Arquímedes

Arquímedes de Siracusa (Griego: Ἀρχιμήδης)
Arquímedes pensativo por Fetti (1620)
Nacido	c. 287 aC Siracusa, Sicilia Magna Grecia
Murió	c. 212 aC (de entre 75) Siracusa
Residencia	Siracusa, Sicilia
Campos	Matemáticas Física Ingeniería Astronomía Invención
Conocido por	El principio de Arquímedes Tornillo de Arquímedes hidrostática palancas infinitesimales

Arquímedes de Siracusa ( griego : . Ἀρχιμήδης;. C 287 aC - 212 aC c) fue un Matemático griego, físico, ingeniero, inventor, y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, se le considera como uno de los principales científicos en la antigüedad clásica. Entre sus avances en la física son las bases de hidrostática, la estática y una explicación del principio de la palanca. Se le atribuye el diseño innovador máquinas, incluyendo máquinas de asedio y la tornillo de la bomba que lleva su nombre. Los experimentos modernos han probado demandas que Arquímedes máquinas capaces de levantar las naves que atacaban del agua y de fijar las naves en el fuego usando un conjunto de espejos diseñados.

Arquímedes es generalmente considerado como el más grande matemático de la antigüedad y uno de los más grandes de todos los tiempos. Utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de parábola con la suma de una serie infinita, y dio una aproximación muy precisa de pi . También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy grandes.

Arquímedes murió durante el Sitio de Siracusa cuando fue asesinado por un Soldado romano pesar de las órdenes que él no debe ser dañado. Cicerón describe visitar la tumba de Arquímedes, que fue coronada por una esfera inscrita en un cilindro. Arquímedes había demostrado que la esfera tiene dos tercios de la zona de volumen y superficie del cilindro (incluyendo las bases de este último), y considerado esto como la mayor de sus logros matemáticos.

A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes eran poco conocidas en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría leer y lo citó, pero la primera recopilación completa no se hizo hasta c. 530 dC por Isidoro de Mileto, mientras que los comentarios sobre los trabajos de Arquímedes escritas por Eutocio en el siglo VI dC los abrió al público más amplio por primera vez. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron a través de las Edad Media eran una fuente influyente de ideas para los científicos durante el Renacimiento , mientras que el descubrimiento en 1906 de las obras hasta ahora desconocidas por Arquímedes en la Palimpsesto de Arquímedes ha proporcionado nuevos conocimientos sobre cómo obtuvo resultados matemáticos.

Biografía

Esta estatua de bronce de Arquímedes está en el Archenhold Observatorio en Berlín . Fue esculpida por Gerhard Thieme y dio a conocer en 1972.

Arquímedes nació c. 287 aC en la ciudad portuaria de Siracusa, Sicilia, en ese momento un auto-gobierno colonia en Magna Grecia. La fecha de nacimiento se basa en una declaración de la Historiador griego bizantino John Tzetzes que Arquímedes vivió durante 75 años. En El contador de arena, Arquímedes da el nombre de su padre como Fidias, un astrónomo de quien no se sabe nada. Plutarco escribió en su Vidas paralelas que Arquímedes estaba relacionado con el Rey Hierón II, el gobernante de Siracusa. Una biografía de Arquímedes fue escrito por su amigo Heráclides pero este trabajo se ha perdido, dejando los detalles de su vida oscura. No se sabe, por ejemplo, si alguna vez se casó ni tuvo hijos. Durante su juventud, Arquímedes pudo haber estudiado en Alejandría , Egipto , donde Conon de Samos y Eratóstenes de Cirene fueron contemporáneos. Se refirió a Conón de Samos como su amigo, mientras que dos de sus obras ( El método de los teoremas mecánicos y la Ganado problema) tienen introducciones dirigidas a Eratóstenes.

Arquímedes murió c. 212 AC durante la Segunda Guerra Púnica, cuando Romano fuerzas al mando del general Marco Claudio Marcelo capturó la ciudad de Siracusa después de dos años de duración asedio . Según el relato popular que se da por Plutarco, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático en que se capturó la ciudad. Un soldado romano le ordenó venir y conocer a Marcelo generales pero se negó, diciendo que tenía que terminar de trabajar en el problema. El soldado estaba enfurecido por esto, y mató a Arquímedes con su espada. Plutarco también ofrece un relato menos conocida de la muerte de Arquímedes que sugiere que pudo haber sido asesinado mientras intentaba rendirse a un soldado romano. Según esta historia, Arquímedes fue llevando instrumentos matemáticos, y fue asesinado porque el soldado pensó que eran objetos de valor. Según los informes, general Marcelo estaba enojado por la muerte de Arquímedes, como él le un activo de gran valor científico considerado y había ordenado que no se vea perjudicada.

Una esfera tiene 2/3 el volumen y el área superficial de su cilindro que circunscribe. Una esfera y cilindro se colocaron en la tumba de Arquímedes a petición suya.

Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes son de "No molestar mis círculos" ( griego : μή μου τοὺς κύκλους τάραττε), una referencia a los círculos en el dibujo matemático que supuestamente estaba estudiando cuando perturbado por el soldado romano. Esta cita se da a menudo en América como " Noli turbare circulos meos, "pero no hay evidencia confiable de que Arquímedes pronunció estas palabras y que no aparecen en el relato de Plutarco.

La tumba de Arquímedes llevaba una escultura ilustrando su prueba matemática favorita, que consiste en una esfera y un cilindro de la misma altura y diámetro. Arquímedes había demostrado que el volumen y el área de superficie de la esfera son dos tercios de que el cilindro incluyendo sus bases. En el año 75 aC, 137 años después de su muerte, el Romano orador Cicerón se desempeñaba como cuestor en Sicilia. Había oído historias sobre la tumba de Arquímedes, pero ninguno de los locales fue capaz de darle la ubicación. Finalmente encontró la tumba cerca de la puerta de Agrigento en Syracuse, en un estado descuidado y cubierto de arbustos. Cicerón tuvo la tumba limpiado, y fue capaz de ver la talla y leer algunos de los versos que se habían añadido como una inscripción. Una tumba descubierta en un patio del hotel en Siracusa, en la década de 1960 se afirma que es el de Arquímedes, pero su ubicación actual es desconocida.

Las versiones estándar de la vida de Arquímedes fueron escritos mucho después de su muerte por los historiadores de la antigua Roma. La cuenta del sitio de Siracusa dada por Polibio en su Historia universal fue escrito alrededor de setenta años después de la muerte de Arquímedes, y fue utilizado posteriormente como fuente de Plutarco y Tito Livio. Arroja poco de luz sobre Arquímedes como persona, y se centra en las máquinas de guerra que se dice que ha construido con el fin de defender la ciudad.

Los descubrimientos e invenciones

El principio de Arquímedes

Arquímedes pueden haber utilizado su principio de flotabilidad para determinar si la corona de oro era menos densa que el oro sólido.

El ampliamente conocido más anécdota sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo a Vitruvio, un corona votiva de un templo había sido hecha para el rey Hierón II, que había suministrado el puro oro para ser utilizado, y Arquímedes fue preguntado para determinar si alguna de plata había sido sustituido por el orfebre deshonesto. Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla en un cuerpo de forma regular con el fin de calcular su densidad . Mientras que tomar un baño, se dio cuenta de que el nivel del agua en la bañera de rosa como se puso en, y se dio cuenta de que este efecto podría ser utilizado para determinar el volumen de la corona. Para fines prácticos agua es incompresible, por lo que la corona sumergida desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, la densidad de la corona podría ser obtenida. Esta densidad sería menor que la de oro si se habían añadido metales más baratos y menos densos. Arquímedes luego salió a la calle desnudo, tan emocionada por su descubrimiento de que se había olvidado de vestir, de llorar " ¡Eureka! "( griego : "! εὕρηκα", que significa "lo he encontrado"!) La prueba se realizó con éxito, lo que demuestra que la plata de hecho se había mezclado en..

La historia de la corona de oro no aparece en las obras conocidas de Arquímedes. Por otra parte, el sentido práctico del método que describe se ha puesto en duda, debido a la extrema precisión con la que se tendría que medir el desplazamiento de agua. Arquímedes puede haber lugar buscado una solución que aplica el principio conocido en hidrostática como El principio de Arquímedes, que él describe en su tratado Sobre los cuerpos flotantes. Este principio establece que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un fuerza de empuje igual al peso del fluido que desplaza. Utilizando este principio, habría sido posible comparar la densidad de la corona de oro a la de oro sólido mediante el equilibrio de la corona en una escala con una muestra de referencia de oro, a continuación, sumergiendo el aparato en agua. La diferencia de densidad entre las dos muestras causaría la escala a la punta en consecuencia. Galileo consideró "probable que este método es el mismo que Arquímedes siguió, ya que, además de ser muy precisa, que se basa en las manifestaciones se encuentran por el mismo Arquímedes." En un texto del siglo 12 titulado Mappae Clavicula hay instrucciones sobre cómo realizar los pesajes en el agua con el fin de calcular el porcentaje de plata utilizada, y así resolver el problema. El poema latino Carmen de ponderibus et mensuris del cuarto o quinto siglo describe el uso de una balanza hidrostática para resolver el problema de la corona, y atribuye el método de Arquímedes.

Tornillo de Arquímedes

La Tornillo de Arquímedes puede elevar el agua de manera eficiente.

Una gran parte del trabajo de Arquímedes en ingeniería surgió de satisfacer las necesidades de su ciudad natal, Siracusa. El escritor griego Ateneo de Naucratis describe cómo el rey Hierón II encargó a Arquímedes para diseñar un enorme barco, el Siracusia, que podría ser utilizado para viajes de lujo, con suministros, y como un buque de guerra naval. El Siracusia se dice que ha sido el barco más grande construido en la antigüedad clásica. Según Ateneo, era capaz de llevar a 600 personas e incluyó decoraciones de jardín, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita entre sus instalaciones. Dado que un barco de este tamaño se filtraría una cantidad considerable de agua a través del casco, la Tornillo de Arquímedes se desarrolló supuestamente con el fin de eliminar el agua de sentina. Máquina de Arquímedes era un dispositivo con una cuchilla giratoria en forma de tornillo dentro de un cilindro. Se volvió a mano, y también podría ser utilizado para transferir el agua de un cuerpo de baja altitud de agua en los canales de riego. El tornillo de Arquímedes se encuentra todavía en uso hoy en día para el bombeo de líquidos y sólidos granulados como el carbón y granos. El tornillo de Arquímedes se describe en la época romana por Vitruvio puede haber sido una mejora en una bomba de tornillo que se utiliza para el riego de la Jardines Colgantes de Babilonia. Primero navegación marítima del mundo buque de vapor con una hélice fue el SS de Arquímedes, que fue lanzado en 1839 y nombrado en honor de Arquímedes y su trabajo en el tornillo.

Garra de Arquímedes

La Garra de Arquímedes es un arma que se dice que ha diseñado con el fin de defender la ciudad de Siracusa. También conocido como "el agitador de la nave," la garra consistía en un brazo-grúa como de la que fue suspendido un gancho de metal. Cuando la uña se dejó caer en una nave atacante del brazo puede dar vuelta hacia arriba, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundirlo. Se han realizado experimentos modernos para poner a prueba la viabilidad de la garra, y en 2005 un documental de televisión titulado Superarmas del mundo antiguo construido una versión de la garra y llegado a la conclusión de que era un dispositivo viable.

Rayo de calor

Arquímedes pueden haber utilizado espejos que actúan colectivamente como una reflector parabólico para quemar las naves atacar Syracuse.

El autor AD segundo siglo Lucian escribió que durante el Sitio de Siracusa (c. 214-212 aC), Arquímedes destruyó las naves enemigas con fuego. Siglos más tarde, Antemio de Tralles menciona quema-vidrios como arma de Arquímedes. El dispositivo, a veces llamado el "rayo de calor de Arquímedes", fue usado para enfocar la luz solar en barcos que se acercaban, haciendo que se prenda fuego.

Esta supuesta arma ha sido objeto de debate en curso acerca de su credibilidad desde el Renacimiento. René Descartes rechazó como falsa, mientras que los investigadores modernos han intentado recrear el efecto utilizando sólo los medios que habrían estado disponibles a Arquímedes. Se ha sugerido que una gran variedad de muy pulido bronce o cobre escudos actuando como espejos podrían haber sido empleados para enfocar la luz solar en un barco. Esto habría utilizado el principio de la reflector parabólico de una manera similar a una horno solar.

Una prueba del rayo de calor de Arquímedes se llevó a cabo en 1973 por el científico griego Ioannis Sakkas. El experimento se llevó a cabo en el Base naval Skaramagas fuera de Atenas . En esta ocasión se utilizaron 70 espejos, cada uno con un recubrimiento de cobre y un tamaño de alrededor de cinco por tres pies (1,5 por 1 m). Los espejos se señalaron en un contrachapado maqueta de un barco de guerra romano a una distancia de alrededor de 160 pies (50 m). Cuando los espejos estaban enfocados con precisión, la nave estalló en llamas en pocos segundos. El barco de madera contrachapada tenía un revestimiento de pintura de alquitrán, que puede haber ayudado combustión. Una capa de alquitrán habría sido un lugar común en los barcos de la época clásica.

