Vector

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Un vector que va de A a B.

Un vector espacial, o simplemente vector, es un objeto geom??trico que tiene tanto una magnitud y una direcci??n. Un vector se representa con frecuencia por una segmento de l??nea que une el punto A inicial con el punto B y denotado terminales

$\ Overrightarrow {AB}.$

La magnitud es la longitud del segmento y la direcci??n caracteriza el desplazamiento de B respecto a A: cu??nto se debe mover el punto A a "llevar" hasta el punto B.

Muchos operaciones algebraicas en los n??meros reales tienen estrechos an??logos para los vectores. Los vectores pueden ser a??adidos , restados , multiplicado por un n??mero, y da la vuelta alrededor de modo que la direcci??n se invierte. Estas operaciones obedecen las leyes algebraicas familiares: conmutatividad , asociatividad , distributividad. La suma de dos vectores con el mismo punto inicial se puede encontrar geom??tricamente usando el ley del paralelogramo. La multiplicaci??n por un n??mero positivo, com??nmente llamado un escalar en este contexto, que equivale a cambiar la magnitud del vector, es decir, estiramiento o compresi??n mientras que mantiene su direcci??n; la multiplicaci??n por -1 preserva la magnitud del vector pero invierte su direcci??n.

Coordenadas cartesianas proporcionan una forma sistem??tica de describir vectores y operaciones con ellos. Un vector se convierte en un triple de los n??meros reales, sus componentes. La adici??n de vectores y multiplicaci??n de un vector por un escalar se hace simplemente componente por componente, consulte coordinar vector.

Vectores juegan un papel importante en la f??sica : la velocidad y la aceleraci??n de un objeto en movimiento y las fuerzas que act??an sobre un cuerpo son todos descrito por vectores. Muchas otras cantidades f??sicas pueden ser ??tilmente considerados como vectores. Uno tiene que tener en cuenta, sin embargo, que los componentes de un vector f??sico dependen de la sistema utilizado para describir de coordenadas. Otros objetos en vectores que describen como cantidades f??sicas y transforman de una manera similar bajo cambios del sistema de coordenadas incluyen pseudovectors y tensores.

Visi??n de conjunto

De manera informal, un vector es una cantidad caracterizado por una magnitud (en matem??ticas un n??mero, en la f??sica de un n??mero de veces de una unidad) y una direcci??n, a menudo representan gr??ficamente por una flecha. A veces, se habla de vectores encuadernados o fijos, que son vectores cuyo punto inicial es el origen. Esto est?? en contraste con vectores libres, que son vectores cuyo punto inicial no es necesariamente el origen.

El uso en la f??sica y la ingenier??a

Los vectores son fundamentales en las ciencias f??sicas. Pueden ser utilizados para representar cualquier cantidad que tiene una magnitud y direcci??n, tales como la velocidad , la magnitud de los cuales es velocidad. Por ejemplo, la velocidad de 5 metros por segundo hacia arriba pod??an ser representados por el vector (0,5). Otra cantidad representada por un vector es la fuerza , ya que tiene una magnitud y direcci??n. Los vectores tambi??n describen muchas otras cantidades f??sicas, tales como desplazamiento, aceleraci??n , el??ctrica y campos magn??ticos, impulso y momento angular .

Vectores en el espacio cartesiano

En coordenadas cartesianas , un vector puede representarse mediante la identificaci??n de las coordenadas de su punto inicial y terminal. Por ejemplo, los puntos A = (1,0,0) y B = (0,1,0) en el espacio libre de determinar el vector $\ Overrightarrow {AB}$ se??alando desde el punto x = 1 en el eje x y al punto = 1 en el eje y.

Normalmente, en coordenadas cartesianas, se considera vectores principalmente ligados. Un vector de la envolvente est?? determinada por las coordenadas del punto terminal, su punto inicial que tiene siempre las coordenadas del origen O = (0,0,0). As??, el vector de la envolvente representada por (1,0,0) es un vector de unidad de longitud que apunta desde el origen hasta el eje x positivo.

