Número Real

En matemáticas , los números reales pueden ser descritos de manera informal como números que se pueden dar por una infinita representación decimal, como 2,4871773339 .... Los números reales incluyen tanto los números racionales , como el 42 y -23 / 129 y los números irracionales , tales como π y la raíz cuadrada de 2, y puede ser representado como puntos a lo largo de un tiempo infinitamente largo numero de linea.

Una definición más rigurosa de los números reales fue uno de los acontecimientos más importantes del siglo 19 las matemáticas. Definiciones populares en uso hoy en día incluyen clases de equivalencia de Secuencias de Cauchy de números racionales, Cortes de Dedekind, una versión más sofisticada de "representación decimal", y una definición axiomática de los números reales como la única completo Arquímedes ordenado campo.

Los números reales de nombres surgieron para distinguirlas de lo que se llamó entonces los números imaginarios (y ahora los números complejos ).

Propiedades básicas

Un número real puede ser racional o irracional ; cualquiera de los dos algebraica o trascendental; y también positivo, negativo o cero .

Bienes medida números cantidades continuas. Ellos pueden, en teoría, ser expresados por representaciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal; estas son a menudo representados en la misma forma que 324,823211247 ... El elipsis (tres puntos) indican que todavía habría más dígitos para venir.

Más formalmente, los números reales tienen las dos propiedades básicas de ser un campo ordenado, y que tiene la propiedad del límite superior menos. La primera dice que los números reales comprenden una campo, con la suma y la multiplicación y división de números distintos de cero, lo que puede ser totalmente ordenado en una recta numérica de una manera compatible con la suma y la multiplicación. La segunda dice que si un conjunto no vacío de números reales tiene una límite superior, entonces tiene una extremo superior. Estos dos juntos definen los números reales por completo, y permite que sus otras propiedades a deducir. Por ejemplo, podemos probar a partir de estas propiedades que todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene una raíz real, y que si se agrega la raíz cuadrada de -1 a los números reales, la obtención de los números complejos , el resultado es algebraicamente cerrado.

Usos

Las mediciones en las ciencias físicas son casi siempre concebidos como aproximaciones a los números reales. Mientras que los números usados para este propósito son generalmente fracciones decimales que representan números racionales, escrito en términos decimales sugiere que son una aproximación a un número real subyacente teórico.

Un número real se dice que es computable si existe un algoritmo que produce sus dígitos. Porque no sólo son numerable de algoritmos, pero un número incontable de reales, la mayoría de los números reales no son computables. Algunos constructivistas aceptan la existencia de sólo los reales que son computables. El conjunto de números definibles es más amplio, pero todavía sólo contable.

Computadoras sólo pueden aproximar la mayoría de los números reales. Más comúnmente, pueden representar un cierto subconjunto de los números racionales con exactitud, ya sea a través números de punto flotante o números de punto fijo, y estos números racionales se utilizan como una aproximación para otros valores reales cercanas. Precisión arbitraria es un método para representar números racionales arbitrarias, limitado solamente por disponibles memoria, pero más comúnmente se utiliza un número fijo de bits de precisión determinados por el tamaño de la registros del procesador. Además de estos valores racionales, sistemas de álgebra computacional son capaces de tratar muchos (contables) números irracionales exactamente almacenando una descripción algebraica (como "(2) sqrt") en lugar de su aproximación racional. Tenga en cuenta que un par de lenguajes de programación utilizan "real" para describir su numérico principal tipo de datos, tales como AppleScript.

Los matemáticos usan el símbolo R (o, alternativamente, , La carta " R "en pizarra negrita, Unicode ℝ) para representar el conjunto de todos los números reales. La notación R ⁿ se refiere a un n - espacio dimensional con coordenadas reales; por ejemplo, un valor de R ³ consta de tres números reales y especifica una ubicación en el espacio 3-dimensional.

En matemáticas, los bienes se usa como adjetivo, lo que significa que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo verdadera matriz , bienes polinomio y reales Acuéstese álgebra. Como sustantivo, el término se utiliza casi estrictamente en referencia a los números reales, ellos mismos (por ejemplo, el "conjunto de todos los números reales").

