Ecuación diferencial ordinaria

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En matemáticas , una ecuación diferencial ordinaria (o ODE) es una relación que contiene las funciones de un solo variable independiente, y uno o más de sus derivados con respecto a esa variable.

Un ejemplo sencillo es la segunda ley de Newton del movimiento, lo que conduce a la ecuación diferencial

$m \ frac {d ^ 2 x (t)} {dt ^ 2} = F (x (t)), \,$

para el movimiento de una partícula de masa m. En general, la fuerza F depende de la posición de la partícula x (t) en el tiempo t, y por lo tanto la función desconocida x (t) aparece en ambos lados de la ecuación diferencial, como se indica en la notación F (x (t )).

Ecuaciones diferenciales ordinarias se deben distinguirse de las ecuaciones diferenciales parciales en los que hay varias variables independientes que implican derivadas parciales.

Ecuaciones diferenciales ordinarias surgen en muchos contextos diferentes, incluyendo la geometría, la mecánica, la astronomía y modelos de población. Muchos matemáticos famosos han estudiado las ecuaciones diferenciales y contribuido al campo, incluyendo Newton , Leibniz , la Familia Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert y Euler .

Mucho trabajo se ha dedicado a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el caso en el que la ecuación es lineal, se puede resolver por métodos analíticos. Desafortunadamente, la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no lineales y, con pocas excepciones, no se pueden resolver con exactitud. Soluciones aproximadas se llegaron a utilizar aproximaciones informáticos (ver numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias).

La trayectoria de una proyectil lanzado desde una cañón sigue una curva determinada por una ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la segunda ley de Newton.

Definiciones

Ecuación diferencial ordinaria

Sea y una función desconocida

$y: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}$

en x con $y ^ {(i)}$ la i-ésima derivada de y, a continuación, una función de

$F (x, y, y ', \ \ dots, \ y ^ {(n-1)}) = y ^ {(n)}$

se llama una ecuación diferencial ordinaria (ODE) de orden n. Para funciones vectoriales valorado

$y: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R} ^ m$

F se llama un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

$F \ left (x, y, y ', y' ', \ \ dots, \ y ^ {(n)} \ right) = 0$

se llama una ecuación diferencial implícito mientras que la forma

$F \ left (x, y, y ', y' ', \ \ dots, \ y ^ {(n-1)} \ right) = y ^ {(n)}$

se llama una ecuación diferencial explícito.

Una ecuación diferencial no en función de x se llama autónoma.

Una ecuación diferencial se dice que es lineal si F puede escribirse como una combinación lineal de los derivados de y

$y ^ {(n)} = \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} a_i (x) y ^ {(i)} + r (x)$

con una _i (x) y r (x) funciones continuas en x. La función r (x) se llama el término fuente; si r (x) = 0, entonces la ecuación diferencial lineal se llama homogénea, de lo contrario se llama no homogénea o heterogénea.

Soluciones

Dada una ecuación diferencial

$F (x, y, y ', \ \ dots, \ y ^ {(n)}) = 0$

una función

$u: I \ subset \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}$

se llama solución o curva integral para F, si u es diferenciable n -los tiempos en I, F se define para todos

$(X, u, u ', \ \ dots, \ u ^ {(n)}) \ quad x \ in I$

$F (x, u, u ', \ \ dots, \ u ^ {(n)}) = 0 \ quad x \ in I.$

Dadas dos soluciones

$u: J \ subset \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}$

$v: I \ subset \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}$

u se llama una extensión de v si ⊂ J y

$u (x) = v (x) \ quad x \ in I. \,$

Una solución que no tiene extensión se llama una solución global.

Una solución general de una ecuación de orden n-ésimo es una solución que contiene $n$ las variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular se deriva de la solución general mediante el establecimiento de las constantes a valores particulares, a menudo elegido para cumplir conjunto "Condiciones iniciales o de frontera. La solución singular es una solución que no se puede derivar de la solución general.