La representaci??n de coordenadas de vectores permite que las caracter??sticas algebraicas de vectores que se expresen de forma num??rica conveniente. Por ejemplo, la suma de los vectores (1,2,3) y (-2,0,4) es el vector

$(1, \, 2, \, 3) + (-2, \, 0, \, 4) = (1-2, \, 2 + 0, \, 3 + 4) = (- 1, \, 2 , \, 7). \,$

Vectores y vectores afines euclidiana

En los ajustes geom??tricos y f??sicos, a veces es posible asociar, de una manera natural, una longitud a los vectores, as?? como la noci??n de un ??ngulo entre dos vectores. Cuando se define la longitud de los vectores, es posible definir tambi??n un producto de punto - un producto escalar de valor de dos vectores - que da una caracterizaci??n algebraica conveniente de la longitud y el ??ngulo. En tres dimensiones, es posible adem??s definir un producto cruzado que suministra una caracterizaci??n algebraica de ??rea.

Sin embargo, no siempre es posible o deseable para definir la longitud de un vector de una manera natural. Este tipo m??s general de vector espacial es el tema de los espacios vectoriales (por vectores encuadernadas) y espacios afines (por vectores libres).

Las generalizaciones

En las clases m??s generales de los sistemas, la rotaci??n de un vector (y tambi??n de coordinar tensores) se pueden generalizar y categorizar a admitir una caracterizaci??n an??loga por su covarianza y contravarianza bajo cambios de coordenadas.

En las matem??ticas , un vector se considera m??s de una representaci??n de una cantidad f??sica. En general, un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial sobre algunos campo. Los vectores espaciales de este art??culo son un caso muy especial de esta definici??n general (no son simplemente cualquier elemento de R ^d en d dimensiones), que incluye una variedad de objetos matem??ticos ( ??lgebras, la conjunto de todas las funciones de un dado dominio a un lineal dada gama, y transformaciones lineales). Tenga en cuenta que bajo esta definici??n, un tensor es un vector especial.

Representaci??n de un vector

Los vectores se denominan generalmente en negrita, como una. Otros convenios incluyen $\ Vec {a}$ o una, especialmente en escritura a mano. Alternativamente, algunos utilizan un tilde (~) o un subrayado ondulado dibujado debajo del s??mbolo, que es una convenci??n para indicar negrita.

Los vectores son generalmente muestran en los gr??ficos u otros diagramas como flechas, como se ilustra a continuaci??n:

Aqu?? el punto A se llama el punto inicial, cola, o base; punto B se llama la cabeza, la punta o extremo. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector, mientras que la direcci??n en la que los puntos de flecha representa la direcci??n del vector.

En la figura anterior, la flecha tambi??n se puede escribir como $\ Overrightarrow {AB}$ o AB.

Notaci??n para los vectores de entrada o salida de un plane.svg

En un diagrama de dos dimensiones, a veces un vector perpendicular al plano del diagrama se desea. Estos vectores se muestran com??nmente como peque??os c??rculos. Un c??rculo con un punto en su centro indica un vector que apunta hacia fuera de la parte frontal del diagrama, hacia el espectador. Un c??rculo con una cruz inscrita en ??l indica un vector que apunta en y detr??s del diagrama. Estos pueden ser considerados como de ver la una punta flecha frente en y ver las aspas de una flecha de la parte posterior.

Un vector en el plano cartesiano, con punto final (2,3). El vector en s?? se identifica con su punto final.

Con el fin de calcular con vectores, la representaci??n gr??fica puede ser demasiado engorroso. Vectores en un espacio eucl??deo de dimensi??n n n pueden ser representados en un sistema de coordenadas cartesianas . El punto final de un vector puede ser identificado con una lista de n n??meros reales, a veces llamado una vector fila o vector columna. Como un ejemplo en dos dimensiones (v??ase la imagen), el vector desde el origen O = (0,0) hasta el punto A = (2,3) es simplemente escribe como

$\ Overrightarrow {OA} = (2,3).$

En tres espacio euclidiano tridimensional (o R ^3), los vectores se identifican con triples de n??meros correspondientes a las coordenadas cartesianas del punto final (a, b, c). Estos n??meros son a menudo dispuestos en un vector de columna o fila vector, particularmente cuando se trata de matrices , como sigue:

$\ Mathbf {a} = \ begin {} bmatrix un \\ b \\ c \\ \ end {bmatrix}$

$\ Mathbf {a} = (a \ b \ c).$

Otra forma de expresar un vector en tres dimensiones es introducir las tres coordenadas vectores b??sicos, a veces referido como vectores unitarios:

${\ Mathbf e} _1 = (1,0,0), {\ mathbf e} _2 = (0,1,0), {\ mathbf e} _3 = (0,0,1).$

Estos tienen la interpretaci??n intuitiva como vectores de la unidad de longitud que destacan los, Y y eje z x, respectivamente. En t??rminos de estos, cualquier vector en R ³ se puede expresar en la forma:

$(A, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = a {\ mathbf e} _1 + b {\ mathbf e} _2 + c {\ mathbf e} _3.$

Nota: En las clases de introducci??n a la f??sica, estos tres vectores especiales est??n a menudo en lugar denotan i, j, k (o $\ Boldsymbol {\ hat {x}}, \ boldsymbol {\ hat {y}}, \ boldsymbol {\ hat {z}}$ cuando en coordenadas cartesianas ), pero estos enfrentamientos con la notaci??n notaci??n ??ndice y el convenci??n sumatoria de uso com??n en las matem??ticas superiores de nivel, la f??sica y la ingenier??a. En este art??culo se va a optar por utilizar e _1, e _2, e _3.

El uso de vectores unitarios cartesianos $\ Boldsymbol {\ hat {x}}, \ boldsymbol {\ hat {y}}, \ boldsymbol {\ hat {z}}$ como un base en el que representar un vector, no es obligatoria. Los vectores tambi??n pueden expresarse en t??rminos de vectores unitarios cil??ndricos $\ Boldsymbol {\ hat {r}}, \ boldsymbol {\ hat {\ theta}}, \ boldsymbol {\ hat {z}}$ o esf??ricas vectores unitarios $\ Boldsymbol {\ hat {r}}, \ boldsymbol {\ hat {\ theta}}, \ boldsymbol {\ hat {\ phi}}$ . Las dos ??ltimas opciones son m??s convenientes para la soluci??n de problemas que poseen simetr??a esf??rica o cil??ndrica, respectivamente.

La suma y la multiplicaci??n escalar

Igualdad vectorial

Dos vectores se dice que son iguales si tienen la misma magnitud y direcci??n. Sin embargo, si estamos hablando de vectores gratis, luego dos vectores libres son iguales si tienen el mismo punto base y el punto final.

Por ejemplo, el vector e ₁ + 2 + 3 e ₂ e ₃ con el punto base (1,0,0) y el vector e ₁ e 2 ₂ 3 ₃ e con el punto base (0,1,0) son diferentes vectores gratis, pero la misma (desplazamiento) del vector.

Adem??s Vector y resta

Vamos a = a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂ + ₃ e ₃ y b = b ₁ e ₁ + b ₂ e ₂ + b ₃ e _3, donde e _1, e _2, e ₃ son vectores unitarios ortogonales (Nota : s??lo tienen que ser linealmente independientes, es decir, no en paralelo y no en el mismo plano, para que se apliquen estas reglas de suma y resta algebraicas)

La suma de a y b es:

$\ Mathbf {a} + \ mathbf {b} = (a_1 + b_1) \ mathbf {e_1} + (a_2 + b_2) \ mathbf {e_2} + (a_3 + b_3) \ mathbf {e_3}$

La adici??n puede ser representada gr??ficamente mediante la colocaci??n del inicio de la flecha b en la punta de la flecha A, y luego dibujando una flecha desde el inicio de la A a la punta de b. La nueva flecha dibujada representa el vector a + b, como se ilustra a continuaci??n:

Este m??todo, adem??s a veces se llama la regla del paralelogramo porque ayb formar los lados de un paralelogramo y a + b es una de las diagonales. Si a y b son vectores libres, entonces la adici??n est?? definido s??lo si A y B tienen el mismo punto de base, que luego tambi??n ser el punto de base de a + b. Se puede comprobar geom??tricamente que a + b = b + a y (a + b) + c = a + (b + c).

