Integral

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La palabra "integral" (adjetivo) también puede significar: "ser un número entero ".

Integral definida de una función representa el área firmada de la región limitada por su gráfica

La integración es un concepto básico de avanzadas matemáticas , específicamente en los campos de cálculo y análisis matemático . Dada una función f (x) de un verdadero x variable y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral

$\ Int_a ^ b f (x) \, dx$

es igual a la zona de una región en el plano xy xy limitada por el gráfica de f, el eje x, y la vertical líneas x = a y x = b, con áreas por debajo del eje x va a restar.

El término "integral" también puede referirse a la noción de antiderivative, una función F cuya derivada es la función f dada. En este caso se llama una integral indefinida, mientras que las integrales discutidos en este artículo se denominan integrales definidas. Algunos autores sostienen una distinción entre primitivas e integrales indefinidas.

Los principios de integración fueron formuladas por Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo , que se desarrollaron de forma independiente, la integración está conectado con diferenciación, y la integral definida de una función se pueden calcular fácilmente una vez que se conoce una primitiva. Integrales y derivadas se convirtieron en las herramientas básicas de cálculo , con numerosas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería.

Una definición matemática rigurosa de la integral se dio por Bernhard Riemann . Se basa en una limitación de procedimiento que se aproxima al área de una región curvilínea rompiendo la región en losas verticales delgadas. A partir del siglo XIX, las nociones más sofisticadas de integral comenzaron a aparecer, donde el tipo de la función, así como el dominio sobre el cual se realiza la integración se ha generalizado. La integral de línea se define para las funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a, b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos en el plano o en el espacio. En un integral de superficie, la curva se sustituye por una pieza de una superficie en el espacio tridimensional. Integrales de formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la moderna geometría diferencial . Estas generalizaciones de integrante primero surgieron de las necesidades de la física , y juegan un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas, en particular las de electrodinámica. Los conceptos modernos de la integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como la integración de Lebesgue , desarrollado por Henri Lebesgue.

Historia

Integración Pre-cálculo

La integración puede rastrearse ya en el antiguo Egipto, alrededor del año 1800 antes de Cristo, con la Papiro de Moscú demostrar el conocimiento de una fórmula para el volumen de un piramidal tronco. La técnica sistemática primero documentado capaz de integrales determinantes es la método de agotamiento de los Eudoxo (circa 370 aC), que pretendía encontrar áreas y volúmenes, rompiendo para arriba en un número infinito de formas para el que era conocido el área o volumen. Este método fue desarrollado y empleado por Arquímedes y se utiliza para calcular las áreas de parábolas y una aproximación a la área de un círculo. Métodos similares se desarrollaron de forma independiente en China alrededor del siglo 3 dC por Liu Hui, que lo utilizó para encontrar el área del círculo. Este método fue utilizado más adelante por Zu Chongzhi para encontrar el volumen de una esfera. Algunas ideas del cálculo integral se encuentran en el Siddhanta Shiromani, un texto 12ª astronomía siglo por el matemático indio Bhaskara II.

Avances significativos en técnicas como el método de agotamiento no comenzaron a aparecer hasta el siglo 16o. En este momento el trabajo de Cavalieri con su método de indivisibles, y el trabajo de Fermat , comenzó a sentar las bases de cálculo moderno. Otras medidas se hicieron a principios del siglo 17 por Barrow y Torricelli, que proporcionó los primeros indicios de una conexión entre la integración y diferenciación.

Newton y Leibniz

El mayor avance en la integración se produjo en el siglo 17 con el descubrimiento independiente del teorema fundamental del cálculo por Newton y Leibniz . El teorema demuestra una conexión entre la integración y la diferenciación. Esta conexión, junto con la relativa facilidad de la diferenciación, puede ser explotado para calcular las integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo le permite a uno para resolver una clase mucho más amplio de problemas. Igual en importancia es el marco matemático integral que tanto Newton y Leibniz desarrollaron. Dado el nombre de cálculo infinitesimal, que permitió el análisis preciso de las funciones dentro de los dominios continuos. Este marco de tiempo se convirtió moderno Cálculo , cuya notación para las integrales se extrae directamente de la obra de Leibniz.

La formalización de las integrales

Mientras que Newton y Leibniz siempre un enfoque sistemático para la integración, su trabajo carecía de un grado de rigor. Obispo Berkeley memorablemente atacado infinitesimales como "los fantasmas de la cantidad difuntos". Cálculo adquirió una base más firme con el desarrollo de límites y se le dio una base adecuada por Cauchy en la primera mitad del siglo 19. La integración fue primero rigurosamente formalizada, utilizando los límites, por Riemann . Aunque todos los trozos acotada funciones continuas son Riemann integrable en un intervalo acotado, posteriormente se consideraron funciones más generales, a las que no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formulado una definición diferente de integral, fundada en medir teoría. Otras definiciones de integral, ampliando los enfoques de Riemann y Lebesgue de, se propusieron.

Notación

Isaac Newton utilizó una pequeña barra vertical sobre una variable para indicar la integración, o se coloca la variable dentro de una caja. La barra vertical se confunde fácilmente con $\ Dot {x}$ o $x '\, \!$ , Que Newton utiliza para indicar la diferenciación y la notación caja era difícil para impresoras para reproducir, por lo que estas anotaciones no fueron ampliamente adoptado.

La notación moderna para la integral indefinida fue introducido por Gottfried Leibniz en 1675 (Burton 1988, p 359;. Leibniz 1899, p 154.). Adaptó el símbolo integral "∫", desde una letra S alargada, de pie para summa (del latín, "suma" o "total"). La notación moderna para la integral definida, con los límites superior e inferior del signo integral, se utilizó por primera vez por Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa en torno a 1819-1820, reimpreso en su libro de 1822 (Cajori 1929, pp 249-250;. Fourier 1822, §231). En Notación matemática árabe que se escribe de derecha a izquierda, un símbolo integral invertida 22px se utiliza (W3C 2006).

Terminología y notación

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. La función para la que se calcula la integral se llama el integrando. La región sobre la cual se está integrando una función se llama el dominio de la integración. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinido (uno con un dominio se considera definitivo). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de la integración puede ser un área, volumen, una región dimensional superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene una estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más simple, la integral de una función real f de una variable real x en el intervalo [a, b], se denota por

$\ Int_a ^ b f (x) \, dx.$

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y límite superior de integración, que define el ámbito de la integración; f es el integrando, para ser evaluados como x varía en el intervalo [a, b ]; y dx puede tener diferentes interpretaciones en función de la teoría que se utiliza. Por ejemplo, se puede ver simplemente como una notación que indica que x es la "variable ficticia" de la integración, como un reflejo de los pesos de la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (no en -Estándar análisis) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar ligeramente la notación.