Ejemplos

Reducción de un sistema de primer orden

Cualquier ecuación diferencial de orden n puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden n. Dada una ecuación diferencial ordinaria explícita de orden n y la dimensión 1,

$F \ left (x, y, y ', y' ', \ \ dots, \ y ^ {(n-1)} \ right) = y ^ {(n)}$

definimos una nueva familia de funciones desconocidas

$y_n: = y ^ {(n-1)} \.!$

A continuación, podemos reescribir la ecuación diferencial original como un sistema de ecuaciones diferenciales con orden 1 y dimensión n.

$y_1 ^ '= y_2$

$\ vdots$

$y_n ^ '= F (y_n, \ dots, y_1, x).$

que puede ser escrita de manera concisa en notación vectorial como

$\ Mathbf {y} ^ '= \ mathbf {F} (\ mathbf {y}, x)$

con

$\ Mathbf {y}: = (y, \ ldots, y_n).$

Lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias

Una clase particular bien entendido de las ecuaciones diferenciales son ecuaciones diferenciales lineales. Siempre podemos reducir una ecuación diferencial lineal explícita de cualquier orden para un sistema de ecuaciones diferenciales de orden 1

$y_i '(x) = \ sum_ {j = 1} ^ n a_ {i, j} (x) y_j + b_i (x) \, \ mathrm {,} \ quad i = 1, \ ldots, n$

que se puede escribir de forma concisa utilizando notación vectorial como

$\ Mathbf {y} ^ '(x) = \ mathbf {A} (x) \ mathbf {y} (x) + \ mathbf {b} (x)$

con

$\ Mathbf {y} (x): = (y_1 (x), \ ldots, y_n (x))$

$\ Mathbf {b} (x): = (b_1 (x), \ ldots, b_n (x))$

$\ Mathbf {A} (x): = (a_ {i, j} (x)) \, \ mathrm {,} \ quad i, j = 1, \ ldots, n.$

Ecuaciones homogéneas

El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden 1 y dimensión n

$\ Mathbf {y} ^ '(x) = \ mathbf {A} (x) \ mathbf {y} (x)$

forma un n-dimensional espacio vectorial . Dada una base para este espacio vectorial $\ Mathbf {z} _1 (x), \ ldots, \ mathbf {z} _n (x)$ , Que se llama un sistema fundamental, todas las soluciones $\ Mathbf {s} (x)$ puede ser escrito como

$\ Mathbf {s} (x) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} C_i \ mathbf {z} _i (x).$

La matriz n × n

$\ Mathbf {Z} (x): = (\ mathbf {z} _1 (x), \ ldots, \ mathbf {z} _n (x))$

se llama matriz fundamental. En general no hay un método para construir de forma explícita un sistema fundamental, pero si una solución es conocida reducción de d'Alembert se puede utilizar para reducir la dimensión de la ecuación diferencial por uno.

Ecuaciones no homogéneas

El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden 1 y dimensión n

$\ Mathbf {y} ^ '(x) = \ mathbf {A} (x) \ mathbf {y} (x) + \ mathbf {b} (x)$

puede ser construido por encontrar el sistema fundamental $\ Mathbf {z} _1 (x), \ ldots, \ mathbf {z} _n (x)$ a la correspondiente ecuación homogénea y una solución particular $\ Mathbf {p} (x)$ a la ecuación no homogénea. Todas las soluciones $\ Mathbf {s} (x)$ con la ecuación no homogénea a continuación, se puede escribir como

$\ Mathbf {s} (x) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} C_i \ mathbf {z} _i (x) + \ mathbf {p} (x).$

Una solución particular de la ecuación no homogénea se puede encontrar por el método de coeficientes indeterminados o la método de variación de parámetros.