En octubre de 2005 un grupo de estudiantes de la Instituto de Tecnología de Massachusetts llevó a cabo un experimento con 127 de un pie (30 cm) azulejos espejo cuadrado, se centró en un barco de madera maqueta a una distancia de alrededor de 100 pies (30 m). Las llamas estallaron en un parche de la nave, pero sólo después de que el cielo estaba despejado y el barco había permanecido inmóvil durante unos diez minutos. Se concluyó que el dispositivo era un arma viable bajo estas condiciones. El grupo del MIT repitió el experimento para el programa de televisión MythBusters, utilizando un barco de pesca de madera en San Francisco como el objetivo. De nuevo se produjo alguna carbonización, junto con una pequeña cantidad de llama. Con el fin de coger el fuego, la madera tiene que llegar a su temperatura de autoignición, que es de alrededor de 300 ° C (570 ° F).

Cuando MythBusters transmitió el resultado del experimento de San Francisco en enero de 2006, la reclamación fue colocado en la categoría de "roto" (o no) a causa de la cantidad de tiempo y de las condiciones climáticas ideales necesarios para que ocurra la combustión. También se señaló que desde Syracuse mira al mar hacia el este, la flota romana habría tenido que atacar durante la mañana para la recolección óptima de la luz por los espejos. MythBusters también señaló que el armamento convencional, como flechas incendiarias o pernos de una catapulta, habría sido una forma mucho más fácil de crear un barco en llamas en las distancias cortas.

En diciembre de 2010, MythBusters nuevo miraron la historia rayo de calor en una edición especial con Barack Obama , Desafío titulado del presidente. Varios experimentos se llevaron a cabo, incluyendo una prueba a gran escala con 500 niños en edad escolar con el objetivo espejos en una maqueta de un barco de vela romana 400 pies (120 m) de distancia. En todos los experimentos, la vela no logró alcanzar los 210 ° C (410 ° F) necesario para coger el fuego, y el veredicto fue de nuevo "reventado". El espectáculo concluyó que un efecto más probable de los espejos se habría cegadora, deslumbrante, o distraer a la tripulación de la nave.

Otros descubrimientos e invenciones

Mientras que Arquímedes no inventó el palanca, dio una explicación del principio implicado en su trabajo sobre el equilibrio de los planos. Descripciones anteriores de la palanca se encuentran en el Escuela peripatética de los seguidores de Aristóteles , ya veces se atribuyen a Arquitas. De acuerdo a Pappus de Alejandría, el trabajo de Arquímedes sobre palancas le hizo la observación: "Dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra." ( griego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω) Plutarco describe cómo Arquímedes diseñados cuadra y abordar sistemas de poleas, permitiendo marineros que apliquen el principio de palanca para levantar objetos que de otro modo habrían sido demasiado pesados para moverlos. Arquímedes también se ha acreditado con la mejora de la potencia y la precisión de la catapulta, y la invención del odómetro durante el Primera Guerra Púnica. El odómetro se describió como un carro con un mecanismo de engranaje que dejó caer una pelota en un contenedor después de cada milla recorrida.

Cicerón (106-43 aC) menciona brevemente en su Arquímedes diálogo De re publica, que retrata una conversación ficticia que tiene lugar en 129 aC. Tras la captura de Siracusa c. 212 aC, el general Marco Claudio Marcelo se dice que ha llevado de vuelta a Roma dos mecanismos, construidos por Arquímedes y utilizadas como coadyuvantes de la astronomía, que mostraban el movimiento del Sol, la Luna y cinco planetas. Cicerón menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto y Eudoxo de Cnido. El diálogo dice que Marcelo se quedó con uno de los dispositivos como su único botín personal de Syracuse, y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. Mecanismo de Marcelo se demostró, según Cicerón, por Cayo Sulpicio Galo a Lucio Furio Filón, quien lo describió así:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus en aere illo quot diebus en ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum en eam metam quae esset terrae umbra, cum sol e regione . - Cuando Gallus movió el mundo, sucedió que la Luna sigue el Sol por tantas vueltas en ese artilugio de bronce como en el propio cielo, desde el que también en el cielo globo del sol se volvió a tener ese mismo eclipse, y la Luna llegó a continuación, a esa posición, que era su sombra sobre la Tierra, cuando el Sol estaba en línea.

Esta es una descripción de una planetario o planetario. Pappus de Alejandría indica que Arquímedes había escrito un manuscrito (ahora perdido) en la construcción de estos mecanismos titulado En la esfera de decisiones. La investigación moderna en esta área se ha centrado en la Mecanismo de Anticitera, otro dispositivo de la antigüedad clásica que probablemente fue diseñado para el mismo propósito. La construcción de mecanismos de este tipo habría requerido un conocimiento sofisticado de engranaje diferencial. Esta vez se pensó que había sido fuera del alcance de la tecnología disponible en la antigüedad, pero el descubrimiento del mecanismo de Anticitera en 1902 ha confirmado que los dispositivos de este tipo eran conocidos por los antiguos griegos.

Matemáticas

Mientras que él es a menudo considerado como un diseñador de dispositivos mecánicos, Arquímedes también hizo contribuciones en el campo de las matemáticas. Plutarco escribió: "Él puso todo su afecto y ambición en esas especulaciones puras donde no puede haber una referencia a las necesidades vulgares de la vida."

Arquímedes utiliza el teorema de Pitágoras para calcular el lado de la 12-gon de la del hexágono y para cada duplicación posterior de los lados del polígono regular.

Arquímedes fue capaz de utilizar infinitesimales de una manera que es similar a la moderna cálculo integral . A través de la prueba por contradicción ( reductio ad absurdum), podría dar respuestas a los problemas en un grado arbitrario de precisión, especificando los límites en los que la respuesta estaba. Esta técnica se conoce como el método de agotamiento, y se servía de él para aproximar el valor de π. En Sobre la medida del círculo él hizo esto dibujando una mayor hexágono regular fuera de un círculo y un hexágono regular más pequeño dentro del círculo, y doblando progresivamente el número de lados de cada polígono regular, el cálculo de la longitud de un lado de cada polígono en cada paso. Como el número de lados aumenta, se convierte en una aproximación más exacta de un círculo. Después de cuatro de estos pasos, cuando los polígonos tenían 96 lados cada uno, que fue capaz de determinar que el valor de π se extendía entre 3 _^1/7 (aproximadamente 3,1429) y 3 _^10/71 (aproximadamente 3,1408), de acuerdo con su valor real de aproximadamente 3.1416. También demostró que el área de un círculo es igual a π multiplicado por el cuadrado de la radio del círculo (πr ^2). En Sobre la esfera y el cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud cuando se añade a sí suficientes veces superarán cualquier magnitud dada. Este es el Axioma de Arquímedes de los números reales.

En Sobre la medida del círculo, Arquímedes da el valor de la raíz cuadrada de 3, como se extiende entre _^265/153 (aproximadamente 1,7320261) y _^1351/780 (aproximadamente 1,7320512). El valor real es de aproximadamente 1.7320508, haciendo de esta una estimación muy precisa. Se presentó este resultado sin ofrecer ninguna explicación de cómo había conseguido. Este aspecto de la obra de Arquímedes causado John Wallis para comentar que él era: "por decirlo de propósito fijo haber cubierto las huellas de su investigación como si hubiera escatimado posteridad el secreto de su método de investigación, mientras que él deseaba para extorsionar de ellos asentimiento a sus resultados." Es posible que él utilizó un procedimiento iterativo para calcular estos valores.

Como ha demostrado por Arquímedes, el área de la segmento parabólico en la figura superior es igual a 4/3 de la del triángulo inscrito en la figura inferior.

En La cuadratura de la parábola, Arquímedes demostró que el área encerrada por una parábola y una línea recta es _^4/3 veces el área de un inscrito correspondiente triángulo como se muestra en la figura de la derecha. Expresó la solución al problema como un infinito serie geométrica con la razón común _^1/4:

Si el primer término en esta serie es el área del triángulo, entonces el segundo es la suma de las áreas de dos triángulos cuyas bases son los dos más pequeños líneas secantes, y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación de la serie 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que resume a _^tercera.

En El contador de arena, Arquímedes puso a calcular el número de granos de arena que el universo podría contener. Al hacerlo, él desafió la noción de que el número de granos de arena era demasiado grande como para ser contados. Él escribió: "Hay algunos, Rey Gelo (Gelo II, hijo de Hierón II), que piensan que el número de la arena es infinito en multitud; y me refiero con la arena no sólo lo que existe acerca de Syracuse y el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en todas las regiones si habitado o deshabitado. "Para resolver el problema, Arquímedes ideó un sistema de conteo basado en la innumerables. La palabra es de la μυριάς murias griego, pues el número 10.000. Propuso un sistema de numeración que utilizan potencias de una miríada de miríadas (100 millones) y llegó a la conclusión de que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo sería 8 vigintillion, u 8 × 10 ^63.

Escritos

Los trabajos de Arquímedes fueron escritos en Dórico griego, el dialecto de la antigua Syracuse. La obra escrita de Arquímedes no ha sobrevivido, así como la de Euclides , y siete de sus tratados se sabe que han existido sólo a través de las referencias hechas a ellos por otros autores. Pappus de Alejandría menciona En la esfera de decisiones y el otro trabajo sobre poliedros , mientras Teón de Alejandría cita una observación acerca de refracción de la catóptrica ahora perdida. Durante su vida, Arquímedes hizo su obra más conocida a través de la correspondencia con los matemáticos de Alejandría . Los escritos de Arquímedes fueron recogidos por el bizantino arquitecto Isidoro de Mileto (c. 530 dC), mientras que los comentarios sobre los trabajos de Arquímedes escritas por Eutocio en el siglo VI dC ayudó a traer su obra a un público más amplio. Trabajo de Arquímedes fue traducido al árabe por Thabit Ibn Qurra (836-901 dC), y América por Gerardo de Cremona (c. 1114-1187 dC). Durante el Renacimiento , la Editio princeps (Primera Edición) fue publicado en Basilea en 1544 por Johann Herwagen con las obras de Arquímedes en griego y latín. Alrededor del año 1586 Galileo Galilei inventó una balanza hidrostática para pesar metales en el aire y el agua luego de que aparentemente está inspirado en la obra de Arquímedes.

Sobrevivir obras

Arquímedes se dice que comentó de la palanca: Dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra.

• En el equilibrio de los planos (dos volúmenes)

El primer libro es de quince proposiciones con siete postulados, mientras que el segundo libro es en diez proposiciones. En este trabajo de Arquímedes explica la Ley de la palanca, declarando, "Las magnitudes están en equilibrio a distancias inversamente proporcionales a sus pesos."

Arquímedes utiliza los principios derivados para calcular las áreas y centros de gravedad de varias figuras geométricas incluyendo triángulos , paralelogramos y parábolas.

• Sobre la medida de un círculo

Esta es una obra corta que consta de tres proposiciones. Está escrito en la forma de una correspondencia con Dositeo de Pelusio, que era un estudiante de Conon de Samos. En la Proposición II, Arquímedes da una aproximación del valor de pi (π), demostrando que es mayor de _^223/71 y menos del _^22/7.

• Sobre las espirales

Esta obra de 28 proposiciones también se dirige a Dositeo. El tratado define lo que ahora se llama la Espiral de Arquímedes. Es el lugar geométrico de puntos que corresponden a las ubicaciones en el tiempo de un punto que se mueve lejos de un punto fijo con una velocidad constante a lo largo de una línea que gira con constante de velocidad angular . De manera equivalente, en coordenadas polares (r, θ) puede ser descrito por la ecuación

con números reales a y b. Este es un ejemplo temprano de una curva mecánica (una curva trazada por un movimiento punto) considerado por un matemático griego.

• Sobre la esfera y el cilindro (dos volúmenes)

En este tratado dirigido a Dositeo, Arquímedes obtiene el resultado de lo cual se sentía más orgulloso, es decir, la relación entre una esfera y un circunscrito cilindro de la misma altura y diámetro . El volumen es _^4/3 π r ³ para la esfera, y 2 π r ³ para el cilindro. La superficie es de 4 π r ² para la esfera, y 6 π r ² para el cilindro (incluyendo sus dos bases), donde r es el radio de la esfera y el cilindro. La esfera tiene un volumen de dos tercios de la del cilindro circunscrito. Del mismo modo, la esfera tiene una superficie de dos tercios de la del cilindro (incluyendo las bases). Una esfera esculpido y cilindros fueron colocados en la tumba de Arquímedes a petición suya.

