Poliedro

Algunos poliedros Dodecaedro ( poliedro regular ) Dodecaedro estrellado Peque??o ( Estrella Regular) Icosidodecaedro ( Uniforme) Gran cubicuboctahedron ( Estrella Uniforme) Triacontaedro r??mbico ( Uniforme dual) C??pula pentagonal elongada ( Convexo regular cara) Prisma octogonal ( Prisma Uniforme) Antiprisma cuadrado ( Antiprisma Uniforme)

Un poliedro (poliedros plural o poliedros) se define a menudo como una geom??trica objeto con caras planas y bordes rectos (la palabra poliedro viene del griego cl??sico πολυεδρον, del poli, tallo de πολυς, "muchos" + -edron, forma de εδρον, "base", "asiento", o "cara").

Esta definici??n de un poliedro no es muy precisa, y para un matem??tico moderno es bastante insatisfactoria. Gr??nbaum (1994, p.43) observa que:

La Pecado original en la teor??a de poliedros se remonta a Euclides , y por medio de Kepler , Poinsot, Cauchy y muchos otros ... [en que] en cada etapa ... los escritores no pudieron definir qu?? son los "poliedros '...

Los matem??ticos modernos ni siquiera se ponen de acuerdo en cuanto a exactamente lo que hace que algo sea un poliedro.

??Qu?? es un poliedro?

Al menos podemos decir que un poliedro se construye a partir de diferentes tipos de elemento o entidad, cada uno asociado con un n??mero diferente de dimensiones:

• 3 dimensiones: El cuerpo est?? limitado por las caras, y es por lo general el volumen interior.
• 2 dimensiones: A cara est?? delimitada por un circuito de bordes, y es generalmente un (plano) regi??n plana llama un pol??gono . Las caras juntas forman la superficie poli??drica.
• 1 dimensi??n: Un borde se une a un v??rtice a otro y de una cara a otra, y es generalmente una l??nea de alg??n tipo. Los bordes juntos conforman el esqueleto poli??drica.
• 0 dimensiones: A v??rtice (v??rtices plural) es una esquina punto.
• Dimensi??n -1: La nulidad es una especie de no-entidad requerida por abstractas teor??as.

De forma m??s general en las matem??ticas y otras disciplinas "poliedro" se utiliza para referirse a una variedad de construcciones relacionadas, algunos geom??trica y otros puramente algebraica o abstracto.

Una caracter??stica definitoria de casi todo tipo de poliedros es que s??lo dos caras se unen a lo largo de cualquier borde com??n. Esto asegura que la superficie poli??drica est?? conectada de forma continua y no termina abruptamente o dividida en diferentes direcciones.

Un poliedro es un ejemplo 3-dimensional de la m??s general politopo en cualquier n??mero de dimensiones.

Caracter??sticas

Poliedros Naming

Poliedros a menudo se denominan de acuerdo con el n??mero de caras. El sistema de nombres se basa de nuevo en griego cl??sico, por ejemplo tetraedro (4), pentaedro (5), hexaedro (6), heptahedron (7), triacontaedro (30), y as?? sucesivamente.

A menudo esto es calificado por una descripci??n de los tipos de rostros presentes, por ejemplo, el Dodecaedro r??mbico vs. Dodecaedro pentagonal.

Otros nombres comunes indican que alguna operaci??n se ha realizado en un poliedro m??s simple, por ejemplo la cubo truncado parece un cubo con sus esquinas cortadas, y cuenta con 14 caras (por lo que tambi??n es un ejemplo de un tetrakaidecahedron).

Algunos poliedros especial han crecido sus propios nombres en los ??ltimos a??os, tales como Monstruo de Miller o el Poliedro Szilassi.

Bordes

Los bordes tienen dos caracter??sticas importantes (a menos que el poliedro es complejo ):

• Un borde se une s??lo dos v??rtices.
• Un borde se une a dos caras.

Estas dos caracter??sticas son duales entre s??.

Caracter??stica de Euler

La caracter??stica de Euler χ relaciona el n??mero de v??rtices V, los bordes E, y se enfrenta a F de un poliedro:

χ = V - E + F.

Para simplemente poliedro conectado, χ = 2. Para una discusi??n detallada, ver Pruebas y Refutaciones por Imre Lakatos.

Dualidad

Por cada poliedro hay una poliedro dual que tiene caras en lugar de los v??rtices de la original y viceversa. En la mayor??a de los casos, el dual se puede obtener por el proceso de movimiento alternativo esf??rica.

Figura de la cima

Para cada v??rtice se puede definir una Figura v??rtice formado por los v??rtices se uni?? a ella. El v??rtice se dice que es regular si se trata de un pol??gono regular y sim??trica con respecto a todo el poliedro.

Poliedros Tradicional

Un dodecaedro

En geometr??a , un poliedro es tradicionalmente una forma tridimensional que se compone de un n??mero finito de poligonal caras que son partes de los aviones ; las caras se encuentran en pares a lo largo de bordes que son en l??nea recta segmentos, y los bordes se encuentran en los puntos de llamada v??rtices. Cubos , prismas y pir??mides son ejemplos de poliedros. El poliedro rodea un volumen delimitado en el espacio tridimensional; A veces, este volumen interior se considera que es parte del poliedro, a veces s??lo la superficie se considera, y en ocasiones s??lo el esqueleto de bordes.

Un poliedro se dice que es Convex si su superficie (que comprende sus caras, aristas y v??rtices) no cruza a s?? mismo y el segmento que une dos puntos cualesquiera del poliedro est?? contenida en el interior y la superficie.

Poliedros sim??tricos

Muchos de los poliedros m??s estudiados son muy sim??trica .

Por supuesto, es f??cil de distorsionar tales poliedros para que ya no son sim??tricos. Pero cuando se le da un nombre poli??drica, como icosidodecaedro, la geometr??a m??s sim??trica es casi siempre impl??cita, a menos que se indique lo contrario.

Algunos de los nombres m??s comunes, en particular, se utilizan a menudo con "regular" delante o impl??cita porque para cada uno hay diferentes tipos que tienen poco en com??n, excepto por tener el mismo n??mero de caras. Estos son los tetraedro , cubo , octaedro , dodecaedro icosaedro:

Poliedros de las m??s altas simetr??as tiene todo de alg??n tipo de elemento - caras, bordes y / o v??rtices, dentro de una sola ??rbita simetr??a. Hay varias clases de tales poliedros:

• Isogonal o Vertex-transitiva si todos los v??rtices son los mismos, en el sentido de que para cualquier par de v??rtices existe una la simetr??a del poliedro mapeo de la primera isom??tricamente en el segundo.
• Isotoxal o -Edge transitiva si todos los bordes son los mismos, en el sentido de que para dos bordes existe una simetr??a de la cartograf??a poliedro la primera isom??tricamente en el segundo.
• Isohedral o Cara transitiva si todas las caras son iguales, en el sentido de que para dos caras existe una simetr??a de la cartograf??a poliedro la primera isom??tricamente en el segundo.
• Regular si es v??rtice transitivos, biselado transitiva y cara transitiva (esto implica que cada rostro es el mismo pol??gono regular; tambi??n implica que cada v??rtice es regular).
• Cuasi-regular si es v??rtice transitivos e-borde transitiva (y por lo tanto tiene caras regulares), pero no cara transitiva. Un doble cuasi-regular es cara transitivos e-borde transitiva (y por lo tanto cada v??rtice es regular) pero no v??rtice-transitivo.
• Semi-regular si es v??rtice transitiva pero no Edge-transitivo, y cada cara es un pol??gono regular. (Esta es una de las varias definiciones del t??rmino, dependiendo de autor. Algunas definiciones se superponen con la clase cuasi-regular). Un doble semi-regular es cara pero no transitiva v??rtice-transitivo, y cada v??rtice es regular.
• Uniforme si es v??rtice transitivos y cada cara es un pol??gono regular, es decir, que es regular, cuasi-regular o semi-regular. Un doble uniforme es cara transitiva y tiene v??rtices regulares, pero no es necesariamente v??rtice transitiva).
• Noble si es cara transitivo y v??rtice transitiva (pero no necesariamente de canto transitiva). Los poliedros regulares tambi??n son nobles; que son la ??nica poliedros uniformes noble.

Un poliedro puede pertenecer al mismo grupo en general simetr??a como uno de mayor simetr??a, pero tendr?? varios grupos de elementos (por ejemplo caras) en diferentes ??rbitas de simetr??a.

Poliedros uniformes y sus duales

Poliedros uniformes son v??rtice-transitivo y cada cara es un pol??gono regular. Pueden ser regular, cuasi-regular, o semi-regular, y puede ser convexa o estrellado.

El uniforme duales son cara transitiva y cada figura de la cima es un pol??gono regular.

Cara-transitividad de un poliedro corresponde al v??rtice-transitividad de la doble ya la inversa, y el borde-transitividad de un poliedro corresponde al borde transitividad de la doble. En la mayor??a de los duales de poliedros uniformes, caras son pol??gonos irregulares. El poliedros regulares son una excepci??n, ya que son duales entre s??.

Cada poliedro uniforme comparte la misma simetr??a que su doble, con las simetr??as de caras y v??rtices simplemente intercambiados. Debido a esto algunas autoridades consideran que los duales como uniforme tambi??n. Pero esta idea no es muy frecuente: un poliedro y sus simetr??as no son la misma cosa.

El poliedros uniformes y sus duales se clasifican tradicionalmente seg??n su grado de simetr??a, y si son convexa o no.

Poliedros Noble

La noble poliedro es tanto isohedral (igual de cara) y isogonal (igual esquinas). Adem??s de los poliedros regulares, hay muchos otros ejemplos.

La dual de un poliedro noble tambi??n es noble.

Grupos de simetr??a

El poli??drico grupos de simetr??a son todos grupos de puntos e incluyen:

• T - quiral simetr??a tetra??drica; el grupo de rotaci??n para un habitual tetraedro ; orden 12.
• T _d - completo simetr??a tetra??drica; el grupo de simetr??a de un habitual tetraedro ; orden 24.
• T _h - simetr??a piritoedro; orden 24. La simetr??a de un piritoedro.
• O - quiral simetr??a octa??drica; el grupo de rotaci??n del cubo y octaedro ; orden 24.
• O _h - completo simetr??a octa??drica; el grupo de simetr??a del cubo y octaedro ; orden 48.
• I - quiral simetr??a icosa??drica; el grupo de rotaci??n de la icosaedro y la dodecaedro; orden 60.
• I _h - completo simetr??a icosa??drica; el grupo de simetr??a de la icosaedro y la dodecaedro; ordenar 120.
• C _nv - n simetr??a piramidal -fold
• D _nh - n simetr??a prism??tica -fold
• D _nv - n simetr??a antiprismatic -fold

Aquellos con simetr??a quiral no tienen reflexi??n simetr??a y por lo tanto tienen dos formas enantiomorfos que son reflejos de s??. Los poliedros de Arqu??medes chatas tienen esta propiedad.

Otros poliedros con caras regulares

Caras iguales regulares

Unas pocas familias de poliedros, donde cada cara es el mismo tipo de pol??gono:

• Deltaedros tiene tri??ngulos equil??teros de rostros.

• Con respecto a los poliedros cuyas caras son todas las plazas: si caras coplanares no est??n permitidos, incluso si est??n desconectados, no es s??lo el cubo. De lo contrario no es tambi??n el resultado de pegar seis cubos a los lados de uno, los siete del mismo tama??o; que tiene 30 caras cuadradas (contando caras desconectadas en el mismo plano que aparte). Esto se puede ampliar en una, dos o tres direcciones: podemos considerar la uni??n de forma arbitraria muchas copias de estas estructuras, obtenidos por las traducciones de (expresado en tama??os de cubo) (2,0,0), (0,2,0 ), y / o (0,0,2), por lo tanto, con cada par adyacente que tiene un cubo com??n. El resultado puede ser cualquier conjunto de cubos conectado con posiciones (a, b, c), con n??meros enteros a, b, c de los cuales como m??ximo una es par.

• No hay ning??n nombre especial para poliedros cuyas caras son todas pent??gonos o pentagramas equil??teros. Hay infinitamente muchos de ellos, pero s??lo uno es convexa: el dodecaedro. El resto se ensamblan por (pegar) combinaciones de los poliedros regulares descrito anteriormente: el dodecaedro, el peque??o dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado y la gran icosaedro.

No existe un poliedro cuyas caras son todas id??nticas y son pol??gonos regulares con seis o m??s lados debido a que el v??rtice de tres hex??gonos regulares define un plano. (Ver poliedro inclinaci??n infinita excepciones con zig-zag cifras v??rtice.)

Deltaedros

La Deltaedro (deltaedros plural) es un poliedro cuyas caras son todas tri??ngulos equil??teros. Hay infinitos deltaedros, pero s??lo ocho de ellos son convexos:

• 3 poliedros convexos regular (3 de los s??lidos plat??nicos)
  • Tetraedro
  • Octaedro
  • Icosaedro
• Poliedros convexos 5 no uniforme (5 de los s??lidos de Johnson)
  • Bipir??mide triangular
  • Bipir??mide pentagonal
  • Biesfenoide romo
  • Prisma triangular triaumentado
  • Dipir??mide plaza giroelongada

S??lidos de Johnson

Norman Johnson buscado que poliedros no uniforme ten??a caras regulares. En 1966 , public?? una lista de 92 s??lidos convexos, ahora conocido como el S??lidos de Johnson, y les dieron sus nombres y n??meros. ??l no demostr?? que s??lo hab??a 92, pero lo hizo conjetura de que no hab??a otros. Victor Zalgaller en 1969 demostr?? que la lista de Johnson fue completa.

Otras familias importantes de poliedros

Pir??mides

Pyramids se compone de algunos de los ya famosos de todos los poliedros m??s honrado tiempo.

Stellations y facettings

Stellation de un poliedro es el proceso de ampliaci??n de las caras (dentro de sus aviones), para que se re??nen para formar un nuevo poliedro.

Es el rec??proco exacta para el proceso de facetado que es el proceso de eliminaci??n de partes de un poliedro sin crear nuevos v??rtices.

Zonohedra

La zonohedron es un poliedro convexo donde cada cara es un pol??gono con inversi??n de la simetr??a o, equivalentemente, simetr??a bajo rotaciones a trav??s de 180 ??.

Compuestos

Compuestos poli??dricos est??n formadas como compuestos de dos o m??s poliedros.

Estos compuestos a menudo comparten los mismos v??rtices como otros poliedros y se forman a menudo por constelaci??n. Algunas est??n listadas en el lista de modelos poliedro Wenninger.

Ortogonal poliedros

Un poliedro ortogonal es uno todas cuyas caras satisfacer en ??ngulos rectos, y todos cuyos bordes son paralelos a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. Aparte de una caja rectangular, poliedros son ortogonales no convexo. Son los an??logos 3D de 2D pol??gonos ortogonales (tambi??n conocido como pol??gonos rectil??neos). Poliedros ortogonales se utilizan en la geometr??a computacional, donde su estructura restringida ha permitido avances en problemas no resueltos por los poliedros arbitraria, por ejemplo, desplegando la superficie de un poliedro a una neto (poliedro).

Las generalizaciones de poliedros

El nombre 'poliedro' ha llegado a ser utilizado para una variedad de objetos que tienen propiedades estructurales similares a poliedros tradicional.

Apeirohedra

Una superficie poli??drica cl??sica comprende finito, regiones planas delimitadas, se uni?? en parejas a lo largo de los bordes. Si tal superficie se extiende indefinidamente se denomina apeirohedron. Los ejemplos incluyen:

• Embaldosados o teselaciones del plano.
• Estructuras similares a esponjas llamadas poliedros inclinaci??n infinita.

Ver tambi??n: Apeir??gono - infinito pol??gono regular: {∞}

Poliedros Complejo

La poliedro complejo es uno que est?? construido de unitaria 3-espacio. Este espacio tiene seis dimensiones: tres reales correspondientes al espacio com??n, con cada uno acompa??ado de una dimensi??n imaginaria. V??ase, por ejemplo Coxeter (1974).

Poliedros curvo

Algunos campos de estudio permitir?? a los poliedros de caras y aristas curvas.

Poliedros esf??ricos

La superficie de una esfera puede ser dividido por segmentos de l??nea en regiones delimitadas, para formar un poliedro esf??rica. Gran parte de la teor??a de poliedros sim??tricos lo m??s sencillo es derivada de esta manera.

Poliedros esf??ricos tienen una larga y respetable historia:

• Los primeros poliedros conocidos por el hombre son poliedros esf??ricos tallada en piedra.
• Poinsot utiliza poliedros esf??ricos para descubrir los poliedros regulares de cuatro estrellas.
• Coxeter los us?? para enumerar todos menos uno de los poliedros uniformes.

Algunos poliedros, como hosohedra, existiendo s??lo como poliedros esf??ricos y no tienen ning??n an??logo de cara plana.

Poliedros spacefilling curvo

Dos tipos importantes son:

• Burbujas en espumas y espumas.
• Espacial compacto formularios utilizados en la arquitectura. V??ase por ejemplo Pearce (1978).

M??s hay que decir acerca de estos, tambi??n.

Poliedros general

M??s recientemente las matem??ticas ha definido un poliedro como un conjunto de bienes af??n (o euclidiana ) de cualquier espacio n-dimensional que tiene lados planos. Se podr??a definir como la uni??n de un n??mero finito de poliedros convexos, donde un poliedro convexo es cualquier conjunto que es la intersecci??n de un n??mero finito de semiespacios. Puede ser limitado o ilimitado. En este sentido, una politopo es un poliedro acotado.

Todos los poliedros tradicionales son poliedros en general, y adem??s hay ejemplos como:

• Un cuadrante en el plano. Por ejemplo, la regi??n del plano cartesiano que consiste en todos los puntos por encima del eje horizontal y a la derecha del eje vertical: {(x, y): x ≥ 0, y ≥ 0}. Sus lados son los dos ejes positivos.
• Un octante en euclidiana 3-espacio, {(x, y, z): x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.
• Un prisma de extensi??n infinita. Por ejemplo, un prisma cuadrado doblemente infinito en 3-espacio, que consta de un cuadrado en el plano xy xy barrido a lo largo del eje x z: {(x, y, z): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
• Cada c??lula en una Teselaci??n de Voronoi es un poliedro convexo. En la teselaci??n de Voronoi de un conjunto S, la c??lula A correspondiente a un punto c ∈ S est?? limitada (por lo tanto un poliedro tradicional) cuando c se encuentra en el interior de la casco convexo de S, y de lo contrario (cuando c se encuentra en el l??mite de la envolvente convexa de S) A es ilimitada.

Hollow cara o esquel??tica poliedros

No es necesario llenar la cara de una figura antes de que podamos llamarlo un poliedro. Por ejemplo Leonardo da Vinci dise???? modelos de marco de los s??lidos regulares, que ??l dibuj?? para El libro de Pacioli divina proporci??n. En los tiempos modernos, Branko Gr??nbaum (1994) hizo un estudio especial de esta clase de poliedros, en la que desarroll?? una idea temprana de poliedros abstracto. Defini?? una cara como un conjunto ordenado de v??rtices c??clicamente, y permiti?? que se enfrenta a ser sesgar as?? como planar.

Tessellations o embaldosados

Tessellations o teselaciones del plano a veces son tratados como poliedros, porque tienen mucho en com??n. Por ejemplo los regulares se pueden dar S??mbolos Schl??fli.

Poliedros no geom??trica

Se han encontrado varias construcciones matem??ticas que tienen propiedades tambi??n presentes en poliedros tradicional.

Poliedros topol??gica

Un politopo topol??gico es un espacio topol??gico se administra junto con una descomposici??n espec??fica en formas que son topol??gicamente equivalente a politopos convexos y que est??n unidos entre s?? de una manera regular.

Esta cifra se llama simplicial si cada una de sus regiones es una simplex, es decir, en un espacio dimensional n cada regi??n tiene n 1 v??rtices. El dual de un politopo simplicial se llama simple. Del mismo modo, una clase ampliamente estudiado de politopos (poliedros) es el de poliedros c??bico, cuando el bloque de construcci??n b??sico es un cubo dimensional n.

Resumen poliedros

Un poliedro es un resumen parcialmente ordenado conjunto (conjunto parcialmente ordenado) de elementos. Las teor??as difieren en detalle, pero esencialmente los elementos del conjunto se corresponden con el cuerpo, caras, bordes y v??rtices del poliedro. El conjunto vac??o corresponde a la politopo null, o nullitope, que tiene una dimensionalidad de -1. Estos Posets pertenecen a la gran familia de politopos abstractos en cualquier n??mero de dimensiones.

Poliedros como gr??ficos

Cualquier poliedro da lugar a una gr??fico, o esqueleto, con v??rtices y aristas correspondientes. As?? gr??fico de propiedades terminolog??a y se pueden aplicar a los poliedros. Por ejemplo:

• Debido a Steinitz teorema de poliedros convexos est??n en correspondencia uno a uno con los grafos planos 3 conectados.
• El tetraedro da lugar a una grafo completo (K _4). Es el ??nico poliedro para hacerlo.
• El octaedro da lugar a una fuertemente gr??fico regular, porque los v??rtices adyacentes siempre tienen dos vecinos comunes, y v??rtices no adyacentes tienen cuatro.
• La S??lidos de Arqu??medes dan lugar a gr??ficos regulares: 7 de los s??lidos de Arqu??medes son de grado 3, 4 de grado 4, y los 2 restantes son pares quirales de grado 5.

Historia

Prehistoria

Piedras talladas en formas que muestran las simetr??as de varios poliedros se han encontrado en Escocia y pueden ser hasta un 4.000 a??os de antig??edad. Estas piedras muestran no s??lo la forma de varios polyehdra sim??trico, sino tambi??n las relaciones de dualidad entre algunos de ellos (es decir, que los centros de las caras del cubo da los v??rtices de un octaedro, y as?? sucesivamente). Ejemplos de estas piedras est??n en exhibici??n en el Sala de John Evans, del Ashmolean Museum de la Universidad de Oxford . Es imposible saber por qu?? se hicieron estos objetos, o c??mo el escultor gan?? la inspiraci??n para ellos.

Otros poliedros han supuesto dejado su huella en la arquitectura - cubos y paralelep??pedos siendo ejemplos obvios, con las primeras pir??mides de cuatro lados del antiguo Egipto tambi??n datan de la Edad de Piedra.

La Etruscos precedido los griegos en su conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento cerca Padua (en el norte de Italia ) a finales de 1800 de un dodecaedro hecho de esteatita, y que datan de hace m??s de 2.500 a??os (Lindemann, 1987). Cristales Pyritohedric se encuentran en el norte de Italia.

Griegos

Los conocidos primeros registros escritos de estas formas provienen de cl??sicos griegos autores, que tambi??n dieron la descripci??n matem??tica primero conocido de ellos. Los griegos anteriores estaban interesados principalmente en el poliedros regulares convexos, mientras que Arqu??medes m??s tarde ampli?? su estudio a la convexa poliedros uniformes.

Musulmanes y chinos

Tras el final de la era cl??sica, eruditos isl??micos continuaron haciendo avances, por ejemplo, en el siglo X Abul Wafa describe los poliedros esf??rica regular y quasiregular convexa. Mientras tanto, en China, se utiliz?? la disecci??n del cubo en su tetraedro caracter??stica (orthoscheme) y los s??lidos relacionados como base para el c??lculo de vol??menes de tierra para ser movido durante las excavaciones de ingenier??a.

Renacimiento

Mucho que decir aqu??: Piero della Francesca, Pacioli, Leonardo Da Vinci, Wenzel Jamnitzer, Durero, etc. previos a Kepler.

Estrella poliedros

Por casi 2000 a??os, el concepto de un poliedro se hab??a mantenido como el desarrollado por los antiguos matem??ticos griegos.

Johannes Kepler se dio cuenta de que los pol??gonos estrella podr??a ser utilizados para construir poliedros estrella, que tienen pol??gonos regulares no convexos, t??picamente pentagramas como caras. Algunos de estos poliedros estrella puede haber sido descubierto antes de la ??poca de Kepler, pero ??l fue el primero en reconocer que podr??an considerarse "normal" si uno retira la restricci??n de que los politopos regulares convexos. M??s tarde, Louis Poinsot dio cuenta de que estrellas figuras de v??rtice (circuitos alrededor de cada esquina) tambi??n pueden ser utilizados, y descubrieron los dos poliedros regulares estrella restante. Cauchy demostr?? lista de Poinsot completa y Cayley les dio sus nombres en ingl??s aceptados: (Kepler) la peque??o dodecaedro estrellado y gran dodecaedro estrellado, y (Poinsot de) la gran icosaedro y gran dodecaedro. Colectivamente se les llama la Poliedros de Kepler-Poinsot.

El poliedros Kepler-Poinsot puede ser construido a partir de los s??lidos plat??nicos por un proceso llamado constelaci??n. La mayor??a de las constelaciones no son regulares. El estudio de las constelaciones de los s??lidos plat??nicos se le dio un gran impulso por HSM Coxeter y otros en 1938, con el ahora famoso art??culo El 59 icosaedro. Este trabajo ha sido recientemente re-publicado (Coxeter, 1999).

El proceso rec??proco a stellation se llama facetado (o facetas). Cada constelaci??n de uno politopo es dual, o rec??proco, en cierta facetado del politopo dual. El poliedros estrella regular tambi??n puede obtenerse a trav??s de facetear los s??lidos plat??nicos. Puente 1974 enumer?? los facettings m??s simples del dodecaedro, y les correspondi?? a descubrir una constelaci??n del icosaedro que le faltaba a la famosa "59". M??s se han descubierto desde entonces, y la historia a??n no est?? terminado.

Ver tambi??n:

• Poliedro regular: Historia
• Politopo regular: Historia del descubrimiento.

Poliedros en la naturaleza

Para ocurrencias naturales de poliedros regulares, consulte Poliedro regular: Historia.

Poliedros irregulares aparecen en la naturaleza como cristales .

Libros sobre poliedros

Libros de introducci??n, tambi??n es adecuado para uso escolar

• Cromwell, P .; poliedros, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Cundy, HM y Rollett, AP; modelos matem??ticos, primero Edn. hbk OUP (1951), 2?? Ed. hbk OUP (1961), 3?? edici??n. pbk Tarquin (1981).
• Holden; formas, el espacio y la simetr??a, (1971), Dover PBK (1991).
• Pearce, P y Pearce, S: imprimaci??n poliedros, Van Nost. Reinhold (mayo de 1979), ISBN-10: 0442264968 ISBN-13: 978-0442264963.
• Tarquin publicaciones: libros de recorte y hacen modelos de tarjetas.
• Wenninger, modelos M .; Poliedro para el aula, PBK (1974)
• Wenninger, modelos M .; Poliedro, CUP hbk (1971), PBK (1974).
• Wenninger, M .; modelos esf??ricos, CUP.
• Wenninger, M .; modelos Dual, CUP.

Nivel de Pregrado

• Coxeter, HSM DuVal, Flather y Petrie; El cincuenta y nueve icosahedra, 3?? edici??n. Tarquino.
• Coxeter, HSM Doce ensayos geom??tricos. Reeditado como La belleza de la geometr??a, de Dover.
• Crecimiento Thompson, Sir D'AW On y forma, (1943). (No estoy seguro si esto es la categor??a adecuada para ??ste, yo no lo he le??do).

Dise??o y arquitectura sesgo

• Critchlow, K .; Orden en el espacio.
• Pearce, P .; Estructura en la naturaleza es una estrategia para el dise??o, el MIT (1978)
• Williams, R .; La base geom??trica de la estructura natural, Dover (1979).

Textos matem??ticos avanzados

• Coxeter, HSM; politopos regulares tercera Edn. Dover (1973).
• Coxeter, HSM; politopos regulares complejas, CUP (1974).
• Lakatos, Imre; Pruebas y Refutaciones, Cambridge University Press (1976) - la discusi??n de la prueba de la caracter??stica de Euler
• Varios m??s que a??adir aqu??.

Libros hist??ricos

• Br??ckner, Vielecke und Vielflache (pol??gonos y poliedros), (1900).
• Fejes Toth, L .;