infinitos números. Estas preguntas surgen en el estudio del movimiento y la zona . El griego antiguo filósofo Zenón dio varios ejemplos famosos de tales paradojas. Cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y la serie infinita, que resuelve las paradojas.

Cimientos

En matemáticas, las fundaciones se refiere a la desarrollo riguroso de un sujeto a partir de axiomas y definiciones precisas. La elaboración de una base rigurosa para cálculos matemáticos ocupó durante gran parte del siglo siguiente Newton y Leibniz, y sigue siendo, en cierta medida un área activa de investigación hoy en día.

Hay más de un enfoque riguroso a la fundación de cálculo. El habitual es a través del concepto de límites definidos en el continuo de números reales . Una alternativa es análisis no estándar, en la que el sistema de números reales se aumenta con infinitesimal y números infinitos. Las bases de cálculo se incluyen en el ámbito de análisis real, que contiene definiciones completas y pruebas de los teoremas del cálculo, así como las generalizaciones como medir la teoría y la teoría de la distribución.

Principios

Límites y Infinitesimales

Cálculo generalmente se desarrolla mediante la manipulación de cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método de hacerlo era por infinitesimales. Estos son los objetos que pueden ser tratadas como números, pero que son, en cierto sentido, "infinitamente pequeño". En una recta numérica, éstos serían lugares que no son cero, pero que tienen distancia cero de cero. No hay un número distinto de cero es un infinitesimal, porque su distancia de cero es positivo. Cualquier múltiplo de un infinitesimal sigue siendo infinitamente pequeño, en otras palabras, los infinitesimales no satisfacen la Axioma de Arquímedes. Desde este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular los infinitesimales. Este punto de vista cayó en desgracia en el siglo 19, ya que es difícil tomar la noción de una precisión infinitesimal. Sin embargo, el concepto fue revivido en el siglo 20 con la introducción de análisis no estándar, que proporciona una base sólida para la manipulación de los infinitesimales.

En el siglo 19, los infinitesimales fueron reemplazados por límites . Límites describen el valor de una función en un cierto aporte en términos de sus valores de la entrada cerca. Capturan comportamiento a pequeña escala, al igual que los infinitesimales, pero utilizando números ordinarios. Desde este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para la manipulación de ciertos límites. Infinitesimales reemplazados por números muy pequeños, y lo infinitamente pequeño comportamiento de la función se encuentra tomando el comportamiento límite para los números cada vez más pequeños. Los límites son fáciles de poner fundamentos rigurosos, y por esta razón son el método estándar para el cálculo.

Derivados

Línea tangente en (x, f (x)). La derivada f '(x) de una curva en un punto es la pendiente (aumento de más de correr) de la línea tangente a la curva en ese punto.

El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada o pendiente de una gráfica. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. En lenguaje técnico, el derivado es una operador lineal, que introduce una función y emite una segunda función, de modo que en cada punto el valor de la salida es la pendiente de la entrada.

El concepto de la derivada es fundamentalmente más avanzado que los conceptos encontrados en álgebra. En álgebra, los estudiantes aprenden acerca de las funciones que introducir un número y la salida de otro número. Por ejemplo, si las entradas de la función de duplicación 3, a continuación, se da salida a 6, mientras que si las entradas de la función de elevación al cuadrado 3, emite 9. Pero las entradas derivados de una función y salidas de otra función. Por ejemplo, si las entradas de derivados de la función de elevación al cuadrado, entonces se envía la función de duplicación, porque la función de duplicación da la pendiente de la función de la cuadratura en cualquier punto dado.

Para entender la derivada, los estudiantes deben aprender la notación matemática. En notación matemática, un símbolo común para la derivada de una función es una marca-apóstrofe como llamada prime. Así, la derivada de f es f '(hablado "f prima"). La última frase del párrafo anterior, en notación matemática, se escribiría

Si la entrada de una función es el tiempo, entonces la derivada de esa función es la velocidad a la que la función cambia.

Si una función es lineal (es decir, si el gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir y = mx + b, donde:

.

Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Si la función no es una línea recta, sin embargo, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía, y se puede utilizar el cálculo para encontrar un valor exacto en un punto dado. (Tenga en cuenta que y y f (x) representan lo mismo:. La salida de la función) una línea a través de dos puntos en una curva se llama una línea secante. La pendiente, o aumento de más de correr, de una línea secante se pueden expresar como

donde el coordenadas del primer punto son (x, f (x)) y h es la distancia horizontal entre los dos puntos.

Para determinar la pendiente de la curva, se utiliza el límite de:

.

La elaboración de un caso particular, nos encontramos con la pendiente de la función de elevación al cuadrado en el punto donde la entrada es 3 y la salida es 9 (es decir, f (x) = x ^2, por lo que f (3) = 9).

La pendiente de la función de elevación al cuadrado en el punto (3, 9) es 6, es decir, que va hasta seis veces más rápido que va a la derecha.

El proceso de límite se acaba de describir se puede generalizar a cualquier punto de la gráfica de cualquier función. El procedimiento se puede visualizar como en la siguiente figura.

Tangente como límite de las líneas secantes. La derivada f '(x) de una curva en un punto es la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Esta pendiente se determina considerando el valor límite de las pendientes de rectas secantes.

Aquí la función de que se trate (dibujado en rojo) es f (x) = x ³ - x. La línea tangente (en verde) que pasa por el punto (-3/2, -15/8) tiene una pendiente de 23/4. Tenga en cuenta que las escalas verticales y horizontales en esta imagen son diferentes.

Integrales

Cálculo integral es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de los dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida. El proceso de encontrar el valor de una integral se denomina integración. En lenguaje técnico, cálculo integral estudia dos relacionados operadores lineales.

La integral indefinida es la primitiva, la operación inversa a la derivada. F es una integral indefinida de f, donde f es un derivado de F. (Este uso de letras mayúsculas y minúsculas para una función y su integral indefinida es común en los cálculos.)

Las entradas integral definida una función y da salida a un número, que da el área entre la gráfica de la entrada y el eje x . La definición técnica de la integral definida es el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamado Suma de Riemann.

Un ejemplo es motivar a las distancias recorridas en un tiempo dado.

Si la velocidad es constante, sólo se necesita la multiplicación, pero si los cambios de velocidad, entonces necesitamos una más potente método para encontrar la distancia. Uno de tales métodos es la aproximación de la distancia recorrida por romper el tiempo en muchos intervalos cortos de tiempo, a continuación, multiplicando el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo, y después tomando la suma (a Riemann suma) de la distancia aproximada recorrida en cada intervalo. La idea básica es que si sólo un corto tiempo transcurrido, entonces la velocidad se mantendrá más o menos lo mismo. Sin embargo, una suma de Riemann sólo da una aproximación de la distancia recorrida. Debemos tomar el límite de todas las sumas de Riemann para encontrar la distancia exacta recorrida.

La integración puede ser pensado como midiendo el área bajo una curva, definida por f (x), entre dos puntos (aquí A y B).

Si f (x) en el diagrama de la izquierda representa la velocidad, ya que varía con el tiempo, la distancia recorrida entre los tiempos representados por A y B es el área de la región sombreada s.

Para aproximar esa área, un método intuitivo sería dividir la distancia entre A y B en un número de segmentos iguales, la longitud de cada segmento representado por el símbolo? X. Para cada segmento pequeño, podemos optar por un valor de la función f (x). Llame a ese valor h. Entonces el área del rectángulo con la base y la altura h Dx da la distancia (tiempo Dx multiplica por la velocidad h) recorrida en ese segmento. Asociado con cada segmento es el valor promedio de la función por encima de ella, f (x) = h. La suma de todos estos rectángulos da una aproximación de la zona entre el eje y la curva, que es una aproximación de la distancia total recorrida. Un valor menor para Dx dará más rectángulos y en la mayoría de los casos una mejor aproximación, pero para una respuesta exacta que necesita tomar un límite? X se aproxima a cero.

