Secuencia

Para otros sentidos de esta palabra, consulte

En matemáticas , una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinito) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, ordenar las cosas, y los mismos elementos exactos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia.

Por ejemplo, (C, R, Y) es una secuencia de letras que difiere de (Y, C, R), ya que las cuestiones de pedido. Las secuencias se pueden finito, como en este ejemplo, o infinita , tal como la secuencia de todos incluso positivos enteros (2, 4, 6, ...).

Una secuencia infinita de números reales (en azul). Esta secuencia no está aumentando, ni decreciente, ni convergente. Sin embargo, está limitada.

Ejemplos y notación

Hay varias y muy diferentes nociones de secuencias en las matemáticas, algunas de las cuales] ct un Una secuencia es un contenedor de tamaño variable cuyos elementos están dispuestos en un orden estrictamente lineal. Es compatible con la inserción y extracción de elementos. Refinamiento de Forward Container, defecto Urbanizable Asociadas tipos Ninguna, excepto para los de adelante Container. Notación de tipo XA que es un modelo de la secuencia a, b objeto de tipo XT El tipo de valor de X t objeto de tipo T p, q objeto de tipo X :: iterador n objeto de un tipo convertible a X :: size_type

Definiciones Si una es una secuencia, entonces p es un iterador válido en un si es un (no singular) iterador válido que es accesible desde a.begin (). Si una es una secuencia, a continuación, [p, q) es un rango válido en un si p y q son iteradores válidos en una y si q es accesible desde p.

Expresiones válidas no re cubiertos por las notaciones introducidas a continuación.

Una secuencia puede ser denotado (a _1, a _2, ...). Por falta, también se utiliza la notación (a _n).

Una definición más formal de una secuencia finita con términos en un conjunto S es una función a partir de {1, 2, ..., n} a S para algunos n ≥ 0. Una secuencia infinita en S es una función a partir de {1, 2, ...} (el conjunto de números naturales sin 0) a S.

Las secuencias también pueden empezar desde 0, por lo que el primer término de la sucesión es entonces un _0.

Una secuencia de una longitud fija n también se llama n tupla. Secuencias finitas incluyen la secuencia vacía () que no tiene elementos.

Una función de todos los números enteros en un conjunto se denomina a veces una secuencia de bi-infinito, ya que puede ser pensado como una secuencia indexado por números enteros negativos injertadas en una secuencia indexado por números enteros positivos.

Tipos y propiedades de las secuencias

La subsecuencia de una secuencia dada es una secuencia formada a partir de la secuencia dada mediante la supresión de algunos de los elementos sin alterar las posiciones relativas de los elementos restantes.

Si los términos de la secuencia son un subconjunto de una conjunto ordenado, a continuación, una secuencia monótona creciente es uno para el que cada término es mayor que o igual a la expresión antes de que; si cada término es estrictamente mayor que el que le precede, la secuencia se llama estrictamente monótona creciente. Una secuencia monótona decreciente se define de manera similar. Cualquier secuencia de cumplimiento de la propiedad de monotonía se llama monótona o monótono. Este es un caso especial de la noción más general de función monótona.

Los términos no decreciente y no creciente se utilizan con el fin de evitar cualquier posible confusión con estrictamente creciente y estrictamente decreciente, respectivamente. Si los términos de una secuencia son enteros , entonces la secuencia es un secuencia de enteros. Si los términos de una secuencia son polinomios , entonces la secuencia es un secuencia polinómica.

Si S está dotado de una topología , a continuación, se hace posible tener en cuenta la convergencia de una secuencia infinita en S. Estas consideraciones implican el concepto de la límite de una secuencia.

Secuencias en el análisis

En el análisis , cuando se habla de secuencias, uno generalmente considerar secuencias de la forma

o

que es decir, secuencias infinitas de elementos indexados por los números naturales .

Puede ser conveniente tener la secuencia de arranque con un índice diferente de 1 ó 0. Por ejemplo, la secuencia definida por x _n = 1 / log (n) se define solamente para n ≥ 2. Cuando se habla de tales secuencias infinitas, por lo general es suficiente (y no cambia mucho para la mayoría de las consideraciones) para asumir que los miembros de la secuencia se definen al menos para todos los índices lo suficientemente grande, es decir, mayor que algún dado N).