Introducción

Integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considere la posibilidad de una piscina. Si es rectangular, a continuación, a partir de su longitud, anchura, y profundidad podemos determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (a llenarlo), el área de su superficie (para cubrirlo), y la longitud de su borde (a cuerda de él). Pero si es ovalada, con un fondo redondeado, todas estas cantidades llaman para integrales. Aproximaciones prácticas pueden ser suficientes al principio, pero al final nos exigir respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a integrante de √ x de 0 a 1, con ■ 5 muestras derecha (arriba) y ■ 12 muestras de izquierda (abajo)

Para empezar, tenga en cuenta la curva y = f (x) entre x = 0 yx = 1, con f (x) = √ x. Le pedimos:

¿Cuál es el área bajo la función f en el intervalo de 0 a 1?

y llamar a esta área (todavía desconocido) la integral de f. La notación para esta integral será

$\ Int_0 ^ 1 \ sqrt x \, dx \, \ !.$

Como primera aproximación, mira la unidad cuadrada dada por los lados x = 0 hasta x = 1 ey = f (0) = 0 ey = f (1) = 1. Su superficie es exactamente 1. Tal como es, el verdadero valor de la integral debe ser algo menor. Disminuir el ancho de los rectángulos de aproximación dará un mejor resultado; por lo que cruzar el intervalo en cinco pasos, utilizando los puntos de aproximación 0, _{^{1/5, 2/5,}} y así sucesivamente a 1. Montar una caja para cada etapa utilizando la altura del extremo derecho de cada pieza curva, por lo tanto √ _^1/5, √ _^2/5, y así sucesivamente hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, obtenemos una mejor aproximación para la integral buscada, es decir,

$\ Estilo de texto \ sqrt {\ frac {1} {5}} \ left (\ frac {1} {5} - 0 \ right) + \ sqrt {\ frac {2} {5}} \ left (\ frac {2 } {5} - \ frac {1} {5} \ right) + \ cdots + \ sqrt {\ frac {5} {5}} \ left (\ frac {5} {5} - \ frac {4} { 5} \ right) \ aprox 0,7497 \, \!$

Nótese que estamos tomando una suma de un número finito de valores de la función de f, multiplicados por las diferencias de dos puntos de aproximación posteriores. Podemos ver fácilmente que la aproximación es todavía demasiado grande. El uso de más pasos produce una aproximación más cercana, pero nunca será exacta: la sustitución de los 5 subintervalos por doce como se representa, nos pondremos un valor aproximado para la zona de 0.6203, que es demasiado pequeño. La idea clave es la transición de la adición de un número finito de las diferencias de puntos de aproximación multiplicados por sus respectivos valores de la función a usar infinitamente fina, o pasos infinitesimales.

En cuanto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo , debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de la diferenciación y la integración. Aplicado a la curva de la raíz cuadrada, f (x) = x ^1/2, lo dice a mirar a la función relacionada F (x) = _^2/3 x ^3/2, y simplemente tomar F (1) - F (0) , donde 0 y 1 son los límites de la intervalo [0,1]. (Este es un caso de una regla general, que para f (x) = x ^q, con q ≠ -1, la función relacionada, el llamado antiderivative es F (x) = (x ^{1 q)} / (q + 1)). Así que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

$\ Int_0 ^ 1 \ sqrt x \ cdot dx = \ int_0 ^ 1 x ^ {1/2} \ cdot dx = \ int_0 ^ 1 d \ left ({\ estilo de texto \ frac 2 3} x ^ {3/2} \ derecha) = {\ estilo de texto \ frac 2 3}.$

La notación

$\ Int f (x) \, dx \, \!$

concibe la integral como una suma ponderada, denotado por la "S" alargada, con valores de la función, f (x), multiplicado por anchuras de paso infinitesimales, los llamados diferenciales, denotado por dx. El signo de multiplicación se omite generalmente.

Históricamente, tras el fracaso de los esfuerzos iniciales para interpretar rigurosamente infinitesimales, Riemann integrales define formalmente como un límite de sumas ponderadas, para que el dx sugirió el límite de una diferencia (es decir, el ancho del intervalo). Las deficiencias de la dependencia de Riemann en intervalos y continuidad motivado nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue , que se basa en la capacidad de extender la idea de la "medida" de manera mucho más flexible. Por lo tanto la notación

$\ Int_a f (x) \, d \ mu \, \!$

se refiere a una suma ponderada en la que se dividen los valores de la función, con μ medir el peso a asignar a cada valor. Aquí A indica la región de integración.

Geometría diferencial , con su "cálculo de colectores ", da la notación familiar pero otra interpretación. Ahora f (x) dx y convertirse en una forma diferencial, ω = f (x) dx, un nuevo operador diferencial d, conocido como el aparece derivada exterior, y el teorema fundamental se convierte en el más general El teorema de Stokes,

$\ Int_ {A} \ bold {d} \ omega = \ int _ {\ part A} \ omega, \, \!$

de los cuales Teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo seguimiento.

Más recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como análisis no estándar. No sólo estos métodos reivindican las intuiciones de los pioneros, que también conducen a nuevas matemáticas.

Aunque hay diferencias entre estas concepciones de la integral, hay una considerable superposición. Así, el área de la superficie de la piscina ovalada puede ser manejado como una elipse geométrico, como una suma de los infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como un colector con una forma diferencial. El resultado calculado será la misma para todos.

Las definiciones formales

Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todos los cuales son equivalentes. Las diferencias existen sobre todo para hacer frente a diferentes casos especiales que pueden no ser integrable bajo otras definiciones, sino también de vez en cuando por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas de integral son integrales de Riemann e integrales de Lebesgue.

Integral de Riemann

Integral planteado como suma de Riemann basado en la partición etiquetada, con posiciones irregulares de muestreo y anchos (máximo en rojo). Verdadero valor es 3,76; estimación es 3.648.

