Valor absoluto

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En matemáticas , el valor absoluto (o módulo que es América para una pequeña medida) de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo . Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de ambos 3 y -3. En la programación de computadoras , la función matemática utilizada para realizar este cálculo se da generalmente el nombre abs ().

Generalizaciones del valor absoluto para los números reales se producen en una amplia variedad de ajustes matemáticos. Por ejemplo un valor absoluto también se define para los números complejos , la cuaterniones, anillos ordenados, campos y espacios vectoriales . El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

La gráfica de la función valor absoluto de los números reales.

Los números reales

Para cualquier número real de un valor absoluto o módulo de un se denota por | a | y se define como

$| a | = \ begin {casos} a, y \ mbox {si} a \ ge 0 \\ -a, y \ mbox {si} a <0. \ end {casos}$

Como puede verse a partir de la definición anterior, el valor absoluto de a es siempre ya sea positivo o cero , pero nunca negativo .

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es la distancia a lo largo del línea número real de ese número de cero, y más en general el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, la noción de un resumen función de distancia en matemáticas puede ser visto como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver "Distancia" a continuación).

La siguiente proposición, da una identidad que se utiliza a veces como una alternativa (y equivalente) definición del valor absoluto:

Proposición 1:

$| A | = \ sqrt {a ^ 2}$

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales:

Proposición 2:

$\| A \| \ ge 0$	No negatividad
$\| A \| = 0 \ si y sólo si a = 0$	Positivo-definitud
$\| Ab \| = \| a \|\| b \| \,$	Multiplicativeness
$\| A + b \| \ le \| a \| + \| b \|$	Subaditividad

Otras propiedades importantes del valor absoluto incluyen:

Propuesta 3:

$\| -a \| = \| A \| \,$	Simetría
$\| A - b \| = 0 \ si y sólo si a = b$	Identidad de los indiscernibles (equivalente a-definitud positivo)
$\| A - b \| \ le \| a - c \| + \| c - b \|$	La desigualdad del triángulo (equivalente a subaditividad)
$\| A / b \| = \| a \| / \| b \| \ mbox {(si b} \ ne 0) \,$	La preservación de la división (equivalente a multiplicativeness)
$\| A-b \| \ ge \|\| a \| - \| b \|\|$	(Equivalente a subaditividad)

Otros dos desigualdades útiles son:

$| A | \ le b \ iff -b \ le un \ le b$

$| A | \ ge b \ iff un \ le -b \ mbox {o} b \ le un$

Lo anterior se utilizan a menudo en la solución de las desigualdades; por ejemplo:

$\| X-3 \| \ le 9$	$\ Iff -9 \ le x-3 \ le 9$
	$\ Iff -6 \ le x \ le 12$

Los números complejos

El valor absoluto de un número complejo z es la distancia r desde el origen z. También se ve en la imagen que z y Z tienen el mismo valor absoluto.

Dado que los números complejos no son ordenado, la definición dada anteriormente para el valor absoluto real no se puede generalizar directamente para un número complejo. Sin embargo, la identidad dada en la Proposición 1:

$| A | = \ sqrt {a ^ 2}$

puede ser visto como motivar a la siguiente definición.

Para cualquier número complejo

$z = x + iy, \,$

donde x e y son números reales, el valor absoluto o el módulo de z se denota | z | y se define como

$| Z | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}.$

De ello se deduce que el valor absoluto de un número real x es igual a su valor absoluto considerado como un número complejo desde:

$| X + i0 | = \ sqrt {x ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {x ^ 2} = | x |.$

Similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende de la teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo es la distancia en el plano complejo de ese número complejo a partir de la origen, y, más generalmente, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre esos dos números complejos.

Los complejos de valores acciones absolutos todas las propiedades del valor absoluto de bienes dados en proposiciones 2 y 3 anteriores. Además, si

$z = x + i y = r (\ cos \ phi + i \ pecado \ phi) \,$

$\ overline {z} = x - iy$

es el conjugado complejo de z, a continuación, se ve fácilmente que

$\ Begin {align} | z | y = r, \\ | z | y = | \ overline {z} | \ end {align}$

$| Z | = \ sqrt {z \ overline {z}},$

con la última fórmula es el complejo análogo de la Propuesta 1 mencionado anteriormente en el caso real.

Desde los reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo multiplicación, podemos pensar en valor absoluto como endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

Funciones de valor absoluto

La verdadera función valor absoluto es continua en todas partes. Es diferenciable en todas partes excepto para x = 0. Es monótonamente decreciente en el intervalo (-∞, 0] y monótonamente creciente en el intervalo [0, ∞). Dado un número real y su negativa tiene el mismo valor absoluto, es un incluso funcionar, y no es por lo tanto invertible.