Sistemas fundamentales para ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes

Para un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

$\ Mathbf {y} ^ '(x) = \ mathbf {A} \ mathbf {y} (x)$

podemos construir explícitamente un sistema fundamental. El sistema se puede escribir como una ecuación diferencial matricial

$\ Mathbf {Y} ^ '= \ mathbf {A} \ mathbf {Y}$

con una solución como una matriz exponencial

$e ^ {x \ mathbf {A}}$

que es una matriz fundamental para la ecuación diferencial inicial. Para calcular explícitamente esta expresión nos transformamos en un Forma canónica de Jordan

$e ^ {x \ mathbf {A}} = e ^ {x \ mathbf {C} ^ {- 1} \ mathbf {J} \ mathbf {C} ^ {1}} = \ mathbf {C} ^ {- 1 } e ^ {x \ mathbf {J}} \ mathbf {C} ^ {1}$

y luego evaluar la Bloques de Jordan

$J_i = \ begin {bmatrix} \ lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \ Ddots & \ ddots & \; \\ \; & \; & \ Ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \ Lambda_i \ end {bmatrix}$

de J por separado como

$e ^ {x \ mathbf {J_i}} = e ^ {\ lambda_i x} \ begin {bmatrix} 1 & x & \ frac {x ^ 2} {2} y \ dots & \ frac {x ^ {n-1 }} {(n-1)} \\ \!; & \ Ddots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ \; & \; & \ Ddots & \ ddots & \ frac {x ^ 2} {2} \\ \; & \; & \; & \ Ddots y x \\ \; & \; & \; & \; & 1 \ end {bmatrix}.$

Las teorías de la EDO

Soluciones singulares

La teoría de la soluciones singulares de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales fue un tema de investigación desde el momento de Leibniz, pero sólo a partir de mediados del siglo XIX tuvieron que recibir atención especial. Una obra valiosa pero poco conocido sobre el tema es el de Houtain (1854). Darboux (comenzando en 1873) era un líder en la teoría y en la interpretación geométrica de estas soluciones se abrió un campo que fue trabajado por varios escritores, notablemente Casorati y Cayley. Para esta última se debe (1872) la teoría de soluciones singulares de ecuaciones diferenciales de primer orden que aceptó circa 1900.

Reducción de cuadraturas

El intento primitivo en el tratamiento de las ecuaciones diferenciales tuvo a la vista una reducción de cuadraturas. Tal como había sido la esperanza de algebristas del siglo XVIII para encontrar un método para resolver la ecuación general de la $n$ º grado, por lo que era la esperanza de los analistas de encontrar un método general para la integración de cualquier ecuación diferencial. Gauss (1799) mostró, sin embargo, que la ecuación diferencial cumple sus limitaciones muy pronto a menos que los números complejos se introducen. De ahí que los analistas comenzaron a sustituir el estudio de funciones, abriendo así un campo nuevo y fértil. Cauchy fue el primero en apreciar la importancia de este punto de vista. A partir de entonces la verdadera pregunta era ser, no si una solución es posible por medio de funciones conocidas, o las integrales, pero si una ecuación diferencial dada es suficiente para la definición de una función de la variable o las variables independientes, y si es así, ¿cuáles son las propiedades características de esta función.

Teoría Fuchsian

Dos memorias de Fuchs (Crelle, 1866, 1868), inspirado en un enfoque novedoso, posteriormente elaborado por Thomé y Frobenius. Collet fue un contribuyente importante a partir de 1869, aunque su método para la integración de un sistema no lineal se comunicó a Bertrand en 1868. Clebsch (1873) atacó la teoría a lo largo de líneas paralelas a las seguidas en su teoría de la Integrales abelianas. Como este último puede ser clasificado de acuerdo con las propiedades de la curva fundamental que permanece sin cambios en una transformación racional, de modo Clebsch propuso clasificar las funciones trascendentes definidos por las ecuaciones diferenciales de acuerdo con las propiedades invariantes de las superficies correspondientes f = 0 bajo un racional -a-uno transformaciones.

La teoría de Lie

Desde 1870 El trabajo de Lie puso la teoría de ecuaciones diferenciales en un fundamento más satisfactorio. Demostró que las teorías de la integración de los matemáticos más viejos puede, por la introducción de lo que ahora se llaman Grupos de Lie, ser referidos a una fuente común; y que las ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten la misma transformaciones infinitesimales presentan dificultades comparables de integración. También hizo hincapié en el tema de la transformaciones de contacto (Berührungstransformationen).

Teoría de Sturm-Liouville

Teoría de Sturm-Liouville es un método general para la resolución de ecuaciones de segundo orden lineales con coeficientes variables.

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