La integral de Riemann se define en términos de Riemann sumas de funciones con respecto a las particiones etiquetadas de un intervalo. Deje [a, b] ser un intervalo cerrado de la línea real; entonces una partición de etiquetado de [a, b] es una secuencia finita

$a = x 0 \ le t_1 \ le x_1 \ le t_2 \ le x_2 \ le \ cdots \ le x_ {n-1} \ le t_n \ le x_n = b. \, \!$

Sumas de Riemann convergentes como intervalos de reducir a la mitad, si muestreada a ■ derecho, ■ mínimo ■ máxima o ■ izquierda.

Esto divide el intervalo [a, b] en i subintervalos [x _{i -1,} x _i], cada uno de los cuales está "marcado" con un punto t distinguido _i ∈ [x _{i -1,} x _i]. Deje Δ _i = x _i - x _{i -1} será la anchura de subintervalo i; a continuación, la malla de una partición tales etiquetado es la anchura de la más grande sub-intervalo formado por la partición, max _{i = 1 ... n} Δ _i. Una suma de Riemann de una función f con respecto a una partición tales etiquetados se define como

$\ Sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_i) \ Delta_i;$

por lo tanto cada término de la suma es el área de un rectángulo con la altura igual al valor de la función en el punto distinguida de la sub-intervalo dado, y una anchura igual a la anchura de subintervalo. La integral de Riemann de una función f en el intervalo [a, b] es igual a S si:

Por todo ε> 0 existe δ> 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a, b] con malla inferior a δ, tenemos

$\ Left | S - \ sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_i) \ Delta_i \ right | <\ epsilon.$

Cuando las etiquetas elegidas dan la máxima (respectivamente, mínima) valor de cada intervalo, la suma de Riemann se convierte en una parte superior (respectivamente, inferior) Suma Darboux, lo que sugiere la estrecha relación entre la integral de Riemann y la Darboux integral.

Integral de Lebesgue

La integral de Riemann no está definido para una amplia gama de funciones y situaciones de importancia en las aplicaciones (y de interés en la teoría). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fácilmente la densidad de encontrar la masa de una viga de acero, pero no puede dar cabida a una bola de acero que descansa sobre ella. Esto motiva a otras definiciones, en las que un surtido más amplio de funciones es integrable (Rudin, 1987). La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad al dirigir la atención a los pesos en la suma ponderada.

La definición de la integral de Lebesgue por lo tanto comienza con una medida, μ. En el caso más simple, el Medida de Lebesgue μ (A) de un intervalo de A = [a, b] es su anchura, b - a, de modo que la integral de Lebesgue está de acuerdo con la (propia) integral de Riemann cuando ambos existen. En casos más complicados, los conjuntos están medidos pueden estar muy fragmentadas, sin continuidad y no se parece a intervalos.

Para aprovechar esta flexibilidad, las integrales de Lebesgue revertir el enfoque de la suma ponderada. Como Folland (1984, p. 56) dice, "Para calcular la integral de Riemann de f, se divide el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "uno es en efecto dividir el rango de f ".

Un enfoque común define primero la integral de la función de indicador de un conjunto medible A través de:

$\ int 1_A d \ mu = \ mu (A)$ .

Esto se extiende por la linealidad de un medible s sencilla función, que alcanza sólo un número finito, n, de los valores no negativos distintas:

$\ Begin {align} \ int s \, d \ mu & {} = \ int \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i 1_ {A_i} \ right) d \ & mu \\ {} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i \ int 1_ {A_i} \, d \ mu \\ & {} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i \, \ mu (a_i) \ end {align}$

(Donde la imagen de A _i bajo la simple función s es el valor de la constante a _i). Así, si E es un conjunto medible uno define

$\ Int_E s \, d \ mu = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i \, \ mu (A_i \ cap E).$

Entonces para cualquier no negativo función medible f se define

$\ Int_E f \, d \ mu = \ sup \ left \ {\ int_E s \, d \ mu \, \ dos puntos 0 \ leq s \ leq f \ text {} y s \ text {es una función simple} \ right \};$

es decir, la integral de f se ajusta para que sea el supremum de todas las integrales de funciones simples que son menos que o igual a f. Una función f medible en general, se divide en sus valores positivos y negativos mediante la definición

$\ Begin {align} f ^ + (x) & {} = \ begin {casos} f (x), y \ text {if} f (x)> 0 \\ 0, y \ text {lo contrario} \ end { casos} \\ f ^ - (x) & {} = \ begin {casos} f (x), y \ text {if} f (x) <0 \\ 0, y \ text {lo contrario} \ end { casos} \ end {align}$

Finalmente, f es integrable Lebesgue si

$\ Int_E | f | \, d \ mu <\ infty, \, \!$

y entonces la integral se define por

$\ Int_E f \, d \ mu = \ int_E f ^ + \, d \ mu - \ int_E f ^ - \, d \ mu. \, \!$

Cuando el espacio de medida en la que se definen las funciones es también una localmente compacto espacio topológico (como es el caso con los números reales R), las medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado ( Medidas de Radon, de los cuales la medida de Lebesgue es un ejemplo) y integral con respecto a ellos se puede definir de manera diferente, a partir de las integrales de funciones continuas con soporte compacto. Más precisamente, las funciones de soporte compacto forman un espacio vectorial que lleva un naturales topología, y (radón) medida se pueden definir como cualquier continuo funcional lineal en este espacio; el valor de una medida en una función de soporte compacto es entonces también, por definición, la integral de la función. Uno procede entonces para expandir la medida (la integral) a las funciones más generales por la continuidad, y define la medida de un conjunto como la integral de la función de indicador. Este es el enfoque adoptado por Bourbaki (2004) y un cierto número de otros autores. Para más detalles ver Medidas de Radon.

Otros integrales

Aunque las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de la integral, un número de otros existe, incluyendo:

La Integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.
La Lebesgue-Stieltjes integral, desarrollada posteriormente por Johann Radon, que generaliza el Riemann-Stieltjes y Lebesgue integrales .
La Daniell integral, que subsume la integral de Lebesgue y Lebesgue-Stieltjes integral sin la dependencia de medidas.
La Henstock-Kurzweil integral, definido de diversas maneras por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y (lo más elegante, como el indicador integral) Jaroslav Kurzweil, y desarrollado por Ralph Henstock.

