Límite de una función

En matemáticas , el límite de una función es un concepto fundamental en el cálculo y análisis en relación con el comportamiento de los que la función cerca de un particular, de entrada. Informalmente, una función asigna un de salida f (x) para cada entrada x. La función tiene un límite L en una p de entrada si f (x) es "cerca" de L cuando x es "cerca" de p. En otras palabras, f (x) se vuelven más y más a L cuando x se mueven más y más a la pág. Más específicamente, cuando f se aplica a cada entrada suficientemente cerca de p, el resultado es un valor de salida que es arbitrariamente cerca de L. Si se toman las entradas "cerca" de p con los valores que son muy diferentes, se dice que el límite no existe. Las definiciones formales, primero ideado a principios del siglo 19 , se indican a continuación.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del cálculo de los siglos 17 y 18, la noción moderna del límite de una función se remonta a Bolzano que, en 1817, introdujo los conceptos básicos de la epsilon-delta técnica. Sin embargo, su trabajo no fue conocido durante su vida. Cauchy discutió límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de manera sistemática. La primera presentación pública rigurosa de la técnica fue dada por Weierstrass en los años 1850 y 1860 y se ha convertido en el método estándar para tratar con límites.

La notación escrita utilizando la abreviatura lim junto con la flecha abajo se debe a Hardy en su libro Un Curso de Matemáticas Puras en 1908.

Explicación

Imagínate un avión volando sobre un paisaje representado por la gráfica de y = f (x). Su posición horizontal se mide por el valor de x, al igual que la posición dada por un mapa de la tierra o por un sistema de posicionamiento global. Su altura está dada por la coordenada y. Está volando hacia la posición horizontal dada por x = p. Al hacerlo, se da cuenta de que su altura se acerca L. Si más tarde les pidió que adivinaran la altitud sobre x = p, sería entonces responder L, aunque en realidad nunca había llegado a esa posición.

¿Qué significa decir que su altura se acerca L? Significa que su altitud pone más y más a L a excepción de un posible pequeño error en la precisión. Por ejemplo, supongamos que pusimos la meta exactitud particular para el avión: debe llegar dentro de diez metros de L. El avión de vuelta informa de que puede conseguir en el plazo de diez metros de L, ya que establece que cuando está a menos de cincuenta metros horizontales de p, su altitud es siempre diez metros o menos a partir de L.

Luego nos cambiamos nuestro objetivo precisión: ¿puede llegar a un metro? Sí. Si se trata de un plazo de siete metros horizontales de p, entonces su altitud se mantiene dentro de un metro del objetivo L. En resumen, decir que la altitud del avión se aproxima a L como su posición horizontal se acerca p significa que por cada objetivo exactitud objetivo, hay una cierta área de la p cuya altitud se mantiene dentro de ese objetivo precisión.

La declaración informal inicial puede ahora ser explicada:

El límite de una función f (x) cuando x tiende a p es un número L con la propiedad siguiente: dado ninguna distancia objetivo de L, hay una distancia de p en el que los valores de f (x) se mantienen dentro de la distancia al objetivo.

Esta declaración explícita está bastante cerca de la definición formal del límite de una función con valores en un espacio topológico.

Definiciones

Las siguientes definiciones son los generalmente aceptados queridos para el límite de una función en diversos contextos.

Funciones en la recta real

Sea f: R → R se define en el recta real y p, L ∈ R entonces nos dicen que el límite de f cuando x tiende a p es L y escribir

si y sólo si para cada ε Real> 0 existe un verdadero δ> 0 tal que 0 <| x - p | <δ implica | f (x) - L | <ε. Tenga en cuenta que el valor del límite no depende de el valor de f (p).

Una definición más general se aplica para las funciones definidas en subconjuntos de la recta real. Sea (a, b) ser un intervalo abierto en R, y P un punto de (a, b). Sea f una función real definida en todos (a, b), excepto posiblemente en p. Se dice entonces que el límite de f cuando x tiende a p es L si y sólo si, para cada ε reales> 0 existe un verdadero δ> 0 tal que 0 <| x - p | <δ y x ∈ (a, b ) implica | f (x) - L | <ε. Tenga en cuenta que el límite no depende de f (p) está bien definida.

Límites unilaterales

Alternativamente x pueden acercarse p desde arriba (a la derecha) o por debajo (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritas como

o

respectivamente. Si ambos de estos límites son igual a L entonces este puede ser referido como el límite de f (x) en p. Por el contrario, si no son ambos iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Una definición formal es la siguiente. El límite de f (x) cuando x se aproxima desde arriba p es L si, para cada ε> 0, existe un δ> 0 tal que | f (x) - L | <ε siempre que 0 <x - p <δ. El límite de f (x) cuando x se acerca desde abajo p es L si, para cada ε> 0, existe un δ> 0 tal que | f (x) - L | <ε siempre que 0 <p - x <δ.

Si no existe el límite hay un no-cero oscilación.

Funciones en espacios métricos

Supongamos que f: (M, d _M) → (N, _N d) se define entre dos espacios métricos, con x ∈ M, p un punto límite de M y L ∈ N. Decimos que el límite de f cuando x tiende a p es L y escribimos

si y sólo si para cada ε> 0 existe un δ> 0 tal que, d _N (f (x), L) <ε siempre que 0 <d _M (x, p) <δ. Una vez más, tenga en cuenta que p no necesita estar en el dominio de f, ni necesidad de L a estar en el rango de f.

Una definición alternativa utilizando el concepto de barrio es como sigue:

si y sólo si para cada entorno V de L en N existe un entorno U de P en M, tal que f (U - {p}) ⊆ V.

Funciones en espacios topológicos

Supongamos que X, Y son espacios topológicos con Y un Espacio de Hausdorff. Sea p un punto límite de X y L ∈ Y. Para una función f: X - {p} → Y, decimos que el límite de f cuando x tiende a p es L (es decir, f (x) → L cuando x → p) y escribir

si y sólo si para cada entorno V de L, existe un entorno U de p tal que f (T - {p}) ⊆ V.

Tenga en cuenta que el dominio de f no necesita contener p. Si lo hace, entonces el valor de f en p es irrelevante para la definición del límite. La última parte de la definición también se puede expresar "existe una Módulo: Neighbourhood_ (matemáticas) ( hablar · · hist · Enlaces · subpáginas · pruebas - resultados) U de p tal que f (U) ⊆ V ".

Uno puede formular otras definiciones similares del límite en un espacio topológico. En una versión, la dominio de la función f es una Ω subconjunto del espacio topológico X. En este caso, el punto de p debe ser un punto de Ω límite y el límite se toma con respecto a la topología inducida sobre Ω ( límites unilaterales, donde se toma el límite dentro de un intervalo en uno de los extremos, son un caso especial de esto).

En particular, si el dominio de f es X - {p} (o la totalidad de X), entonces el límite de f como existe x → p y es igual a L si y sólo si para todos los subconjuntos de Ω X con el punto límite p existe el límite de la restricción de f a Ω y es igual a L. A veces, este criterio se utiliza para establecer la no existencia del límite de dos caras de una función en I al demostrar que los límites laterales o bien no existen o no están de acuerdo. Tal punto de vista es fundamental en el campo de la topología general, en límites y continuidad en un punto se definen en términos de familias especiales de subconjuntos, llamado filtros, o secuencias conocidas como generalizadas redes.

Por otra parte, el requisito de que Y sea un espacio de Hausdorff se puede relajar a la suposición de que Y sea un espacio topológico general, pero entonces el límite de una función no será único. En particular, ya no se puede hablar sobre el límite de una función en un punto, pero en lugar de un límite o el conjunto de límites en un punto.

Una función es continua en un punto límite de p y en su dominio si y sólo f (p) es "la" (o en el caso general: "a") límite de f (x) cuando x tiende a p.

Límite de una función en el infinito

Existe el límite de esta función en el infinito.

Si el sistema affinely extendida número real (recta real ampliada) R es considerado, es decir, R ∪ {-∞, + ∞}, entonces es posible definir los límites de una función en el infinito.

Si f (x) es una función real, entonces el límite de f cuando x tiende a infinito es L, denotado

si y sólo si para todo existe S> 0 tal que siempre que x> S.

Del mismo modo, el límite de f cuando x tiende a infinito es infinito, denotado

si y sólo si para todo R> 0 existe S> 0 tal que f (x)> R siempre que x> S.

De una manera análoga, las siguientes expresiones se pueden definir:

.

Estas nociones de un intento límite para proporcionar una interpretación espacio métrico a límites en el infinito. Sin embargo, tenga en cuenta que estas nociones de un límite son consistentes con la definición del espacio topológico del límite si

• un barrio de -∞ se define para contener una intervalo [-∞, c) donde c ∈ R
• un barrio de ∞ se define para contener un intervalo (c, ∞] donde c ∈ R
• un barrio de un ∈ R se define en el espacio métrico forma normal R

En este caso, R es un espacio topológico y cualquier función de la forma f: X → Y con X, Y ⊆ R está sujeto a la definición topológica de un límite. Tenga en cuenta que con esta definición topológica, es fácil para definir los límites en los puntos infinitos finitos, que no han sido definidas anteriormente en el sentido de métrica.

La evaluación de los límites en el infinito de funciones racionales

Hay tres reglas básicas para la evaluación de los límites en el infinito de una función racional f (x) = p (x) / q (x):

• Si el grado de p es mayor que el grado de q, entonces el límite es infinito positivo o negativo dependiendo de los signos de los coeficientes principales;
• Si el grado de p y q son iguales, el límite es el coeficiente de líder de p dividido por el coeficiente principal de q;
• Si el grado de p es menor que el grado de q, el límite es 0.

. Si el límite en el infinito existe, representa una asíntota horizontal en x = L polinomios no tienen asíntotas horizontales; que pueden ocurrir con las funciones racionales.

Funciones complejas de valor

El plano complejo con métrica también es un espacio métrico. Hay dos tipos diferentes de límites cuando consideramos funciones complejas.

Límite de una función en un punto

Si f es una función de valor complejo, entonces

si y sólo si para todo ε> 0 existe un δ> 0 tal que para todos los números reales x con , Tenemos .

Es sólo un caso particular de las funciones más espacios métricos con M y N son el plano complejo.

Límite de una función de más de una variable

Por señalando que | x - p | representa una distancia, la definición de un límite puede extenderse a funciones de más de una variable. En el caso de una función f: R → R ^2,

si y solo si

para cada ε> 0 existe un δ> 0 tal que para todo (x, y) con 0 <|| (x, y) - (p, q) || <δ, tenemos | f (x, y) - L | <ε

donde || (x, y) - (p, q) || representa el La distancia euclídea. Esto se puede ampliar a cualquier número de variables.

Propiedades

Decir que el límite de una función f en p es L es equivalente a decir

para cada secuencia convergente (x _n) en M con límite igual a P, la secuencia (f (x _n)) converge con límite L.

Si los conjuntos A, B, ... formar una partición finita del dominio de la función, , ... Y existe el límite relativo para cada uno de esos conjuntos y es igual a, por ejemplo, L, entonces existe el límite para el punto x y es igual a L.

La función f es continua en p si y sólo si el límite de f (x) cuando x se aproxima p existe y es finito. De manera equivalente, f transforma cada secuencia en M que converge hacia p en una secuencia en N que converge hacia f (p).

De nuevo, si N es un espacio vectorial normado, entonces la operación de límite es lineal en el siguiente sentido: si el límite de f (x) cuando x se aproxima p es L y el límite de g (x) cuando x se aproxima p es P, entonces el límite de f (x) + g (x) cuando x se aproxima p es L + P. Si a es un escalar de la base campo, entonces el límite de af (x) cuando x tiende a p es al.

Tomando el límite de funciones es compatible con las operaciones algebraicas, siempre que los límites en el lado derecho de la identidad de abajo existen:

(El último siempre que el denominador es distinto de cero). En cada caso anterior, cuando no existen los límites a la derecha, o, en último caso, cuando los límites en el numerador y el denominador son iguales a cero, sin embargo, el límite de la izquierda puede todavía existe - esto depende de que funciones fyg son.

Estas normas también son válidas para límites unilaterales, para el caso p = ± ∞, y también para límites infinitos usando las reglas

• q + ∞ = ∞ para q ≠ -∞
• q × ∞ = ∞ si q> 0
• q × ∞ = -∞ si q <0
• q / ∞ = 0 si q ≠ ± ∞

(Ver ampliado la línea número real).

Tenga en cuenta que no existe una regla general para el caso q / 0; todo depende de la forma en que se aborda 0. Formas indeterminadas - por ejemplo, 0/0, 0 × ∞, ∞-∞ y ∞ / ∞ - tampoco están cubiertos por estas reglas, pero los límites correspondientes a menudo se pueden determinar con La regla de L'Hôpital o la Apriete teorema.