La diferencia de A y B es:

$\ Mathbf {a} - \ mathbf {b} = (a_1-b_1) \ mathbf {e_1} + (a_2-b_2) \ mathbf {e_2} + (a_3-b_3) \ mathbf {e_3}$

La resta de dos vectores puede ser geom??tricamente definida de la siguiente manera: para restar b de una, colocar los extremos de A y B en el mismo punto, y luego dibujar una flecha desde la punta de b a la punta de una. Eso flecha representa el vector a - b, como se ilustra a continuaci??n:

Si a y b son vectores libres, entonces la resta s??lo se define si comparten el mismo punto de base que a su vez tambi??n se convertir?? en el punto base de su diferencia. Esta operaci??n se merece el nombre de "sustracci??n" porque (a - b) + b = a.

Multiplicaci??n escalar

Un vector tambi??n puede ser multiplicado, o re- escala, por un n??mero real r. En el contexto de los vectores espaciales, estos n??meros reales son a menudo llamados escalares (de escala) para distinguirlos de los vectores. La operaci??n de multiplicar un vector por un escalar se llama multiplicaci??n escalar. El vector resultante es:

$r \ mathbf {a} = (ra_1) \ mathbf {e_1} + (ra_2) \ mathbf {e_2} + (ra_3) \ mathbf {e_3}$

Multiplicaci??n escalar de un vector por un factor de 3 se extiende a cabo el vector.

Intuitivamente, la multiplicaci??n por un escalar r estira un vector a cabo por un factor de r. Geom??tricamente, esto puede ser visualizado (al menos en el caso cuando r es un n??mero entero) como la colocaci??n de copias r del vector en una l??nea donde el punto final de un vector es el punto inicial de la siguiente vector.

Si r es negativa, entonces el vector cambia de direcci??n: se voltea alrededor de un ??ngulo de 180 ??. Dos ejemplos (r = -1 y r = 2) se dan a continuaci??n:

El multiplicaciones escalares 2a y -a de un vector de una

Multiplicaci??n escalar es distributiva sobre la suma de vectores en el sentido siguiente: r (a + b) = r b para todos los vectores a y b r a + y todos los escalares r. Tambi??n se puede demostrar que a - b = a + (-1) b.

El conjunto de todos los vectores geom??tricos, junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicaci??n escalar, satisface todos los axiomas de un espacio vectorial . Del mismo modo, el conjunto de todos los vectores unidos con un punto de base com??n forma un espacio vectorial. Aqu?? es donde se origin?? el t??rmino "espacio vectorial".

En la f??sica, escalares tambi??n pueden tener una unidad de medida asociada con ellos. Por ejemplo, la segunda ley de Newton es

${\ Mathbf F} = m {\ mathbf a}$

donde F tiene unidades de fuerza, una tiene unidades de aceleraci??n, y el escalar m tiene unidades de masa. En una posible interpretaci??n f??sica de el diagrama anterior, la escala de aceleraci??n es, por ejemplo, 2 m / s ^2: cm, y que la fuerza de 5 N: cm. As??, una relaci??n de escala de 2,5 kg: 1 se utiliza para la masa. Del mismo modo, si el desplazamiento tiene una escala de 1: 1000 y la velocidad de 0,2 cm: 1 m / s, o equivalente, 2 ms: 1, una relaci??n de escala de 0,5: s se usa para el tiempo.

La longitud y el producto escalar

Longitud de un vector

La longitud o magnitud o norma del vector a se denota por || a || o, menos com??nmente, | a |, que no se debe confundir con el valor absoluto (una "norma" escalar).

La longitud del vector a = a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂ + a ₃ e ₃ en una de tres dimensiones espacio euclidiano , donde E _1, E _2, E ₃ son vectores unitarios ortogonales, se puede calcular con la Norma euclidiana

$\ Left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = \ sqrt {{a_1} ^ 2 + {a_2} ^ 2 + {a_3} ^ 2}$

que es una consecuencia de la teorema de Pit??goras ya que la base de vectores e _1, e _2, e ₃ son vectores unitarios ortogonales.