Propiedades de la integración

Linealidad

La colección de funciones integrables Riemann en un intervalo cerrado [a, b] forma un espacio vectorial bajo las operaciones de adición puntual y la multiplicación por un escalar, y la operación de la integración

$f \ mapsto \ int_a ^ b f \; dx$

es un funcional lineal en este espacio vectorial. Por lo tanto, en primer lugar, la colección de funciones integrables es cerrado bajo la asunción combinaciones lineales; y, en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

$\ Int_a ^ b (\ alpha f + \ beta g) (x) \, dx = \ alpha \ int_a ^ bf (x) \, dx + \ beta \ int_a ^ bg (x) \, dx. \,$

Del mismo modo, el conjunto de bienes -valued funciones integrables Lebesgue en un dado medir el espacio de E con μ medida es cerrado bajo tomar combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

$f \ mapsto \ int_E f d \ mu$

es un funcional lineal en este espacio vectorial, de manera que

$\ Int_E (\ alpha f + \ beta g) \, d \ mu = \ alpha \ int_E f \, d \ mu + \ beta \ int_E g \, d \ mu.$

De manera más general, considere el espacio vectorial de todas funciones medibles en un espacio de medida (E μ,), que toman valores en un localmente compacto completo topológica espacio vectorial V sobre un localmente compacto K campo topológico, f: E → V. Entonces uno puede definir un mapa de la integración abstracta asignando a cada función f un elemento de V o el símbolo ∞,

$f \ mapsto \ int_E f d \ mu, \,$

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se mantiene para el subespacio de funciones cuya integral es un elemento de V (es decir, "finito"). Los más importantes casos especiales surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Q _p de números p-adic, y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K = C y V es un complejo Espacio de Hilbert.

Linealidad, junto con algunas propiedades de continuidad naturales y normalización para una cierta clase de funciones "simples", se puede utilizar para dar una definición alternativa de la integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en un conjunto X, generalizada por Nicolas Bourbaki a las funciones con valores en un espacio localmente compacto vectorial topológico. Ver (Hildebrandt 1953) para una caracterización axiomática de la integral.

Las desigualdades de las integrales

Una serie de desigualdades generales sostenga para Riemann integrables funciones definidas en un cerrado y delimitada intervalo [a, b] y se puede generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

Los límites superiores e inferiores. Una función f integrable en [a, b], es necesariamente delimitada en ese intervalo. Así, hay números reales my M para que m ≤ f (x) ≤ M para todo x de [a, b]. Dado que las sumas inferior y superior de f sobre [a, b] son por lo tanto limitado por, respectivamente, m (b - a) y M (b - a), se deduce que

$m (b - a) \ leq \ int_a ^ b f (x) \, dx \ leq M (b - a).$

Las desigualdades entre funciones. Si f (x) ≤ g (x) para cada x en [a, b], entonces cada una de las sumas superior e inferior de f está acotada por encima de las sumas superior e inferior, respectivamente, de g. Así

$\ Int_a ^ b f (x) \, dx \ leq \ int_a ^ b g (x) \, dx.$

Esta es una generalización de las desigualdades anteriores, como M (b - a) es la integral de la función constante con el valor M sobre [a, b].

Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] yf (x) es no negativa para todo x, entonces

$\ Int_c ^ d f (x) \, dx \ leq \ int_a ^ b f (x) \, dx.$

Productos y valores absolutos de funciones. Si fyg son dos funciones, entonces podemos considerar su productos pointwise y poderes, y valores absolutos :

$(Fg) (x) = f (x) g (x), \; f ^ 2 (x) = (f (x)) ^ 2, \; | F | (x) = | f (x) |. \,$

Si f es Riemann integrable en [a, b], entonces el mismo es cierto para | f |, y

$\ Left | \ int_a ^ bf (x) \, dx \ right | \ leq \ int_a ^ b | f (x) | \, dx.$

Por otra parte, si fyg son ambas Riemann-integrable, f ^2, g ^2, y fg son también Riemann integrable, y

$\ Left (\ int_a ^ b (fg) (x) \, dx \ right) ^ 2 \ leq \ left (\ int_a ^ bf (x) ^ 2 \, dx \ right) \ left (\ int_a ^ bg (x ) ^ 2 \, dx \ right).$

Esta desigualdad, conocido como el Desigualdad de Cauchy-Schwarz, juega un papel destacado en Hilbert teoría del espacio, donde el lado izquierdo se interpreta como la producto interno de dos funciones cuadrado-integrables F y G en el intervalo [a, b].

La desigualdad de Hölder. Supongamos que p y q son dos números reales, 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1 / p + 1 / q = 1, y f y g son dos funciones Riemann integrables. Entonces la función | f | ^p y | g | ^q también son integrables y la siguiente La desigualdad de Hölder sostiene:

$\ Left | \ int f (x) g (x) \, dx \ right | \ leq \ left (\ int \ left | f (x) \ right | ^ p \, dx \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int \ left | g (x) \ right | ^ q \, dx \ right) ^ {1 / q}.$

Para p = q = 2, la desigualdad de Hölder se convierte en la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La desigualdad de Minkowski. Supongamos que p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones Riemann integrables. Entonces | f | ^p, | g | ^p y | f + g | ^p son también Riemann integrable y la siguiente Minkowski desigualdad se cumple:

$\ Left (\ int \ left | f (x) + g (x) \ right | ^ p \, dx \ right) ^ {1 / p} \ leq \ left (\ int \ left | f (x) \ right | ^ p \, dx \ right) ^ {1 / p} + \ left (\ int \ left | g (x) \ right | ^ p \, dx \ right) ^ {1 / p}.$

Un análogo de esta desigualdad de Lebesgue integral se utiliza en la construcción de L espacios ^p.

Convenciones

En esta sección f es una de valor real Riemann integrable función . La integral

$\ Int_a ^ b f (x) \, dx$

en un intervalo [a, b] se define si a <b. Esto significa que las sumas superior e inferior de la función f se evalúan en un una partición = x ₀ ≤ x ≤ _1. . . ≤ x _n = b cuyos valores x _i van en aumento. Geométricamente, esto significa que la integración se lleva a cabo "izquierda a derecha", evaluando f dentro de los intervalos [x _i, x _{i + 1]} donde un intervalo con un índice más alto se encuentra a la derecha de uno con un índice inferior. Los valores de a y b, los puntos finales de la intervalo, se llaman el límites de integración de f. Integrales también se pueden definir si a> b:

Revertir límites de integración. Si a> b entonces a definir

$\ Int_a ^ b f (x) \, dx = - \ int_b ^ a f (x) \, dx.$

Esto, con a = b, implica:

Integrales en intervalos de longitud cero. Si A es un número real entonces

$\ Int_a ^ a f (x) \, dx = 0.$

La primera convención es necesaria la consideración de tomar integrales sobre subintervalos de [a, b]; el segundo dice que una integral en un intervalo de degenerado, o una punto, debe ser cero . Una de las razones por primera convención es que la integrabilidad de f en un intervalo [a, b] implica que f es integrable en cualquier subintervalo [c, d], pero en las integrales particulares tienen la propiedad de que:

Si c es cualquier aditividad de la integración en intervalos. elemento de [a, b], entonces

$\ Int_a ^ bf (x) \, dx = \ int_a ^ cf (x) \, dx + \ int_c ^ bf (x) \, dx.$

Con la primera convención de la relación resultante

$\ Begin {align} \ int_a ^ cf (x) \, dx & {} = \ int_a ^ bf (x) \, dx - \ int_c ^ bf (x) \, dx \\ & {} = \ int_a ^ bf (x) \, dx + \ int_b ^ cf (x) \, dx \ end {align}$

está entonces bien definido para cualquier permutación cíclica de a, b, y c.

