El análisis matemático

El análisis matemático, que los matemáticos se refieren simplemente como análisis, tiene sus inicios en la formulación rigurosa de cálculo infinitesimal. Es una rama de la matemática pura, que incluye las teorías de diferenciación , integración y medida, límites, series infinitas, y funciones analíticas. Estas teorías se estudian a menudo en el contexto de los números reales , números complejos y reales y complejas funciones . Sin embargo, también se pueden definir y estudiarse en cualquier el espacio de los objetos matemáticos que tiene una definición de la cercanía (a espacio topológico) o, más específicamente, la distancia (a espacio métrico).

Historia

Los primeros resultados de análisis fueron implícitamente presente en los primeros días de las antiguas matemáticas griegas. Por ejemplo, una suma geométrica infinita está implícita en Zenón paradoja de la dicotomía. Más tarde, Matemáticos griegos tales como Eudoxo y Arquímedes hizo más explícito, pero informal, el uso de los conceptos de límite y convergencia cuando utilizaron el método de agotamiento para calcular el área y el volumen de las regiones y sólidos. En la India , el matemático del siglo 12 Bhaskara II dio ejemplos de la derivada y se utiliza lo que se conoce ahora como El teorema de Rolle.

En el siglo 14, Madhava de Sangamagrama desarrollado expansiones de series infinitas, como la serie de potencias y la serie de Taylor , de funciones tales como seno , coseno , tangente y arcotangente. Paralelamente a su desarrollo de la serie de Taylor de las funciones trigonométricas , también estima la magnitud de los términos de error creados por truncar estas series y dio una aproximación racional de una serie infinita. Sus seguidores en el Escuela de Kerala amplió sus obras, hasta el siglo 16.

En Europa, durante la segunda mitad del siglo 17, Newton y Leibniz desarrollaron de manera independiente cálculo infinitesimal, que crecía con el estímulo de los trabajos aplicados que continuó hasta el siglo 18, en los temas de análisis, tales como el cálculo de variaciones , ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales , Análisis de Fourier, y funciones generadoras. Durante este período, se aplicaron técnicas de cálculo para aproximar problemas discretos por los continuos.

En el siglo 18, Euler introdujo la noción de función matemática . Análisis real comenzó a surgir como una asignatura independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de continuidad en 1816. pero el trabajo de Bolzano no llegó a ser muy conocido hasta la década de 1870. En 1821, Cauchy comenzó a poner cálculo sobre una base lógica firme rechazando el principio de la generalidad del álgebra ampliamente utilizado en trabajos anteriores, sobre todo por Euler. En cambio, Cauchy formulado cálculo en términos de ideas geométricas y infinitesimales. Por lo tanto, su definición de continuidad requiere un cambio infinitesimal en x para corresponder a un cambio infinitesimal en y. También introdujo el concepto de la Sucesión de Cauchy, y comenzó la teoría formal de la análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico. Las contribuciones de estos matemáticos y otros, tales como Weierstrass, desarrolló el enfoque epsilontic, fundando así el campo moderno de análisis matemático.

En el medio del siglo Riemann introdujo su teoría de la integración . El último tercio del siglo 19 vio la aritmetización de análisis por Weierstrass, que pensaba que el razonamiento geométrico era inherentemente engañosa, e introdujo el Definición "épsilon-delta" de límite . Entonces, los matemáticos empezaron a preocuparse de que estaban asumiendo la existencia de un continuo de números reales sin pruebas. Dedekind entonces construye los números reales por Cortes de Dedekind, en la que los números irracionales se definen formalmente, que sirven para llenar los "huecos" entre los números racionales, creando así un juego completo: el continuo de los números reales. Alrededor de ese tiempo, los intentos de refinar los teoremas de La integración de Riemann llevó al estudio de la "tamaño" del conjunto de discontinuidades de funciones reales.

Además, " monstruos "( ninguna parte las funciones continuas, continua, pero funciones de la nada diferenciables, comenzó a ser creado el espacio de llenado de curvas). En este contexto, Jordan desarrolló su teoría de la medida, Cantor desarrolló lo que ahora se llama la teoría de conjuntos ingenua, y Baire demostró la Teorema de categorías de Baire. En el siglo 20, el cálculo se formalizó mediante una axiomática la teoría de conjuntos . Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introdujo Espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacio vectorial normado estaba en el aire, y en la década de 1920 Banach creado análisis funcional.

Subdivisiones

El análisis matemático incluye los siguientes subcampos.