El complejo de la función valor absoluto es continua en todas partes pero (complejo) diferenciable en ninguna parte (Una forma de ver esto es para demostrar que no obedece al Cauchy-Riemann ecuaciones).

Tanto las funciones reales y complejos son idempotente.

Es un función no lineal.

Anillos ordenados

La definición de valor absoluto dado para números reales anterior se puede extender fácilmente a cualquier anillo de pedida. Es decir, si a es un elemento de un anillo R ordenado, entonces el valor absoluto de un, denotado por | a |, se define como:

$| A | = \ begin {casos} a, y \ mbox {si} a \ ge 0 \\ -a, y \ mbox {si} a <0, \ end {casos}$

donde - a es la inverso aditivo de un, y 0 es el aditivo elemento de identidad.

Distancia

El valor absoluto está estrechamente relacionado con la idea de la distancia. Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia de ese número al origen, a lo largo de la línea número real, para los números reales, o en el plano complejo, para los números complejos, y más en general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

El estandar Distancia euclidiana entre dos puntos

$a = (a_1, a_2, \ cdots, a_n)$

$b = (b_1, b_2, \ cdots, b_n)$

en euclidiano n-espacio se define como:

$\ Sqrt {(a_1-b_1) ^ 2 + (a_2-b_2) ^ 2 + \ cdots + (a_n-b_n) ^ 2}.$

Esto puede ser visto como una generalización de | a - b |, ya que si A y B son reales, a continuación, por la Propuesta 1,

$| A - b | = \ sqrt {(a - b) ^ 2}$

mientras que si

$a = a_1 + i A_2 \,$

$b = b_1 + i b_2 \,$

son números complejos, a continuación,

$\| A - b \| \,$	$= \| (A_1 + i A_2) - (b_1 + i B_2) \| \,$
	$= \| (A_1 - b_1) + i (a_2 - b_2) \| \,$
	$= \ Sqrt {(a_1 - b_1) ^ 2 + (a_2 - b_2) ^ 2}$

Lo anterior muestra que la distancia "valor absoluto" para los números reales o los números complejos, de acuerdo con la distancia euclidiana estándar heredan como un resultado de considerar como el único y espacios euclídeos de dos dimensiones, respectivamente.

Las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: no negatividad, la identidad de los indiscernibles, la simetría y la desigualdad del triángulo dado en proposiciones 2 y 3 anteriores, se pueden ver a motivar a la noción más general de una función de distancia como sigue:

Una función real d en un conjunto X × X se llama una función de distancia (o una métrica) en X, siempre que cumplan las siguientes cuatro axiomas:

$d (a, b) \ ge 0$	No negatividad
$d (a, b) = 0 \ si y sólo si a = b$	Identidad de los indiscernibles
$d (a, b) = d (b, a) \,$	Simetría
$d (a, b) \ le d (a, c) + d (c, b)$	La desigualdad del triángulo

Derivados

El derivado de la verdadera función valor absoluto es el función signo, sgn (x), que se define como

$\ Sgn (x) = \ frac {x} {| x |},$

para x ≠ 0. La función valor absoluto no es derivable en x = 0. Cuando la función de valor absoluto de un número real devuelve un valor sin respeto a su signo, la función signo devuelve el signo de un número sin respeto a su valor. Por lo tanto x = sgn (x) abs (x). La función signo es una forma de la Función escalón de Heaviside utilizado en el procesamiento de señales, definido como:

$u (x) = \ begin {casos} 0, y x <0 \\ \ frac {1} {2}, y x = 0 \\ 1, y x> 0, \ end {casos}$

donde el valor de la función Heaviside en cero es convencional. Así que para todos los puntos distintos de cero en el línea número real,

$u (x) = \ frac {\ sgn (x) 1} {2}. \,$

La función de valor absoluto no tiene concavidad en cualquier punto, la función de signo es constante en todos los puntos. Por lo tanto la segunda derivada de | x | con respecto a x es cero en todas partes excepto cero, donde está definido.

La función valor absoluto también es integrable. Su antiderivada es

$\ Int | x | dx = \ frac {x | x |} {2} + C.$

Campos

Las propiedades fundamentales del valor absoluto para los números reales dadas en la Propuesta 2 anterior, se pueden utilizar para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, como sigue.