El símbolo de la integración es , Una S alargada (que significa "suma"). La integral definida se escribe como:

y se lee "la integral de A a B de f -OF- x con respecto a x."

La integral indefinida, o primitiva, está escrito:

.

Funciones que difieren en sólo una constante tienen el mismo derivado, y por lo tanto la primitiva de una función dada es en realidad una familia de funciones que difieren sólo por una constante. Puesto que la derivada de la función y = x ² + C, donde C es cualquier constante, es y '= 2 x, la primitiva de este último viene dada por:

.

Una constante indeterminada como C en el antiderivative se conoce como una constante de integración.

Teorema fundamental

El teorema fundamental del cálculo indica que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, se refiere a los valores de primitivas a las integrales definidas. Debido a que por lo general es más fácil de calcular una primitiva de aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. También se puede interpretar como una indicación precisa del hecho de que la diferenciación es la inversa de la integración.

El teorema fundamental del cálculo establece que: Si una función f es continua en el intervalo [a, b], y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo (a, b), entonces

Además, para cada x en el intervalo (a, b),

Esta toma de conciencia, hecho tanto por Newton y Leibniz , que basa sus resultados en trabajos anteriores de Isaac Barrow, fue clave para la proliferación masiva de los resultados analíticos después de su trabajo llegó a ser conocido. El teorema fundamental proporciona un método algebraico de computación muchas integrales-sin realizar límite definido procesos mediante la búsqueda de fórmulas para primitivas. También es una solución de prototipo de una ecuación diferencial . Ecuaciones diferenciales relacionan una función desconocida de sus derivados, y son ubicuos en las ciencias.

Aplicaciones

La espiral logarítmica de la Nautilus Shell es una imagen clásica utilizada para representar el crecimiento y el cambio en relación con el cálculo

El cálculo se utiliza en todas las ramas de las ciencias físicas , de la informática , las estadísticas , la ingeniería , la economía , los negocios , la medicina , y en otros campos donde un problema puede ser modelado matemáticamente y una se desea solución óptima.

Física hace uso particular de cálculo; todos los conceptos de la mecánica clásica se interrelacionan a través de cálculo. La masa de un objeto de conocida la densidad , la momento de inercia de los objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un campo conservador puede ser encontrado por el uso del cálculo. En los subcampos de la electricidad y el magnetismo cálculo se puede utilizar para encontrar el total flujo de los campos electromagnéticos. Un ejemplo más histórica de la utilización de cálculo en la física es la segunda ley de Newton del movimiento , utiliza expresamente el término "velocidad de cambio" que se refiere a la derivada: La velocidad de cambio de impulso de un cuerpo es igual a la fuerza que actúa resultante en el cuerpo y está en la misma dirección. Incluso la expresión común de la segunda ley de Newton como Fuerza = masa × aceleración implica el cálculo diferencial debido a la aceleración se puede expresar como la derivada de la velocidad. Teoría de Maxwell del electromagnetismo y de Einstein teoría de la relatividad general también se expresa en el lenguaje del cálculo diferencial.

Cálculo se puede utilizar en conjunción con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, se puede utilizar con álgebra lineal para encontrar el "mejor ajuste" aproximación lineal para un conjunto de puntos en un dominio.

En el ámbito de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo óptimo de ramificación de un vaso sanguíneo con el fin de maximizar el flujo.

En la geometría analítica , el estudio de gráficas de funciones, cálculo se utiliza para encontrar puntos altos y puntos bajos (máximos y mínimos), pendiente, concavidad y puntos de inflexión.

En economía, cálculo permite la determinación de la ganancia máxima, proporcionando una manera de calcular fácilmente tanto el costo marginal y el ingreso marginal.

Cálculo se puede utilizar para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones, en métodos tales como el método de Newton , iteración de punto fijo, y aproximación lineal. Por ejemplo, la nave espacial utilizar una variación de la Método de Euler para aproximar cursos curvas dentro de los entornos de gravedad cero.