En lugar de considerar lo anterior como convenciones, también se puede adoptar el punto de vista de que la integración se realiza en variedades orientadas solamente. Si M es un colector de m-dimensional tal orientado, y M 'es el mismo bloque con orientación opuesta y ω es una m -forma, entonces uno ha (ver más abajo para la integración de formas diferenciales):

$\ Int_M \ omega = - \ int_ {M '} \ omega \ ,.$

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la diferenciación y la integración son operaciones inversas: si un función continua se integra primero y luego diferenciado, se recupera la función original. Una consecuencia importante, a veces llamado el segundo teorema fundamental del cálculo, le permite a uno computar integrales mediante el uso de un antiderivada de la función a integrar.

Declaraciones de teoremas

Teorema fundamental del cálculo. Sea f una de valor real integrable función definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F está definida para x en [a, b] por

$F (x) = \ int_a ^ x f (t) \, dt.$

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x en [a, b], entonces F es diferenciable en x, y F '(x) = f (x).

Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función integrable con valores reales definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F '(x) = f (x) para todo x en [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), a continuación,

$\ Int_a ^ b f (t) \, dt = F (b) - F (a).$

Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definido por

$F (x) = \ int_a ^ x f (t) \, dt$

es un anti-derivada de f en [a, b]. Por otra parte,

$\ Int_a ^ b f (t) \, dt = F (b) - F (a).$

Extensiones

Integrales impropias

La integral impropia
$\ Int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {dx} {(x + 1) \ sqrt {x}} = \ pi$
tiene intervalos no acotados tanto dominio y rango.

Un "buen" integral de Riemann asume el integrando es definido y finito en un intervalo cerrado y acotado, delimitado por los límites de integración. Una integral impropia se produce cuando una o más de estas condiciones no se cumple. En algunos casos tales integrales pueden ser definidos por teniendo en cuenta el límite de una secuencia de adecuada Riemann integrales en intervalos cada vez más grandes.

Si el intervalo es ilimitado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite en ese punto final tiende a infinito.

$\ Int_ {a} ^ {\ infty} f (x) dx = \ lim_ {b \ a \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx$

Si el integrando sólo se define o finita en un intervalo semiabierto, por ejemplo (a, b], entonces otra vez un límite puede proporcionar un resultado finito.

$\ Int_ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ int_ {a + \ epsilon} ^ {b} f (x) dx$

Es decir, la integral impropia es el límite de integrales adecuados como un punto final del intervalo de integración se acerca o bien un determinado número real , o ∞ o -∞. En casos más complicados, se requieren límites en ambos extremos, o en puntos interiores.

Consideremos, por ejemplo, la función $\ Tfrac {1} {(x + 1) \ sqrt {x}}$ integrado de 0 a ∞ (a la derecha). En el límite inferior, cuando x va a 0 la función va a ∞, y el límite superior es en sí ∞, aunque la función va a 0. Por lo tanto se trata de una doble integral impropia. Integrado, por ejemplo, de 1 a 3, una suma ordinaria Riemann es suficiente para producir un resultado de $\ Tfrac {\ pi} {6}$ . Integrar de 1 a ∞, una suma de Riemann no es posible. Sin embargo, cualquier límite superior finito, dicen t (con t> 1), da un resultado bien definido, $\ Tfrac {\ pi} {2} - 2 \ arctan \ tfrac {1} {\ sqrt {t}}$ . Esto tiene un límite finito cuando t tiende a infinito, es decir, $\ Tfrac {\ pi} {2}$ . Del mismo modo, la integral desde ^_1/3 a 1 permite a una suma de Riemann, así, casualmente produciendo de nuevo $\ Tfrac {\ pi} {6}$ . Sustitución de _{^un tercio} por un valor positivo arbitrario s (con s <1) es igual de seguro, dando $- \ Tfrac {\ pi} {2} + 2 \ arctan \ tfrac {1} {\ sqrt {s}}$ . Esto, también, tiene un límite finito como s tiende a cero, es decir, $\ Tfrac {\ pi} {2}$ . La combinación de los límites de los dos fragmentos, el resultado de esta integral es impropia

$\ Begin {align} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {dx} {(x + 1) \ sqrt {x}} y {} = \ lim_ {s \ a 0} \ int_ {s} ^ {1} \ frac {dx} {(x + 1) \ sqrt {x}} + \ lim_ {t \ to \ infty} \ int_ {1} ^ {t} \ frac {dx} {(x + 1) \ sqrt {x}} \\ & {} = \ lim_ {s \ a 0} \ left (- \ frac {\ pi} {2} + 2 \ arctan \ frac {1} {\ sqrt {s}} \ derecha) + \ lim_ {t \ to \ infty} \ left (\ frac {\ pi} {2} - 2 \ arctan \ frac {1} {\ sqrt {t}} \ right) \\ & {} = \ frac {\ pi} {2} + \ frac {\ pi} {2} \\ y {} = \ pi. \ End {align}$

Este proceso no se garantiza el éxito; un límite puede dejar de existir, o puede ser ilimitada. Por ejemplo, en el intervalo acotado de 0 a 1 la integral de $\ Tfrac {1} {x ^ 2}$ no converge; y en el intervalo de 1 a ∞ sin límites la integral de $\ Tfrac {1} {\ sqrt {x}}$ no converge.