Esto pasa a ser igual a la ra??z cuadrada de la dot producto del vector por s?? mismo:

$\ Left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = \ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}$

Longitud del vector y las unidades

Si un vector es en s?? mismo espacial, la longitud de la flecha depende de una sin dimensiones escala. Si se representa, por ejemplo una fuerza, la "escala" es de f??sica dimensi??n de longitud / fuerza. Por lo tanto no es t??picamente la consistencia en la escala entre cantidades de la misma dimensi??n, pero por lo dem??s escala proporciones pueden variar; Por ejemplo, si "1 newton" y "5 m" est??n representados con una flecha de 2 cm, las escalas son 1: 250 y 1 m: 50 N, respectivamente. Longitud igual de vectores de diferente dimensi??n no tiene ning??n significado particular, a menos que haya alguna constante de proporcionalidad inherente al sistema que el diagrama representa. Tambi??n longitud de un vector unidad (de dimensi??n longitud, no la longitud / fuerza, etc.) no ha coordinar invariante del sistema importancia.

Vector unitario

Un vector unitario es cualquier vector con una longitud de uno; geom??tricamente, indica una direcci??n, pero no magnitud. Si usted tiene un vector de longitud arbitraria, puede dividirlo por su longitud para crear un vector unitario. Esto se conoce como la normalizaci??n de un vector. Un vector unitario se indica a menudo con un sombrero como en una.

La normalizaci??n de un vector a en un una unidad de vectores

Para normalizar un vector a = [a _1, a _2, a _3], escalar el vector por el rec??proco de su longitud || a ||. Esto es:

$\ Mathbf {\ hat {a}} = \ frac {\ mathbf {a}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |} = \ frac {a_1} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |} \ mathbf {e_1} + \ frac {a_2} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |} \ mathbf {e_2} + \ frac {a_3} {\ left \ | \ mathbf { a} \ right \ |} \ mathbf {e_3}$

Vector Null

El vector null (o cero vector) es el vector con longitud cero. Escrito en coordenadas, el vector es (0,0,0), y com??nmente se denota $\ Vec {0}$ O 0, o simplemente 0. A diferencia de cualquier otro vector, que no tiene una direcci??n, y no se puede normalizar (es decir, no hay vector unitario que es un m??ltiplo del vector nulo). La suma del vector nulo con cualquier vector a es un (es decir, 0 + a = a).

Producto escalar

Art??culo principal: Producto escalar

El producto escalar de dos vectores ayb (a veces llamado el producto interno, o, ya que su resultado es un escalar, el producto escalar) se denota por un ∙ b y se define como:

$\ Mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ cos \ theta$

donde || a || y || b || denota el norma (o longitud) de A y B, y θ es la medida de la ??ngulo entre A y B (v??ase la funci??n trigonom??trica para una explicaci??n de coseno). Geom??tricamente, esto significa que a y b se dibujan con un punto de inicio com??n y luego la longitud de una se multiplica por la longitud de dicho componente de b que apunta en la misma direcci??n que a.

El producto escalar tambi??n puede ser definido como la suma de los productos de los componentes de cada vector:

$\ Mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = (a_1, a_2, \ dots, a_n) \ cdot (b_1, b_2, \ dots, b_n) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ dots + a_n b_n$

donde a y b son vectores de n dimensiones; a _1, a _2, ..., a _n son coordenadas de a; y b _1, b _2, ..., b _n son coordenadas de b.

Esta operaci??n suele ser ??til en la f??sica ; por ejemplo, el trabajo es el producto escalar de la fuerza y desplazamiento.

Producto de la Cruz

El producto cruzado (tambi??n llamado el producto vectorial o producto externo) difiere del producto escalar principalmente en que el resultado del producto vectorial de dos vectores es un vector. Mientras que todo lo que se dijo anteriormente puede generalizarse de una manera directa a m??s de tres dimensiones, el producto cruzado s??lo tiene sentido en tres dimensiones, aunque la siete producto cruzado dimensional es similar en algunos aspectos. El producto cruz, denota a ?? b, es un vector perpendicular tanto a A y B y se define como:

$\ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ sin (\ theta) \, \ mathbf { n}$

donde θ es la medida del ??ngulo entre A y B, y n es un vector unitario perpendicular tanto a y b. El problema con esta definici??n es que hay dos vectores unitarios perpendiculares tanto a b y a.

Una ilustraci??n del producto cruz.

La base de vectores e _1, e _2, e ₃ se llama diestro, si los tres vectores se sit??an como el pulgar, el dedo ??ndice y el dedo medio (apuntando hacia arriba a partir de la palma) de su mano derecha. Gr??ficamente el producto cruzado puede ser representado por la figura de la derecha.