Una función v valores reales-en un campo F se denomina valor absoluto (también un módulo, la magnitud, el valor o la valoración) si cumple los siguientes cuatro axiomas:

$v (a) \ ge 0$	No negatividad
$v (a) = 0 \ si y sólo si a = \ mathbf {0}$	Positivo-definitud
$v (ab) = v (a) v (b) \,$	Multiplicativeness
$v (a + b) \ le v (a) + v (b)$	Subaditividad o la desigualdad triangular

Donde 0 denota el aditivo elemento de identidad de F. Se deduce de definiteness-positivo y multiplicativeness que v (1) = 1, donde 1 indica el elemento de identidad multiplicativa de f. Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si v es un valor absoluto en F, entonces la función d de F × F, definido por d (a, b) = v (a - b), es una métrica y los siguientes son equivalentes:

d satisface las desigualdad ultrametric d (x, y) <max {d (x, z), d (y, z)}.

$\ Grande \ {v \ Grande ({\ estilo de texto \ sum_ {k = 1} ^ n} \ mathbf {1} \ Grande): n \ in \ mathbb {N} \ grande \}$ es acotada en R.

$v \ Grande ({\ estilo de texto \ sum_ {k = 1} ^ n} \ mathbf {1} \ Grande) \ le 1 \ text {} para cada n \ in \ mathbb {N}.$

$v (a) \ le 1 \ Rightarrow v (1 + a) \ le 1 \ text {} para todos a \ en F.$

$v (a + b) \ le \ mathrm {max} \ {v (a), v (b) \} \ text {} para todo a, b \ en F.$

Un valor absoluto que satisface cualquier (por lo tanto todas) de las condiciones anteriores se dice que es no de Arquímedes, de lo contrario, se dice que es Arquímedes.

Los espacios vectoriales

Una vez más las propiedades fundamentales del valor absoluto para los números reales pueden ser utilizados, con una ligera modificación, para generalizar la noción de un espacio vector arbitrario.

Una función real || · || en un espacio vectorial V sobre un campo F, se llama un valor absoluto (o más generalmente una norma) si satisface los siguientes axiomas:

Para todo a en F, y v, u en V,

$\ \| \ Mathbf {v} \ \| \ ge 0$	No negatividad
$\ \| \ Mathbf {v} \ \| = 0 \ iff \ mathbf {v} = 0$	Positivo-definitud
$\ \| A \ mathbf {v} \ \| = \| a \| \ \| \ mathbf {v} \ \|$	Homogeneidad positiva o escalabilidad positivo
$\ \| \ Mathbf {v} + \ mathbf {u} \ \| \ le \ \| \ mathbf {v} \ \| + \ \| \ mathbf {u} \ \|$	Subaditividad o triángulo desigualdad

La norma de un vector también se llama su longitud o magnitud.

En el caso de espacio euclídeo R ^n, la función definida por

$\ | (X_1, x_2, \ cdots, x_n) \ | = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} (x_i) ^ 2}$

es una norma llamada Norma euclidiana. Cuando los números reales R son considerados como el espacio unidimensional vector R ¹ , el valor absoluto es una norma, y es el p-norma para cualquier p. De hecho, el valor absoluto es la norma "sólo" en ^R1, en el sentido de que, para cada norma || · || en R ^1, || x || = || 1 || · | x |. El valor absoluto complejo es un caso especial de la norma en una espacio con producto interno. Es idéntica a la norma euclidiana, si el plano complejo se identifica con el plano euclidiano R ^2.

Algoritmos

En el lenguaje de programación C , el abs() , labs() , llabs() (en C99), fabs() , fabsf() , y fabsl() funciones calculan el valor absoluto de un operando. Codificación de la versión número entero de la función es trivial, ignorando el caso límite donde el entero más grande de entrada negativo es:

 int abs (int i)
 {
     si (i <0)
         volver -i;
     más
         volver i;
 }

La versiones de punto flotante son más complicado, ya que tienen que lidiar con los códigos especiales para infinitos y no-a-número.

La función de valor absoluto en Fortran, Matlab, y GNU Octave es abs . Maneja entero, real, así como los números complejos.

Uso lenguaje ensamblador, es posible tomar el valor absoluto de una registrarse en sólo tres instrucciones (ejemplo que se muestran para un registro de 32 bits en un arquitectura x86, Intel sintaxis):

 CDQ
 xor eax, edx
 sub eax, edx

cdq extiende el bit de signo de eax en edx . Si eax es no negativo, entonces edx se convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen ningún efecto, dejando eax sin cambios. Si eax es negativo, entonces edx se convierte en 0xFFFFFFFF, o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten entonces en un inversión de complemento a dos, dándole el valor absoluto del valor negativo en eax .

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$\| A - b \| \,$	$= \| (A_1 + i A_2) - (b_1 + i B_2) \| \,$
	$= \| (A_1 - b_1) + i (a_2 - b_2) \| \,$
	$= \ Sqrt {(a_1 - b_1) ^ 2 + (a_2 - b_2) ^ 2}$