También puede suceder que un integrando es ilimitada en un punto interior, en cuyo caso la integral debe dividirse en ese punto, y debe existir las integrales límite en ambos lados y debe ser limitada. Así

$\ Begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} \ frac {dx} {\ sqrt [3] {x ^ 2}} y {} = \ lim_ {s \ a 0} \ int _ {- 1} ^ {- s} \ frac {dx} {\ sqrt [3] {x ^ 2}} + \ lim_ {t \ a 0} \ int_ {t} ^ {1} \ frac {dx} {\ sqrt [3 ] {x ^ 2}} \\ & {} = \ lim_ {s \ a 0} 3 (1- \ sqrt [3] {s}) + \ lim_ {t \ a 0} 3 (1- \ sqrt [ 3] {t}) \\ & {} = 3 + 3 \\ & {} = 6. \ end {align}$

Pero la integral parecido

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x} \,\!$

No se puede asignar un valor de esta manera, como las integrales por encima y por debajo de cero no hacerlo de forma independiente converger. (Sin embargo, vea Cauchy valor principal.)

Integración múltiple

Integral doble como el volumen bajo una superficie.

Integrales se pueden tomar más de regiones distintas de intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:

$\int_E f(x) \, dx$

Aquí x no tiene que ser un número real, pero puede ser otra cantidad adecuada, por ejemplo, un vector en R ³ . teorema de Fubini muestra que tales integrales pueden reescribirse como una integral iterada . En otras palabras, la integral se puede calcular mediante la integración de una coordenada a la vez.

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa eláreade la región entre la gráfica de la función y laxeje x, laintegral doblede una función positiva de dos variables representa elvolumende la región entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio.(El mismo volumen puede obtenerse a través de laintegral triple- la integral de una función en tres variables - de la función constantef(x,y,z) = 1 sobre la región antes mencionada entre la superficie y el plano). Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa unhipervolumen, un volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no pueden ser graficados.

Por ejemplo, el volumen de laparalelepípedo de lados 4 × 6 × 5 puede obtenerse de dos maneras:

Por la integral doble

$\iint_D 5 \ dx\, dy$

de la funciónf(x,y) = 5 calculado en la regiónDen laxyplano xy que es la base del paralelepípedo.

Por la integral triple

$\iiint_\mathrm{parallelepiped} 1 \, dx\, dy\, dz$

de la función constante 1 calculado sobre la propia paralelepípedo.

Debido a que es imposible calcular laantiderivada de una función de más de una variable,indefinidano existen integrales múltiples, por lo que tales integrales son todosdefinitivo.

Integrales de línea

Una línea sumas integrales juntos elementos a lo largo de una curva.

El concepto de una integral puede extenderse a dominios más generales de integración, tales como líneas y superficies curvas. Tales integrales son conocidas como integrales de línea y las integrales de superficie respectivamente. Estos tienen importantes aplicaciones en la física, como cuando se trata de campos de vectores.

Una línea integral (a veces llamado un camino integral ) es una integral donde la función de ser integrado se evalúa a lo largo de una curva . Varios diferentes integrales de línea están en uso. En el caso de una curva cerrada que también se llama una integral de contorno .

La función de ser integrado puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderado por alguna función escalar en la curva (comúnmente longitud de arco o, para un vector campo, el producto escalar del campo vectorial con un vector diferencial en la curva). Esta ponderación se distingue la línea integral de las integrales simples definidos en intervalos. Muchas fórmulas simples de la física tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo es igual a la fuerza multiplicada por la distancia puede expresarse (en términos de cantidades vectoriales) como:

$W=\vec F\cdot\vec d$ ;

que es paralela a la integral de línea:

$W=\int_C \vec F\cdot d\vec s$ ;

que resume componentes del vector a lo largo de una trayectoria continua, y por lo tanto se encuentra el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve a través de un campo, tal como un campo eléctrico o gravitacional

Integrales de superficie

La definición de la integral de superficie se basa en dividir la superficie en elementos superficiales pequeños.

Un integral de superficie es una integral definida tomado más de un superficie (que puede ser una curva conjunto en el espacio); que puede ser pensado como el analógico integral doble de la integral de línea. La función de ser integrado puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es la suma del campo en todos los puntos en la superficie. Esto se puede lograr mediante la división de la superficie en elementos de superficie, que proporcionan el particionamiento para sumas de Riemann.

Para un ejemplo de las aplicaciones de las integrales de superficie, considere un campo vector v sobre una superficie S ; es decir, para cada punto x en S , v ( x ) es un vector. Imaginemos que tenemos un fluido que fluye a través de S , de tal modo que v ( x ) determina la velocidad del fluido en x . La de flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en cantidad unidad de tiempo. Para encontrar el flujo, tenemos que tomar el producto escalar de v con la unidad de superficie normal a S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar, que integramos sobre la superficie:

$\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}}$ .

El flujo de fluido en este ejemplo puede ser de un fluido física tal como agua o aire, o de flujo eléctrico o magnético. Así integrales de superficie tienen aplicaciones en la física , en particular con la teoría clásica de electromagnetismo .

Integrales de formas diferenciales

La forma diferencial es un concepto matemático en los campos decálculo multivariable,topología diferencial y tensores.la notación moderna de la forma diferencial, así como la idea de las formas diferenciales como losproductos de cuña dederivados exteriores que forman unálgebra exterior, fue presentado por Élie Cartan.

Inicialmente Trabajamos en un conjunto abierto en R ⁿ . A 0-forma se define como una función suave f . Cuando integramos una función f sobre un m - dimensional subespacio S de R ⁿ , escribimos como

$\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m.$

(Los superíndices son índices, no exponentes.) Podemos considerar dx ¹ través dx ⁿ ser propios objetos formales, en lugar de las etiquetas adjuntas para hacer integrales parecen Riemann resume. Alternativamente, podemos verlos como covectores, y por lo tanto una medida de la "densidad" (de ahí integrable en un sentido general). Llamamos a la dx ¹ , ..., dx ⁿ básicos 1- formas .

Definimos elproducto exterior, "∧", un operador bilineal "multiplicación" de estos elementos, con laalternanciapropiedad que

$dx^a \wedge dx^a = 0 \,\!$

para todos los índices a . Tenga en cuenta que la alternancia junto con linealidad implica dx ^b ∧ dx ^la = - dx ^la ∧ dx ^b . Esto también asegura que el resultado del producto de cuña tiene una orientación.