• Ecuaciones diferenciales
• Análisis real, el estudio riguroso de los derivados y las integrales de funciones de variables reales. Esto incluye el estudio de las secuencias y su límites, serie.
  • Cálculo multivariable
  • Análisis real en escalas de tiempo - una unificación de análisis real con cálculo de diferencias finitas
• Teoría de la medida - un conjunto dado, el estudio de cómo asignar a cada subconjunto adecuado un número, intuitivamente interpretado como el tamaño del subconjunto.
• Cálculo vectorial
• Análisis funcional estudia espacios de funciones e introduce conceptos como Espacios de Banach y Espacios de Hilbert.
• Cálculo de variaciones se ocupa de extremizing funcionales, a diferencia de ordinario cálculo que se ocupa de funciones .
• Ofertas de análisis armónico con Series de Fourier y sus abstracciones.
• Análisis geométrico implica el uso de métodos geométricos en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales y la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría.
• Análisis complejo, el estudio de funciones del plano complejo a sí mismo que son diferenciable complejo (es decir, holomorfa).
  • Varias variables complejas
• Análisis hypercomplex o Análisis de Clifford
• p análisis -adic, el estudio de análisis en el contexto de p números -adic, lo que difiere en algunos aspectos interesantes y sorprendentes de sus contrapartes reales y complejos.
• El análisis no estándar, que investiga la números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de infinitesimales y infinitamente grandes números. Normalmente se clasifica como la teoría de modelos.
• Análisis numérico, el estudio de algoritmos para la aproximación de los problemas de las matemáticas continuas.
• Análisis computable, el estudio de las partes de análisis pueden llevarse a cabo en una forma computable.
• Cálculo estocástico - nociones analíticas desarrolladas para procesos estocásticos.
• Análisis de valor Set - aplica ideas de análisis y topología funciones de valores establecido.
• Análisis Tropical (o análisis idempotente) - análisis en el contexto de la semiring de la max-plus álgebra donde la falta de un inverso aditivo es compensado en cierta medida por la regla idempotente A + A = A. Cuando transferido al entorno tropical, muchos problemas no lineales se convierten lineal.

Análisis clásico normalmente se entiende como cualquier trabajo que no utilizan técnicas de análisis funcionales, y a veces también se denomina análisis duro; también se refiere, naturalmente, a los temas más tradicionales. El estudio de las ecuaciones diferenciales es ahora compartido con otros campos como sistemas dinámicos, aunque la coincidencia con el análisis convencional es grande.

Análisis en otras áreas:

• Teoría analítica de números
• Combinatoria analíticas
• Probabilidad continua
• Entropía diferencial en teoría de la información
• Juegos diferenciales
• Geometría diferencial , la aplicación de cálculo para espacios matemáticos específicos conocidos como colectores que poseen una estructura interna complicada, pero se comportan de una manera sencilla a nivel local.
• Topología diferencial

Espacios topológicos, espacios métricos

La motivación para el estudio de análisis matemático en el contexto más amplio de topológico o espacios métricos es triple:

1. Las mismas técnicas básicas han demostrado ser aplicable a una clase más amplia de problemas (por ejemplo, el estudio de espacios de funciones).
2. Una mayor comprensión de análisis en los espacios más abstractos con frecuencia resulta ser directamente aplicables a los problemas clásicos. Por ejemplo, en Análisis de Fourier, las funciones se expresa en términos de un cierto suma infinita de funciones trigonométricas . Así, el análisis de Fourier se puede usar para descomponer un sonido en una combinación única de tonos puros de varios campos de fútbol. Los "pesos" o coeficientes, de los términos en el desarrollo de Fourier de una función pueden ser considerados como componentes de un vector en un infinito espacio dimensional conocido como Espacio de Hilbert. Estudio de funciones definidas en esta configuración más general por lo tanto proporciona un método conveniente de obtener resultados sobre la forma en funciones varían en el espacio así como el tiempo o, en términos más matemáticos, ecuaciones diferenciales parciales , donde esta técnica se conoce como la separación de variables.
3. Las condiciones necesarias para demostrar el resultado particular se expresan de manera más explícita. El analista entonces se vuelve más consciente exactamente lo que se necesita aspecto de la hipótesis para demostrar el teorema.

Cálculo de las diferencias finitas, cálculo discreto o análisis discreto

Como la sección anterior sobre espacios topológicos deja claro, el análisis no es sólo acerca de la continuidad en el sentido tradicional de los números reales. El análisis es fundamentalmente acerca de las funciones, los espacios que las funciones actúan sobre y la espacios de funciones que las propias funciones son miembros de. Una discreta función f (n) generalmente se llama una secuencia de un (n). Una secuencia podría ser una secuencia finita de alguna fuente de datos o una secuencia infinita de una sistema dinámico discreto. Una función discreta podría definirse explícitamente por una lista, o por una fórmula para f (n) o podría ser dado implícitamente por una relación de recurrencia o ecuación de diferencia. Una ecuación de diferencia es el equivalente discreto de una ecuación diferencial y se puede utilizar para aproximar la última o estudiado en su propio derecho. Cada método de preguntas y acerca de las ecuaciones diferenciales tienen un equivalente discreto de ecuaciones en diferencias. Por ejemplo, donde hay transformaciones integrales en análisis armónico de las funciones continuas estudiando o señales analógicas, hay transformadas discretas para funciones discretas o señales digitales. Así como la métrica discreta hay más discreta general o espacios métricos finitos y espacios topológicos finitos.

Páginas web

• Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de Matemáticas: Cálculo y Análisis
• Análisis básica: Introducción al análisis real de Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )