Triángulo

Un triángulo es uno de los básico formas de la geometría : un polígono con tres esquinas o vértices y tres lados o bordes que son segmentos de línea.

En la geometría euclidiana cualesquiera tres no puntos colineales determinan un triángulo único y un único plano (es decir, de dos dimensiones espacio cartesiano ).

Un triángulo.

Tipos de triángulos

Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con la longitud relativa de sus lados:

• En una triángulo equilátero, todos los lados son de igual longitud. Un triángulo equilátero es también un polígono equiangular, es decir, todos sus internos ángulos son iguales, es decir, 60 °; es un polígono regular.
• En un triángulo isósceles, dos lados tienen la misma longitud (originalmente y convencionalmente limitado a exactamente dos). Un triángulo isósceles también tiene dos ángulos iguales: los ángulos opuestos a los dos lados iguales.
• En un triángulo escaleno, todas las partes tienen diferentes longitudes. Los ángulos internos de un triángulo escaleno son todas diferentes.

Equilátero	Isósceles	Escaleno

Triángulos también se pueden clasificar de acuerdo con sus ángulos internos, descritos a continuación usando grados de arco:

• La triángulo rectángulo (o triángulo rectángulo, antes llamado un triángulo rectangled) tiene un ángulo de 90 ° interno (un ángulo recto ). El lado opuesto al ángulo recto es el hipotenusa; es el lado más largo del triángulo rectángulo. Los otros dos lados son las piernas o los catetos (singular: cateto) del triángulo.
• Un triángulo oblicuo no tiene ángulo interno igual a 90 °.
• Un triángulo es un triángulo obtuso oblicua con un ángulo interno mayor de 90 ° (un ángulo obtuso ).
• Un triángulo agudo es un triángulo oblicuo con ángulos internos todos menores de 90 ° (tres ángulos agudos ). Un triángulo equilátero es un triángulo agudo, pero no todos los triángulos agudos son triángulos equiláteros.

Derecho	Obtuso	Agudo
	Oblicuo

Hechos básicos

Hechos elementales sobre triángulos fueron presentados por Euclides en los libros 1-4 de sus elementos alrededor 300 antes de nuestra era. Un triángulo es un polígono y un 2- simplex (ver politopo). Todos los triángulos son de dos dimensional.

Los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Una ángulo exterior de un triángulo (un ángulo que es adyacente y complementario a un ángulo interno) es siempre igual a los dos ángulos de un triángulo que no es adyacente / complementario. Como todo polígonos convexos, los ángulos exteriores de un triángulo suman 360 grados.

La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo siempre supera la longitud del tercer lado. Esa es la desigualdad triangular. (En el caso especial de la igualdad, dos de los ángulos se han derrumbado a tamaño cero, y el triángulo ha degenerado en un segmento de línea.)

Dos triángulos se dice que son similar si y sólo si los ángulos de uno son iguales a los ángulos correspondientes de la otra. En este caso, las longitudes de sus lados correspondientes son proporcional. Esto ocurre por ejemplo cuando dos triángulos comparten un ángulo y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos.

Unos postulados y teoremas básicos sobre triángulos semejantes:

• Dos triángulos son semejantes si al menos dos ángulos correspondientes son iguales.
• Si dos lados correspondientes de dos triángulos son en proporción, y sus ángulos incluidos son iguales, los triángulos son similares.
• Si los tres lados de dos triángulos son en proporción, los triángulos son similares.

Durante dos triángulos sean congruentes, cada uno de sus ángulos correspondientes y lados debe ser igual (6 en total). Unos postulados y teoremas básicos sobre triángulos congruentes:

• SAS Postulado: Si dos lados y los ángulos incluidos de dos triángulos son correspondientemente iguales, los dos triángulos son congruentes.
• SSS Postulado: Si cada lado de dos triángulos son correspondientemente iguales, los triángulos son congruentes.
• ASA Postulado: Si dos ángulos y los lados comprendidos de dos triángulos son correspondientemente iguales, los dos triángulos son congruentes.
• AAS Teorema: Si dos ángulos y cualquier lateral de dos triángulos son correspondientemente iguales, los dos triángulos son congruentes.
• Hipotenusa-Leg Teorema: Si las hipotenusas y una pierna de dos triángulos rectángulos son correspondientemente iguales, los triángulos son congruentes.

El uso de triángulos rectángulos y el concepto de similitud, la funciones trigonométricas seno y coseno pueden ser definidos. Estas son funciones de un ángulo que se investigó en la trigonometría .

En la geometría euclidiana, la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 °. Esto permite determinar el tercer ángulo de un triángulo tan pronto como se conocen dos ángulos.

El teorema de Pitágoras

Un teorema central es el teorema de Pitágoras , que establece en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si la hipotenusa tiene longitud c, y las piernas tienen longitudes A y B, luego las teorema que

Lo contrario es cierto: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen la ecuación anterior, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Algunos otros hechos sobre triángulos rectángulos:

• Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementario.
• Si las piernas de un triángulo rectángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos de las piernas son iguales, aguda y complementaria, y por lo tanto son ambos 45 grados. Por el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de dos veces la longitud de una pierna.
• En un triángulo rectángulo 30-60, en la que los ángulos agudos miden 30 y 60 grados, la hipotenusa es dos veces la longitud del lado más corto.
• En todos los triángulos rectángulos, la mediana de la hipotenusa es el medio de la hipotenusa.

Para todos los triángulos, ángulos y lados están relacionadas por la ley de los cosenos y ley de los senos.

Puntos, líneas y círculos asociados con un triángulo

Hay cientos de diferentes construcciones que encuentran un punto especial en el interior de un triángulo, que cumplan alguna propiedad única: ver la sección de referencias para un catálogo de ellos. A menudo se construyen mediante la búsqueda de tres líneas asociadas de manera simétrica con los tres lados (o vértices) y luego probar que las tres líneas se encuentran en un solo punto: una herramienta importante para demostrar la existencia de estos es El teorema de Ceva, lo que da un criterio para determinar cuando tres de tales líneas son concurrente. Del mismo modo, las líneas asociadas con un triángulo se construyen a menudo probando que tres puntos simétricamente construidos son colineales: aquí Teorema de Menelao da un criterio general útil. En esta sección se explican sólo algunas de las construcciones más encontradas comúnmente.

La circuncentro es el centro de un círculo que pasa a través de los tres vértices del triángulo.

La mediatriz de un triángulo es una línea recta que pasa por el punto medio de un lado y ser perpendicular a él, es decir, formando un ángulo recto con ella. Las tres mediatrices se reúnen en un solo punto, del triángulo circuncentro; este punto es el centro de la circunferencia circunscrita, el círculo que pasa por los tres vértices. El diámetro de este círculo se puede encontrar a partir de la ley de los senos se ha dicho.

Teorema de Tales implica que si el circuncentro está situado en un lado del triángulo, entonces el ángulo opuesto es un derecho. Más es cierto: si el circuncentro está situado dentro del triángulo, entonces el triángulo es agudo; Si el circuncentro se encuentra fuera del triángulo, entonces el triángulo es obtuso.

La intersección de las altitudes es el ortocentro.

Una altitud de un triángulo es una línea recta a través de un vértice y perpendicular a (es decir, formando un ángulo recto con) el lado opuesto. Este lado opuesto se llama la base de la altitud, y el punto donde la altitud se cruza con la base (o su extensión) se llama al pie de la altitud. La longitud de la altitud es la distancia entre la base y el vértice. Los tres altitudes se cruzan en un solo punto, llamado ortocentro del triángulo. El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y sólo si el triángulo es agudo. Los tres vértices, junto con el ortocentro se dice que forman un sistema orthocentric.

La intersección de las bisectrices de los ángulos encuentra el centro de la circunferencia inscrita.

Una ángulo bisector de un triángulo es una línea recta a través de un vértice que corta el ángulo correspondiente a la mitad. Las tres bisectrices de los ángulos se cruzan en un solo punto, el incentro, el centro del triángulo de circunferencia inscrita. La circunferencia inscrita es el círculo que se encuentra dentro del triángulo y toca los tres lados. Hay otras tres círculos importantes, la excircles; que se encuentran fuera del triángulo y tocan un lado, así como las extensiones de los otros dos. Los centros de la in- y excircles forman sistema orthocentric.

La baricentro es el centro de gravedad.

La mediana de un triángulo es una línea recta a través de un vértice y el punto medio del lado opuesto, y divide el triángulo en dos áreas iguales. Las tres medianas se cruzan en un solo punto, el triángulo de centroide. Este es también el triángulo centro de gravedad : si el triángulo se hace fuera de la madera, por ejemplo, usted podría equilibrio sobre su centro de gravedad, o en cualquier línea a través del centro de gravedad. El centroide cortes cada mediana en la proporción 2: 1, es decir, la distancia entre un vértice y el centroide es dos veces tan grande como la distancia entre el centroide y el punto medio del lado opuesto.

Circunferencia de los nueve puntos demuestra una simetría donde seis puntos se encuentran en el borde del triángulo.

Los puntos medios de los tres lados y los pies de las tres alturas todos se encuentran en un solo círculo, el triángulo de nueve puntos círculo. Los tres puntos restantes para los que se nombra son los puntos medios de la parte de altitud entre los vértices y la ortocentro. El radio del círculo de nueve puntos es la mitad de la circunferencia circunscrita. Se toca la circunferencia inscrita (en el Punto de Feuerbach) y los tres excircles.

Línea de Euler es una línea recta a través del centroide (naranja), ortocentro (azul), circuncentro (verde) y el centro del círculo de nueve puntos (rojo).

El centro de gravedad (amarillo), ortocentro (azul), circuncentro (verde) y baricentro del círculo de nueve puntos (punto rojo) se encuentran todos en una sola línea, conocido como Línea de Euler (línea roja). El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad que entre el centroide y el ortocentro.

El centro de la circunferencia inscrita no es, en general, se encuentra en la línea de Euler.

Si uno refleja una mediana en la bisectriz del ángulo que pasa por el mismo vértice, se obtiene una simediano. Los tres simedianas se intersecan en un solo punto, el simediano del triángulo.

Calcular el área de un triángulo

Cálculo del área de un triángulo es un problema elemental encontrado a menudo en muchas situaciones diferentes. La fórmula más conocida y más simple es

donde es el área, es la longitud de la base del triángulo, y es la altura o la altitud del triángulo. El término "base" se refiere a cualquier lado, y 'height' denota la longitud de una perpendicular desde el punto opuesto al lado en el lado sí.

Aunque simple, esta fórmula sólo es útil si la altura se puede encontrar fácilmente. Por ejemplo, el inspector de un campo triangular mide la longitud de cada lado, y se puede encontrar el área de sus resultados sin tener que construir una "altura". Varios métodos se pueden utilizar en la práctica, dependiendo de lo que se conoce sobre el triángulo. La siguiente es una selección de las fórmulas utilizadas con frecuencia para el área de un triángulo.

El uso de vectores

El área de un paralelogramo se puede calcular utilizando vectores . Deje vectores AB y AC, respectivamente, desde el punto A a B y de A a C. El área de paralelogramo ABDC es entonces | AB × AC |, que es la magnitud de la cruz producto de los vectores AB y AC. | AB × AC | es igual a | h × AC |, donde h representa la altura h como vector.

El área del triángulo ABC es la mitad de esto, o S = ½ | AB × AC |.

El área del triángulo ABC también se puede expresar en términos de productos de puntos como sigue:

La aplicación de la trigonometría para encontrar la altitud h.

Utilizando la trigonometría

La altura de un triángulo se puede encontrar a través de una aplicación de la trigonometría . Utilizando el etiquetado como en la imagen de la izquierda, la altura es h = a γ pecado. Sustituyendo esto en la fórmula S = ½ bh derivado anteriormente, el área del triángulo se puede expresar como:

Además, puesto que el pecado α = sin (π - α) = sin (β + γ), y de manera similar para los otros dos ángulos:

Usando coordenadas

Si el vértice A se encuentra en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas y las coordenadas de los otros dos vértices están dadas por B = (x _B, y _B) y C = (x _C, y _C), a continuación, la zona S se puede calcular como ½ veces el valor absoluto de la determinante

Durante tres vértices generales, la ecuación es:

En tres dimensiones, el área de un triángulo en general {A = (x _A, y _A, z _A), B = (x _B, y _B, z _B) y C = (x _C, y _{C, C} z)} es el Suma de Pitágoras de las áreas de las respectivas proyecciones en los tres planos principales (es decir, x = 0, y = 0 y z = 0):

Utilizando la fórmula de Herón

La forma del triángulo se determina por las longitudes de los lados solo. Por lo tanto el área S también se puede derivar de las longitudes de los lados. Por La fórmula de Herón:

donde s = ½ (a + b + c) es el semiperímetro, o la mitad de el perímetro del triángulo.

Una forma equivalente de escribir la fórmula de Herón es

Triángulos no planas

Un triángulo no plana es un triángulo que no está contenida en un plano (plano). Los ejemplos de triángulos no planas en geometrías noneuclidean son triángulos esféricos en geometría esférica y triángulos hiperbólicas en geometría hiperbólica.

Mientras todo regular, planas (dos dimensiones) triángulos contienen ángulos que suman 180 °, hay casos en los que los ángulos de un triángulo puede ser mayor que o menor que 180 °. En figuras curvas, un triángulo en una figura de curvatura negativa ("silla de montar") tendrá sus ángulos suman menos de 180 ° mientras que un triángulo en una figura de curvatura positiva ("esfera") tendrá sus ángulos suman más de 180 °. Por lo tanto, si uno fuera a dibujar un triángulo gigante en la superficie de la Tierra, se podría encontrar que la suma de sus ángulos fuera mayor que 180 °.