El producto una cruz ?? b se define de manera que a, b, y a ?? b tambi??n se convierte en un sistema de mano derecha (pero tenga en cuenta que A y B no son necesariamente ortogonal). Este es el regla de la mano derecha.

La longitud de un ?? b puede ser interpretado como el ??rea del paralelogramo que tiene a y b como lados.

Para opciones arbitrarias de orientaci??n espacial (es decir, lo que permite zurdo, as?? como diestro sistemas de coordenadas) el producto vectorial de dos vectores es un pseudovector en lugar de un vector (v??ase m??s adelante).

Triple producto escalar

El triple producto escalar (tambi??n llamada la caja o producto triple mixta) no es realmente un nuevo operador, sino una forma de aplicar los otros dos operadores de multiplicaci??n de tres vectores. El producto triple escalar a veces se denota por (a b c) y se define como:

$(\ Mathbf {a} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}).$

Cuenta con tres usos principales. En primer lugar, el valor absoluto del producto caja es el volumen de la paralelep??pedo que tiene bordes que se definen por los tres vectores. En segundo lugar, el producto triple escalar es cero si y s??lo si los tres vectores son linealmente dependientes, que puede ser f??cilmente demostrado por teniendo en cuenta que, para que los tres vectores para no hacer un volumen, todos ellos deben estar en el mismo plano. En tercer lugar, el producto caja es positivo si y s??lo si los tres vectores a, b y c son diestros.

En los componentes (con respecto a una base ortonormal de mano derecha), si los tres vectores son considerados como filas (o columnas, pero en el mismo orden), el producto triple escalar es simplemente el factor determinante de la 3-por-3 matriz teniendo los tres vectores como filas. El triple producto escalar es lineal en las tres entradas y anti-sim??trica en el siguiente sentido:

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$(\ Mathbf {a} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {c})$	$= (\ Mathbf {c} \ \ mathbf {a} \ \ mathbf {b})$
	$= (\ Mathbf {b} \ \ mathbf {c} \ \ mathbf {a})$
	$= - (\ Mathbf {a} \ \ mathbf {c} \ \ mathbf {b})$
	$= - (\ Mathbf {b} \ \ mathbf {a} \ \ mathbf {c})$
	$= - (\ Mathbf {c} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {a})$

Los componentes del vector

Ilustraci??n de los componentes tangencial y normal de un vector a una superficie.

Un componente de un vector es la influencia de ese vector en una direcci??n dada. Los componentes son ellos mismos vectores.

Un vector se describe a menudo por un n??mero fijo de componentes que sintetizan en este vector ??nica y totalmente. Cuando se usa en este papel, la elecci??n de sus direcciones que constituyen depende del sistema de coordenadas particular que se usa, tales como coordenadas cartesianas , coordenadas esf??ricas o coordenadas polares . Por ejemplo, el componente axial de un vector es tal que su componente cuya direcci??n est?? determinada por una de las coordenadas cartesianas ejes, mientras radial y componentes tangenciales se refieren a la radio de rotaci??n de un objeto como su direcci??n de referencia. El primero es paralela a la radio y el ??ltimo es ortogonal a la misma. Ambos permanecen ortogonal al eje de rotaci??n en todo momento. (En dos dimensiones de este requisito se convierte en redundante como eje degenera a un punto de rotaci??n.) La elecci??n de un sistema de coordenadas no afecta a las propiedades de un vector o su comportamiento bajo transformaciones.

Vectores como los derivados direccionales

Un vector tambi??n puede ser definido como una derivada direccional: considerar una funci??n $f (x ^ \ alpha)$ y una curva de $x ^ \ alpha (\ tau)$ . Entonces la derivada direccional de $F$ se define como un escalar

$\ Frac {df} {d \ tau} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ n \ frac {dx ^ \ alpha} {d \ tau} \ frac {\ f parcial} {\ partial x ^ \ alpha}.$

donde el ??ndice $\ Alpha$ es sumada sobre el n??mero apropiado de las dimensiones (por ejemplo, de 1 a 3 en el espacio euclidiano 3-dimensional, de 0 a 3 en el espacio-tiempo de 4 dimensiones, etc.). Entonces considere un vector tangente a $x ^ \ alpha (\ tau)$ :