El tipo más elemental de secuencias son los numéricos, es decir, secuencias de reales o números complejos . Este tipo se puede generalizar a las secuencias de elementos de algún espacio vectorial . En el análisis, los espacios vectoriales considerados son a menudo espacios de funciones. Incluso de manera más general, se puede estudiar secuencias con elementos en algunos espacio topológico.

Serie

La suma de los términos de una secuencia es una serie. Más precisamente, si (x _1, x _2, x _3, ...) es una secuencia, se puede considerar la secuencia de sumas parciales (S _1, S _2, S _3, ...), con

Formalmente, este par de secuencias comprende la serie con los términos x _1, x _2, x _3, ..., que se denota como

Si la secuencia de sumas parciales es convergente, también se utiliza la notación de suma infinita de su límite. Para más detalles, consulte serie.

Secuencias infinitas en ciencias de la computación teórica

Secuencias infinitas de dígitos (o caracteres) tomados de una finito alfabeto son de particular interés en la informática teórica. Se hace referencia a menudo simplemente como secuencias (en oposición a finitas cuerdas). Secuencias binarias infinitas, por ejemplo, son secuencias infinitas de bits (personajes extraídos del alfabeto {0,1}). El conjunto C = {0, 1} ^∞ de todos, secuencias binarias infinitas es a veces llamado el Espacio de Cantor.

Una secuencia binaria infinita puede representar una lenguaje formal (un conjunto de cadenas) estableciendo el n-ésimo bit de la secuencia a 1 si y sólo si el n-ésimo cadena (en Para shortlex) está en el idioma. Por lo tanto, el estudio de clases de complejidad, que son conjuntos de idiomas, se pueden considerar como el estudio de conjuntos de secuencias infinitas.

Una secuencia infinita trazada desde el alfabeto {0, 1, ..., b-1} puede también representar un número real expresada en el valor inicial b sistema numérico posicional. Esta equivalencia se utiliza a menudo para llevar las técnicas de análisis real para influir en clases de complejidad.

Secuencias como vectores

Secuencias más de un campo también pueden ser vistos como vectores en un espacio vectorial . Específicamente, el conjunto de secuencias de -valued F (donde F es una campo) es una espacio de función (de hecho, una espacio del producto) de F -valued funciones sobre el conjunto de los números naturales.

En particular, el término secuencia espacio generalmente se refiere a un subespacio lineal del conjunto de todas las posibles secuencias infinitas con elementos en == secuencias doblemente infinitas == Normalmente, la secuencia infinita término se refiere a una secuencia que es infinita en una dirección, y finito en el otro - la secuencia tiene una primera elemento, pero ningún elemento final (una secuencia solos-infinito). Una secuencia doblemente infinito es infinito en ambas direcciones - no tiene ni una primera ni un elemento final. Solos-secuencias infinitas son las funciones de los números naturales (N ') a un conjunto, mientras que las secuencias doblemente infinitas son las funciones de los números enteros (Z) a algún conjunto.

Uno puede interpretar secuencias individualmente infinitas como elemento de la anillo semigrupo de los números naturales y secuencias doblemente infinito como elementos de la un anillo de grupo de los números enteros . Esta perspectiva se utiliza en el Cauchy producto de secuencias.

Secuencia ordinal indexados

Una Módulo: Order_topology ( hablar · · hist · Enlaces · subpáginas · pruebas - resultados) es una generalización de una secuencia. Si α es una limitar ordinal y X es un conjunto, una secuencia de α-indexado de los elementos de X es una función de α a X. En esta terminología una secuencia ω-indexadas es una secuencia ordinaria.

Secuencias y autómatas

Autómatas o máquinas de estados finitos típicamente pueden pensado en gráficos como se indica, con los bordes etiquetados utilizando algún Σ alfabeto específico. Tipos más familiares de transición autómatas de estado a estado leyendo las cartas de entrada de Σ, siguiendo los bordes con las etiquetas a juego; la entrada ordenada por un autómata tal forma una secuencia de llamada (o palabra de entrada) palabra. La secuencia de estados encontradas por el autómata al procesar una palabra se llama una carrera. Un autómata no determinista puede tener sin etiqueta o duplicar fuera-bordes para cualquier estado, dando más de un sucesor por alguna carta de entrada. Esto normalmente se considera como la producción de múltiples carreras posibles para una palabra dada, siendo cada uno una secuencia de estados individuales, en lugar de producir una sola carrera que es una secuencia de conjuntos de estados; Sin embargo, "correr" en ocasiones se utiliza para referirse a este último.