Historia

Fracciones vulgares habían sido utilizados por el Egipcios alrededor 1000 aC; la Védica " Sulba Sutras "(" regla de los acordes "en sánscrito ), ca. 600 aC, incluye lo que puede ser el primer «utilización» de los números irracionales .

Alrededor 500 aC, los griegos matemáticos dirigidos por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales , en particular, la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.

En las 18a y decimonoveno siglos había mucho trabajo en irracional y números trascendentes. Lambert (1761) dio la primera prueba defectuoso que π no puede ser racional, Legendre (1794) completó la prueba, y demostró que π no es la raíz cuadrada de un número racional. Ruffini (1799) y Pruebas Abel (1842), ambos construidos de Abel-Ruffini teorema: que el general ecuaciones de quinto grado o superior no pueden ser resueltos por una fórmula general que incluye únicamente las operaciones aritméticas y raíces.

Evariste Galois (1832) desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelto por los radicales que dieron lugar al campo de la teoría de Galois . Joseph Liouville (1840) mostró que ni correo ni e ² pueden ser la raíz de un número entero ecuación de segundo grado , y luego estableció la existencia de números trascendentales, la prueba siendo desplazado posteriormente por Georg Cantor (1873). Charles Hermite (1873) demostró por primera vez que e es trascendental, y Ferdinand von Lindemann (1882), demostró que π es trascendental. Prueba de Lindemann se simplifica mucho por Weierstrass (1885), aún más por David Hilbert (1893), y finalmente se ha hecho elemental por Hurwitz y Paul Albert Gordan.

El desarrollo del cálculo en los años 1700 utiliza todo el conjunto de los números reales sin haberlas definido limpiamente. La primera definición rigurosa fue dada por Georg Cantor en 1871 . En 1874 se demostró que el conjunto de todos los números reales es uncountably infinita, pero el conjunto de todos números algebraicos es infinito numerable. Contrariamente a la creencia generalizada, su método no era su famoso argumento diagonal, que publicó en 1891.

Definición

Construcción de los números racionales

Los números reales pueden ser construidos como una realización de los números racionales de tal manera que una secuencia definida por una decimal o binario de expansión como {3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...} converge a un único número real. Para obtener más información y otras construcciones de los números reales, consulte construcción de los números reales.

Enfoque axiomático

Sea R denota el conjunto de todos los números reales. Entonces:

• El conjunto R es una campo, lo que significa que además y multiplicación están definidas y tienen las propiedades habituales.
• El campo R es ordenó, lo que significa que hay una total de ≥ orden tal que, para todos los números reales x, y y z:
  • si x ≥ y entonces x + z ≥ y + z;
  • si x ≥ 0 ey ≥ 0 entonces xy ≥ 0.
• El orden es -Dedekind completa; es decir, cada no vacío subconjunto S de R con un límite superior en R tiene una unido (también llamado supremo) superior menos en R.

La última propiedad es lo que diferencia a los reales de los números racionales . Por ejemplo, el conjunto de los racionales con plaza de menos de 2 tiene un límite superior racional (por ejemplo, 1,5), pero no menos racional límite superior, porque la raíz cuadrada de 2 no es racional.

Los números reales se especifican únicamente por las propiedades anteriores. Más precisamente, dado cualquier dos campos ordenados Dedekind-completos R ₁ y R _2, existe un campo único isomorfismo de R ₁ a R _2, lo que nos permite pensar en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático.

Por otra axiomatización de R, ver Axiomatización de Tarski de los reales.

Propiedades

Lo completo

La razón principal para la introducción de los reales es que los reales contienen todos los límites . Más técnicamente, los reales son completa (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes, lo cual es una sensación diferente a la integridad Dedekind de la orden en la sección anterior). Esto significa lo siguiente:

Una secuencia (x _n) de números reales se denomina Secuencia de Cauchy si para cualquier ε> 0 existe un entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x _n - _m x | es menor que ε para todo n y m, que son ambos mayores que N. En otras palabras, una secuencia es una Sucesión de Cauchy si sus elementos x _n eventualmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca uno del otro.

Una secuencia (x _n) converge al límite de x si para cualquier ε> 0 existe un entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x _n - x | es menor que ε siempre que n es mayor que N. En otras palabras, una secuencia tiene un límite de x si sus elementos eventualmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca de x.