• En conoides y esferoides

Este es un trabajo en 32 proposiciones dirigidas a Dositeo. En este tratado Arquímedes calcula las áreas y volúmenes de secciones de conos, esferas y paraboloides.

• Sobre los cuerpos flotantes (dos volúmenes)

En la primera parte de este tratado, Arquímedes explica la ley de de equilibrio de fluidos, y demuestra que el agua adoptar una forma esférica alrededor de un centro de gravedad. Esto puede haber sido un intento de explicar la teoría de los astrónomos griegos contemporáneos como Eratóstenes que la Tierra es redonda. Los fluidos descritos por Arquímedes no son autogravitante, ya que supone la existencia de un punto hacia el que todas las cosas caen en fin de obtener la forma esférica.

En la segunda parte, que calcula las posiciones de equilibrio de las secciones de paraboloides. Esta fue probablemente una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base bajo el agua y la cumbre sobre el agua, similar a la forma en que los icebergs flotador. El principio de Arquímedes de la flotabilidad se da en la obra, se indica como sigue:

Cualquier cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual, pero opuesta en sentido, el peso del fluido desplazado.

• La cuadratura de la parábola

En esta obra de 24 proposiciones dirigidas a Dositeo, Arquímedes demuestra por dos métodos que el área encerrada por un parábola y una línea recta es 4/3 multiplicado por el área de un triángulo con la misma base y altura. Se logra esto mediante el cálculo del valor de una serie geométrica que suma hasta el infinito con el relación de _^1/4.

• (O) Stomachion

Esto es un rompecabezas de disección similar a una Tangram, y el tratado describiendo se encontró en forma más completa en el Palimpsesto de Arquímedes. Arquímedes calcula las áreas de las 14 piezas que pueden montarse para formar un cuadrado . La investigación publicada por el Dr. Reviel Netz de La Universidad de Stanford en 2003, argumentó que Arquímedes estaba tratando de determinar cuántas maneras las piezas podrían ser ensamblados en la forma de un cuadrado. Netz calcula que las piezas se pueden hacer en un cuadrado 17.152 maneras. El número de acuerdos es 536 cuando se han excluido las soluciones que son equivalentes por rotación y reflexión. El rompecabezas representa un ejemplo de un problema temprano en la combinatoria .

El origen del nombre del rompecabezas no está clara, y se ha sugerido que se toma del griego clásico palabra de garganta o esófago, stomachos (στόμαχος). Ausonio se refiere al rompecabezas como Ostomachion, una palabra griega compuesta formada a partir de las raíces de ὀστέον (osteon, hueso) y μάχη (Mache - lucha). El rompecabezas es también conocida como los Loculus de Arquímedes o la caja de Arquímedes.

• Problema del ganado

Este trabajo fue descubierto por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego que consiste en un poema de 44 líneas, en la Biblioteca Herzog agosto en Wolfenbüttel, Alemania en 1773. Está dirigida a Eratóstenes y los matemáticos de Alejandría. Arquímedes los reta a contar el número de cabezas de ganado en la manada del Sol mediante la resolución de una serie de simultáneas Ecuaciones diofánticas. Hay una versión más difícil del problema en el que algunas de las respuestas están obligados a ser números cuadrados. Esta versión del problema fue resuelto por primera vez por A. Amthor en 1880, y la respuesta es un número muy grande, aproximadamente 7,760271 × 10 ^206544.

• El contador de arena

En este tratado, Arquímedes cuenta el número de granos de arena que caben dentro del universo. Este libro menciona la heliocéntrica teoría del sistema solar propuesto por Aristarco de Samos, así como las ideas contemporáneas sobre el tamaño de la Tierra y la distancia entre distintos cuerpos celestes. Mediante el uso de un sistema de números basado en competencias de la miríada, Arquímedes concluye que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo es de 8 × 10 ⁶³ en notación moderna. La carta de presentación dice que el padre de Arquímedes fue un astrónomo llamado Fidias. El Calculador de arena o Psammites es la única obra que sobrevive en el que Arquímedes discute sus puntos de vista sobre la astronomía.

• El método de los teoremas mecánicos

Se pensó Este tratado perdido hasta el descubrimiento de la Palimpsesto de Arquímedes en 1906. En este trabajo utiliza Arquímedes infinitesimales, y muestra cómo romper una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas se pueden utilizar para determinar su área o volumen. Arquímedes pueden haber considerado este método carente de rigor formal, por lo que también se utiliza el método de agotamiento para derivar los resultados. Al igual que con el problema del ganado, el método de teoremas mecánicos fue escrito en forma de carta a Eratóstenes de Alejandría .