$t ^ \ alpha = \ frac {dx ^ \ alpha} {d \ tau}.$

Podemos reescribir la derivada direccional en forma diferencial (sin una funci??n determinada $F$ ) Como

$\ Frac {d} {d \ tau} = \ sum_ \ alpha t ^ \ alpha \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ alpha}.$

Por tanto, cualquier derivada direccional puede ser identificado con un vector correspondiente, y cualquier vector puede ser identificado con un derivado direccional correspondiente. Por tanto, podemos definir un vector con precisi??n:

$\ Mathbf {a} \ equiv a ^ \ alpha \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ alpha}.$

Vectores, pseudovectors y transformaciones

Una caracterizaci??n alternativa de vectores espaciales, especialmente en la f??sica, describe vectores como listas de las cantidades que se comportan de cierta manera bajo un transformaci??n de coordenadas. Se requiere un vector para tener componentes que "transforman como las coordenadas" bajo coordinar rotaciones. En otras palabras, si todo el espacio se rotaron, el vector girar??a exactamente de la misma manera. Matem??ticamente, si el sistema de coordenadas se somete a una rotaci??n descrita por una matriz de rotaci??n R, de modo que un vector de coordenadas x se transforma en x '= x R, entonces cualquier otro vector v debe ser transformado de manera similar a trav??s de v' = R v. Este requisito importante es lo que distingue a un vector espacial de cualquier otro triplete de cantidades significativas f??sicamente. Por ejemplo, si v consta de las x, y, y z -Componentes de velocidad , entonces v es un vector porque los componentes de la velocidad transforman bajo coordinar los cambios. Por otra parte, por ejemplo, un triplete formado por la longitud, anchura y altura de una caja rectangular podr??a considerarse como los tres componentes de un resumen de vectores , pero no un vector espacial, ya que la rotaci??n de la caja no se transforma en consecuencia ??stos tres componentes. Los ejemplos de vectores incluyen desplazamiento, velocidad , campo el??ctrico , impulso , fuerza y aceleraci??n .

En el lenguaje de la geometr??a diferencial , el requisito de que los componentes de un vector transforman de acuerdo con la misma matriz de la transici??n de coordenadas es equivalente a la definici??n de un vector para ser una tensor de rango uno contravariante. Sin embargo, en la geometr??a diferencial y otras ??reas de las matem??ticas como teor??a de la representaci??n, los "coordinar transiciones" no tiene por qu?? limitarse a las rotaciones. Otras nociones de vector espacial corresponden a diferentes opciones de grupo de simetr??a.

Como un caso particular en el que el grupo de simetr??a es importante, todos los ejemplos anteriores son vectores que "transforman como las coordenadas" bajo tanto adecuada y rotaciones inadecuadas. Un ejemplo de una rotaci??n impropios es una reflejo en el espejo. Es decir, estos vectores se definen de una manera tal que, si todo el espacio se volte?? a trav??s de un espejo (o de lo contrario sometidos a una rotaci??n incorrecta), que ser??a vector voltear alrededor exactamente de la misma manera. Vectores con esta propiedad se llaman vectores verdaderos o vectores polares. Sin embargo, otros vectores se definen de una manera tal que, al mover de un tir??n a trav??s de un espejo, el vector voltea de la misma manera, pero tambi??n adquiere un signo negativo. Estos se llaman pseudovectors (o vectores axiales), y m??s com??nmente se producen como productos cruzados de vectores verdaderos.

Un ejemplo de un vector axial es el momento angular . El conducir en un coche , y mirando hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un momentum angular del vector que apunta hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia el lado izquierdo y derecho del coche, el reflejo de este impulso de vector angular puntos a la derecha, pero el vector momento angular real de la rueda sigue apuntando a la izquierda, lo que corresponde a la menos firmar. Otros ejemplos de pseudovectors incluyen campo magn??tico, par, o m??s en general, cualquier producto vectorial de dos vectores (true).

Esta distinci??n entre vectores y pseudovectors es a menudo ignorado, pero se convierte en importante para estudiar la simetr??a propiedades. Ver paridad (f??sica).

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