Es fácil ver que cada sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Un hecho importante acerca de los números reales es que el contrario también es cierto:

Cada secuencia de Cauchy de números reales es convergente.

Es decir, los reales están completos.

Tenga en cuenta que los números racionales no son completos. Por ejemplo, la secuencia (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) es Cauchy pero no converge a un número racional. (En los números reales, en contraste, converge a la raíz cuadrada de 2.)

La existencia de límites de sucesiones de Cauchy es lo que hace el cálculo de trabajo y es de gran utilidad práctica. La prueba numérica estándar para determinar si una secuencia tiene un límite es para probar si es una secuencia de Cauchy, como el límite normalmente no se conoce de antemano.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial

converge a un número real porque por cada x las sumas

se puede hacer arbitrariamente pequeño eligiendo N suficientemente grande. Esto demuestra que la secuencia es de Cauchy, así que sabemos que la sucesión converge incluso si el límite no se conoce de antemano.

"El campo completo ordenado"

Los números reales son a menudo descrito como "el campo pedido completo", una frase que se puede interpretar de varias maneras.

En primer lugar, una orden puede ser -retículo completo. Es fácil ver que hay un campo ordenado puede ser enrejado completo, ya que puede tener ningún elemento más grande (dada cualquier elemento z, z + 1 es más grande), por lo que este no es el sentido que se quiere decir.

Además, una orden puede ser Dedekind-completa, tal como se define en la sección de axiomas. El resultado de unicidad al final de esa sección justifica usando la palabra "el" "campo completo ordenado" en la frase cuando este es el sentido de "completo" que se quiere decir. Este sentido de integridad está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales de los cortes de Dedekind, ya que la construcción se inicia a partir de un campo ordenado (los racionales) y luego forma la Dedekind-realización de la misma en una forma estándar.

Estas dos nociones de integridad ignoran la estructura exterior. Sin embargo, una grupo ordenado (en este caso, el grupo aditivo del campo) define una estructura uniforme y estructuras uniformes tienen una noción de integridad (topología); la descripción en la sección de Integridad de arriba es un caso especial. (Nos referimos a la noción de integridad en espacios uniformes en lugar de la noción relacionada y más conocido por espacios métricos, ya que la definición de espacio métrico se basa en que ya tiene una caracterización de los números reales.) No es cierto que R es el campo ordenado sólo se completa de manera uniforme, pero es la única completa uniformemente Campo de Arquímedes, y de hecho a menudo se oye la frase "campo de Arquímedes completa" en vez de "completo campo ordenó". Dado que puede ser probado que cualquier campo de Arquímedes completa uniformemente también debe ser Dedekind-completa (y viceversa, por supuesto), lo que justifica el uso de "la" en la frase "el campo de Arquímedes completa". Este sentido de integridad está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales de secuencias de Cauchy (la construcción lleva a cabo en su totalidad en este artículo), ya que comienza con un campo de Arquímedes (los racionales) y forma la terminación uniforme de la misma en un estándar manera.

Pero el uso original de la frase "campo de Arquímedes completa" era por David Hilbert , que significaba todavía algo más por ella. Él quiso decir que los números reales forman el campo de Arquímedes más grande en el sentido de que todos los demás campos de Arquímedes es un subcampo de la R. Así R está "completo" en el sentido de que nada más se puede añadir a ella sin que sea ya no es un campo de Arquímedes. Este sentido de integridad está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales de números surrealistas, ya que la construcción comienza con una clase adecuada que contiene todos los campos ordenado (los surreals) y luego selecciona del mismo el mayor subcampo de Arquímedes.

Propiedades avanzadas

Los reales son incontable; es decir, no son estrictamente más números reales que los números naturales , a pesar de que ambos conjuntos son infinitos . De hecho, la cardinalidad de los reales es igual a la del conjunto de subconjuntos de los números naturales, y Argumento diagonal de Cantor afirma que la cardinalidad de este último conjunto es estrictamente mayor que la cardinalidad de N. Dado que sólo un conjunto numerable de números reales puede ser algebraica, casi todos los números reales son trascendental. La no existencia de un subconjunto de los reales con cardinalidad estrictamente entre el de los enteros y los reales se conoce como el hipótesis del continuo. La hipótesis del continuo puede ser probada ni ser refutada; es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos .

Los números reales forman una espacio métrico: la distancia entre X e Y se define como el valor absoluto | x - y |. En virtud de ser una totalmente ordenado conjunto, sino que también llevan un ordenar topología; la topología derivada de la métrica y la derivada de la orden son idénticos. Los reales son un contráctil (de ahí conectado y simplemente conexo), espacio métrico separable de dimensión 1, y se denso en todas partes. Los números reales son localmente compacto pero no compacta . Hay varias propiedades que especifican ellos únicamente; por ejemplo, todos sin límites, conectado, y separable topologías orden son necesariamente homeomorfo a los reales.

Cada número real no negativo tiene una raíz cuadrada en R, y ningún número negativo hace. Esto demuestra que el orden en R está determinada por su estructura algebraica. Además, todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz: estas dos propiedades hacen R la principal ejemplo de un campo real cerrado. Demostrando este es el primer medio de una prueba de la teorema fundamental del álgebra.

Los reales llevan una canónica medir, la Lebesgue medida, que es la Medida de Haar en su estructura como una grupo topológico normalizó tal que la intervalo unidad [0,1] tiene la medida 1.

El axioma del supremo de los reales se refiere a subconjuntos de los números reales y por lo tanto es una afirmación lógica de segundo orden. No es posible caracterizar los reales con lógica de primer orden solo: la Löwenheim-Skolem teorema implica que existe un subconjunto denso numerable de los números reales que satisfacen exactamente las mismas frases en lógica de primer orden como los propios números reales. El conjunto de números hiperreales cumple las mismas primeras frases de orden como R. Campos ordenados que satisfagan las mismas frases de primer orden como el R se llaman modelos no estándar de R. Esto es lo que hace trabajo de análisis no estándar; demostrando una declaración de primer orden en algún modelo no estándar (que puede ser más fácil de lo que demuestra que en I), sabemos que la misma declaración también debe ser verdad de R.

Las generalizaciones y extensiones

Los números reales pueden generalizarse y extenderse en varias direcciones diferentes:

• Los números complejos contienen soluciones a todos los polinomios ecuaciones y por lo tanto son una algebraicamente campo cerrado a diferencia de los números reales. Sin embargo, los números complejos no son una campo ordenado.
• La sistema de números reales affinely extendida añade dos elementos + ∞ y -∞. Es un espacio compacto . Ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo; todavía tiene una total de la orden; Por otra parte, es una enrejado completo.
• La línea descriptivo verdadero agrega sólo un valor ∞. También es un espacio compacto. Una vez más, ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo. Sin embargo, se permite la división de un elemento distinto de cero por cero. No se ordenó más.
• La línea real a largo pega juntos ℵ ₁ * + ℵ ₁ copias de la recta real más un solo punto (en este caso ℵ ₁ * denota el orden invertido de ℵ ₁₎ para crear un conjunto ordenado que es "localmente" idénticos a los números reales, pero de alguna manera más largo; por ejemplo, hay una incrustación orden conservación de ℵ ₁ en la línea real de largo pero no en los números reales. La línea real de largo es el mayor conjunto ordenado que es Arquímedes completa y localmente. Al igual que con los dos ejemplos anteriores, este conjunto ya no es un campo o grupo aditivo.
• Campos ordenados extienden los reales son la números hiperreales y la números surrealistas; ambos contener números infinitesimales e infinitamente grandes y por lo tanto no son Arquímedes.
• Operadores autoadjunto en un Espacio de Hilbert (por ejemplo, complejos cuadrados autoadjuntos matrices ) generalizar los reales en muchos aspectos: se pueden solicitar (aunque no totalmente ordenado), que estén completos, todos sus valores propios son reales y forman un verdadero álgebra asociativa. Operadores definidas positivas corresponden a los reales positivos y operadores normales corresponden a los números complejos.

"reales" en la teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos , en concreto la teoría de conjuntos descriptiva del Espacio de Baire se utiliza como un sustituto para los números reales ya que este último tiene algunas propiedades topológicas (connectedness) que son un inconveniente técnico. Elementos de espacio de Baire se conocen como "reales".