Obras apócrifas

Arquímedes Libro de los Lemas o Liber Assumptorum es un tratado con quince proposiciones sobre la naturaleza de los círculos. La copia más antigua conocida del texto está en árabe . Los estudiosos TL Heath y Marshall Clagett argumentó que no puede haber sido escrito por Arquímedes en su forma actual, ya que cita a Arquímedes, lo que sugiere la modificación de otro autor. El Lemmas puede estar basado en un trabajo anterior por Arquímedes que se ha perdido.

También se ha afirmado que La fórmula de Heron para calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados se sabe que Arquímedes. Sin embargo, la primera referencia fiable a la fórmula está dada por Herón de Alejandría en el siglo 1 DC.

Palimpsesto de Arquímedes

Stomachiones unrompecabezas de disección en elPalimpsesto de Arquímedes.

El documento más importante que contiene la obra de Arquímedes es el Palimpsesto de Arquímedes. En 1906, el profesor danés Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla y examinó una de 174 páginas de pergamino de piel de cabra de las oraciones escritas en el siglo 13. Descubrió que era un palimpsesto, un documento con el texto que se había escrito sobre una obra mayor borrado. Palimpsestos fueron creados por el raspado de la tinta de las obras existentes y la reutilización de ellos, que era una práctica común en la Edad Media como vitela era caro. Las obras más antiguas en el palimpsesto fueron identificados por los estudiosos como décimo copias siglo AD de tratados previamente desconocidos por Arquímedes. El pergamino gastado cientos de años en una biblioteca de monasterio en Constantinopla antes de ser vendida a un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998 se vendió en una subasta a un comprador anónimo por $ 2 millones de dólares en Christie en Nueva York . El palimpsesto contiene siete tratados, incluyendo la única copia sobreviviente de cuerpos flotantes en el griego original. Es la única fuente conocida de El Método de teoremas mecánicos , mencionado por Suidas y cree que se han perdido para siempre. Stomachion también fue descubierto en el palimpsesto, con un análisis más completo del rompecabezas que se había encontrado en los textos anteriores. El palimpsesto se almacena ahora en el Museo de Arte Walters en Baltimore, Maryland, donde ha sido sometido a una serie de pruebas modernas, como el uso de la radiación ultravioleta y de rayos x de luz para leer el texto sobrescrito.

Los tratados en el Palimpsesto de Arquímedes son:En el equilibrio de los planos, Sobre las espirales, Medida de un Círculo, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los cuerpos flotantes, El método de los teoremas mecánicosyStomachion.

Legado

La Medalla Fields lleva un retrato de Arquímedes.

• Hay un cráter en laLunallamadoArquímedes (29,7 ° N, 4.0 ° W) en su honor, así como una gama lunar montaña, elMontes de Arquímedes (25,3 ° N, 4.6 ° W).
• Elasteroide 3600 Arquímedes lleva su nombre.
• La Medalla Fields por logros sobresalientes en matemáticas realiza un retrato de Arquímedes, junto con una talla que ilustra su prueba sobre la esfera y el cilindro. La inscripción en la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida a él, que dice en latín: "Transire suum pectus mundoque potiri" (Rise encima de uno mismo y comprender el mundo).
• Arquímedes ha aparecido en sellos emitidos porla Alemania Oriental (1973),Grecia(1983),Italia(1983),Nicaragua(1971),San Marino(1982) yEspaña(1963).
• La exclamación de ¡Eureka! atribuida a Arquímedes es el lema del estado de California . En este caso, la palabra se refiere al descubrimiento de oro cerca de molino de Sutter en 1848 que provocó la California fiebre del oro.
• Un movimiento para el compromiso cívico dirigido el acceso universal a la atención de salud en el estado norteamericano deOregonha sido nombrado el "Movimiento de Arquímedes", encabezada por el ex gobernador de OregónJohn Kitzhaber.

Las obras de Arquímedesen línea

• Texto en griego clásico:exploraciones en PDF de la edición de Heiberg de las obras de Arquímedes, ahora en el dominio público
• En la traducción Inglés: Los trabajos de Arquímedes , trad. TL Heath; complementado por el método de los teoremas mecánicos , trad. LG Robinson