Definimos el conjunto de todos estos productos para ser básico 2- formas , y del mismo modo se define el conjunto de productos de la forma dx ^la ∧ dx ^b ∧ dx ^c ser básica 3- formas . Un general k -forma es entonces una suma ponderada de básicos k- formas, donde los pesos son las funciones lisa f . Juntos forman un espacio vectorial con básicos k -formas como los vectores de la base, y 0-formas (funciones suaves) como el campo de escalares. El producto cuña luego se extiende a k -formas de la manera natural. Con el R ⁿ en la mayoría de n covectores puede ser linealmente independientes, así una k- formulario con k > n siempre será cero, por la propiedad alterna.

Además del producto de cuña, también existe el exterior derivado operador d . Esto mapas operador k -formas de ( k 1) -formas. Para una k ω -forma = f dx ^la sobre R ⁿ , definimos la acción de d por:

${\bold d}{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i \wedge dx^a.$

con extensión a lo generalk-formas que ocurre linealmente.

Este enfoque más general permite un enfoque más natural coordinar libre a la integración de los colectores . También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo , llamado teorema de Stokes, que podemos afirmar que

$\int_{\Omega} {\bold d}\omega = \int_{\partial\Omega} \omega \,\!$

donde ω es un general k -forma, y ∂Ω denota el límite de la región Ω. Así, en el caso de que ω es una forma de 0 y Ω es un intervalo cerrado de la línea real, esto reduce al teorema fundamental del cálculo . En el caso de que ω es una forma 1 y Ω es una región 2-dimensional en el plano, el teorema se reduce a teorema de Green. Del mismo modo, el uso de 2-formas, y 3-formas y Hodge dualidad, podemos llegar a teorema de Stokes y la teorema de la divergencia. De esta manera podemos ver que las formas diferenciales proporcionan una poderosa visión unificadora de la integración.

Métodos y aplicaciones

Integrales Informática

La técnica más básica para el cálculo de las integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo . Se procede así:

Elija una funciónf(x) y un intervalo [a,b].
Encontrar una primitiva def, es decir, una funciónFtal queF '=f.
Por el teorema fundamental del cálculo, siempre que el integrando e integral no tienensingularidades en el camino de la integración,
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$
Por lo tanto el valor de la integral esF(b) -F(un).

Tenga en cuenta que la integral no es en realidad la antiderivada, pero el teorema fundamental nos permite utilizar primitivas para evaluar integrales definidas.

El paso difícil a menudo encontrar una primitiva de f . Rara vez es posible echar un vistazo a una función y anote su antiderivada. Más a menudo, es necesario utilizar una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de estas técnicas reescribir una integral como una diferente que es de esperar más manejable. Las técnicas incluyen:

Integración por sustitución
Integración por partes
Integración por sustitución trigonométrica
Integración por fracciones parciales
Integración mediante fórmulas de reducción

Incluso si estas técnicas fallan, todavía puede ser posible evaluar una integral dado. La siguiente técnica más común es el cálculo residuo, mientras que para las integrales no elementales serie de Taylor a veces puede ser usado para encontrar el antiderivative. También hay muchos menos comunes formas de calcular integrales definidas; por ejemplo, identidad de Parseval puede ser utilizado para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. De vez en cuando, una integral puede evaluarse mediante un truco; un ejemplo de esto, vea integral de Gauss.

Los cálculos de volúmenes desólidos de revolución por lo general se puede hacer conla integración de disco ola integración shell.

Los resultados específicos que se han trabajado a cabo mediante diversas técnicas se recogen en lalista de las integrales.

Algoritmos simbólicos

Muchos de los problemas en las matemáticas, la física y la ingeniería implican la integración en donde se desea una fórmula explícita para la integral. Extenso tablas de integrales se han compilado y publicado en los últimos años para este propósito. Con la difusión de las computadoras , muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a sistemas de álgebra computacional que están específicamente diseñados para realizar tareas difíciles o tediosas, incluyendo la integración. Integración simbólica presenta un desafío especial en el desarrollo de este tipo de sistemas.

Una dificultad importante en la integración matemática simbólica es que en muchos casos, simplemente no existe una fórmula cerrada para la primitiva de una función más bien inocentemente mirando. Por ejemplo, se sabe que las primitivas de las funciones exp ( x ² ), x ^X y el pecado x / x no puede ser expresado en la forma cerrada que implica sólo racionales y exponenciales funciones, logaritmo , trigonométricas y funciones trigonométricas inversas, y las operaciones de multiplicación y la composición; en otras palabras, ninguna de las tres funciones dadas es integrable en funciones elementales. la teoría de Galois diferencial proporciona criterios generales que permiten determinar si la primitiva de una función elemental es elemental. Por desgracia, resulta que las funciones con expresiones cerradas de primitivas son la excepción y no la regla. En consecuencia, los sistemas informatizados de álgebra no tienen esperanza de ser capaz de encontrar una antiderivada de una función elemental construida al azar. En el lado positivo, si los "bloques de construcción" para primitivas están fijados de antemano, puede todavía ser posible decidir si la antiderivada de una función dada puede expresarse usando estos bloques y operaciones de multiplicación y composición, y para encontrar el respuesta simbólica siempre existe. La algoritmo de Risch, implementado en Mathematica y los Arce sistemas de álgebra computacional, hace exactamente eso para las funciones y primitivas construidas a partir de las funciones racionales, radicales, logaritmos y funciones exponenciales.

Algunos integrandos especiales ocurren con suficiente frecuencia como para justificar un estudio especial. En particular, puede ser útil tener, en el conjunto de primitivas, las funciones especiales de la física (como las funciones de Legendre, la función hipergeométrica, la función gamma y así sucesivamente). Extendiendo el algoritmo de Risch-Norman para que incluya estas funciones es posible pero difícil.

La mayoría de los seres humanos no son capaces de integrar estas fórmulas generales, por lo que en cierto sentido los ordenadores son más hábiles en la integración de fórmulas muy complicadas. Muy fórmulas complejas es probable que tengan de forma cerrada primitivas, por lo que la cantidad de una ventaja hace presente es una pregunta filosófica que está abierto para el debate.

Cuadratura numérica

Las integrales se encuentran en un curso básico de cálculo son elegidos deliberadamente por simplicidad; las que se encuentran en aplicaciones reales no son siempre tan complaciente. Algunas integrales no se puede encontrar exactamente, algunos requieren funciones especiales que sí son un reto para calcular, y otros son tan complejos que encontrar la respuesta exacta es demasiado lento. Esto motiva el estudio y aplicación de métodos numéricos para integrales de aproximación, que utilizan hoy flotante aritmética de punto en electrónicos digitales ordenadores . Muchas de las ideas surgió mucho antes, para los cálculos de la mano; pero la velocidad de las computadoras de propósito general como el ENIAC creó la necesidad de mejoras.

Los objetivos de la integración numérica son la precisión, fiabilidad, eficiencia y generalidad. Métodos sofisticados pueden superar ampliamente un método ingenuo por las cuatro medidas (Dahlquist y Björck próximas; Kahaner, Moler & Nash 1989; Stoer y Bulirsch 2002). Consideremos, por ejemplo, la integral

$\int_{-2}^{2} \tfrac15 \left( \tfrac{1}{100}(322 + 3 x (98 + x (37 + x))) - 24 \frac{x}{1+x^2} \right) dx ,$

que tiene la respuesta exacta ⁹⁴ / ₂₅ = 3,76. (En la práctica ordinaria, la respuesta no se conoce de antemano, por lo que una tarea importante - no explorado aquí -. Es decidir cuándo una aproximación es lo suficientemente bueno) Un "libro de cálculo" enfoque divide el rango de integración en, digamos, 16 piezas iguales, y calcula valores de la función.

Valores de la función espaciados
x	-2.00		-1.50		-1.00		-0.50		0.00		0.50		1.00		1.50		2.00
f(x)	2.22800		2.45663		2.67200		2.32475		0.64400		-0.92575		-0.94000		-0.16963		0.83600
x		-1.75		-1.25		-0.75		-0.25		0.25		0.75		1.25		1.75
f(x)		2.33041		2.58562		2.62934		1.64019		-0.32444		-1.09159		-0.60387		0.31734

Métodos de cuadratura numéricas:■Rectángulo,■Trapecio,■Romberg,■Gauss

Usando el extremo izquierdo de cada pieza, el método rectángulo resume 16 valores de la función y se multiplica por el ancho de paso, h , 0,25 aquí, para obtener un valor aproximado de 3,94325 para la integral. La precisión no es impresionante, pero el cálculo utiliza formalmente piezas de anchura infinitesimal, por lo que inicialmente puede parecer poco motivo de preocupación. De hecho, doblando varias veces el número de pasos eventualmente produce una aproximación de 3,76001. Sin embargo 2 ¹⁸ se requieren piezas, un gran costo computacional para tan poca precisión; y un alcance para una mayor precisión puede obligar a pasos tan pequeños que la precisión aritmética se convierte en un obstáculo.

Un mejor enfoque reemplaza las tapas horizontales de los rectángulos con las tapas inclinadas tocar la función en los extremos de cada pieza. Este regla del trapecio es casi tan fácil de calcular; que resume todos los 17 valores de la función, pero los pesos de la primera y la última por un medio, y de nuevo se multiplica por el ancho de paso. Esto mejora inmediatamente la aproximación a 3,76925, que es notablemente más precisa. Además, sólo 2 ¹⁰ se necesitan piezas de lograr 3,76000, sustancialmente menor que el método de cálculo rectángulo de precisión comparable.

Método de Romberg se basa en el método trapezoidal con gran efecto. En primer lugar, las longitudes de paso se reducen a la mitad de forma incremental, dando aproximaciones trapezoidales denotados por T ( h ₀ ), T ( h ₁ ), y así sucesivamente, donde h _k1 es un medio de h _k . Para cada nuevo tamaño de paso, sólo la mitad de los nuevos valores de la función deben ser computados; los otros se transfieren de tamaño anterior (como se muestra en la tabla anterior). Pero la idea es realmente potente para interpolar un polinomio a través de las aproximaciones, y extrapolar a T (0). Con este método, una forma numérica exacta respuesta aquí requiere sólo cuatro piezas (cinco valores de función)! La Lagrange polinomio de interpolación { h _k , T ( h _k )} _{k= 0 ... 2} = {(4.00,6.128), (2.00,4.352), (1.00,3.908)} es 3.76 + 0.148 h ² , produciendo el valor extrapolado 3.76 en h = 0.

Cuadratura de Gauss requiere a menudo notablemente menos trabajo para una precisión superior. En este ejemplo, se puede calcular los valores de la función en sólo dos x posiciones, ± ² / _√3 , haga doble cada valor y la suma para obtener la respuesta numérica exacta. La explicación de este éxito espectacular se encuentra en análisis de errores, y un poco de suerte. Un n- método de Gauss punto es exacta para polinomios de grado hasta 2 n -1. La función en este ejemplo es un polinomio de grado 3, más un término que cancela porque los puntos finales elegidos son simétricas en torno a cero. (Cancelación también se beneficia el método de Romberg.)

Desplazamiento de la gama dejó un poco, por lo que la integral es -2,25-1,75, elimina la simetría. Sin embargo, el método trapezoidal es bastante lento, el método de interpolación polinómica de Romberg es aceptable, y el método de Gauss requiere la menor trabajo - si el número de puntos se conoce de antemano. Además, la interpolación racional puede utilizar las mismas evaluaciones trapezoidales como el método de Romberg con mayor eficacia.

Cuadratura de comparación de costos método
Método	Trapecio	Romberg	Racional	Gauss
Puntos	1048577	257	129	36
Rel.Err.	-5,3 × 10^-13	-6,3 × 10^-15	8,8 × 10^-15	3,1 × 10^-15
Valor	$\textstyle \int_{-2.25}^{1.75} f(x)\,dx = 4.1639019006585897075\ldots$

En la práctica, cada método debe utilizar evaluaciones adicionales para asegurar una cota de error de una función desconocida; esto tiende a compensar parte de la ventaja del método de Gauss puro, y motiva al popular híbrido de Gauss-Kronrod. Simetría todavía puede ser explotada mediante el fraccionamiento de esta integral en dos rangos, -2,25 a -1,75 (sin simetría), y -1,75 a 1,75 (simetría). En términos más generales, en cuadratura adaptativa particiones de un rango en pedazos basados en las propiedades de la función, por lo que los puntos de datos se concentran donde más se necesitan.

Esta breve introducción omite integrales de dimensiones superiores (por ejemplo, el área y cálculos de volumen), donde las alternativas tales comola integración Monte Carlo tienen gran importancia.

Un texto de cálculo no es un sustituto para el análisis numérico, pero lo contrario también es cierto. Incluso el mejor código numérico de adaptación a veces requiere un usuario para ayudar con las integrales más exigentes. Por ejemplo, integrales impropias pueden requerir un cambio de variable o métodos que se pueden evitar infinitos valores de la función; y propiedades conocidas como la simetría y periodicidad pueden proporcionar apalancamiento crítico.

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