Polinomio

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SOS cree que la educaci??n da una mejor oportunidad en la vida para los ni??os en el mundo en desarrollo tambi??n. Madres SOS cada aspecto despu??s de un una familia de ni??os apadrinados .

En matem??ticas , un polinomio es una expresi??n que se construye a partir de uno o m??s y las variables constantes, utilizando s??lo las operaciones de suma, resta, multiplicaci??n y constantes exponentes de n??meros enteros positivos. Por ejemplo, $x ^ 2 - 4x + 7 \,$ es un polinomio, pero $x ^ 2 - 4 de / x + 7x ^ {3/2} \,$ no es un polinomio, ya que implica la divisi??n por una variable y porque tiene un exponente que no es un n??mero entero positivo.

Los polinomios son uno de los conceptos m??s importantes en ??lgebra y en toda la matem??tica y la ciencia. Pueden ser utilizados para formar las ecuaciones polin??micas, que puede codificar una amplia gama de problemas, desde primaria historia de los problemas a los problemas complicados en las ciencias; que pueden ser utilizados para definir funciones polin??micas, que aparecen en la configuraci??n b??sica que van desde la qu??mica y la f??sica a la econom??a , y se utilizan en el c??lculo y an??lisis num??rico a la aproximaci??n de otras funciones. Los polinomios se utilizan en su propio derecho de construir anillos de polinomios, uno de los conceptos m??s poderosos en el ??lgebra y geometr??a algebraica.

Visi??n de conjunto

Un polinomio es cero, o se puede escribir como la suma de una o m??s distinto de cero t??rminos. El n??mero de t??rminos es finito. Estos t??rminos se componen de una constante (llamado coeficiente del t??rmino) multiplicado por cero o m??s variables (que por lo general est??n representados por letras). Cada variable puede tener un exponente que es un n??mero entero no negativo. El exponente en una variable en un plazo es igual a la grado de esa variable en ese t??rmino. Desde $x = x ^ 1$ , El grado de una variable sin un exponente escrito es uno. Un t??rmino sin variables se denomina t??rmino constante, o simplemente una constante. El grado de un t??rmino constante es 0. El coeficiente de un t??rmino puede ser cualquier n??mero, incluyendo fracciones, n??meros irracionales, n??meros negativos, y los n??meros complejos.

Por ejemplo,

$-5x ^ 2y \,$

es un t??rmino. La coeficiente es -5, las variables son x e y, el grado de x es de dos, y el grado de Y es uno.

El grado de todo el t??rmino es la suma de los grados de cada variable en ella. En el ejemplo anterior, el grado es 2 + 1 = 3.

Un polinomio es una suma de t??rminos. Por ejemplo, el siguiente es un polinomio:

$3x ^ 2 - 5x + 4 \ ,.$

Se compone de tres t??rminos: el primero es el grado dos, el segundo es un grado, y el tercero es de cero grados. Aqu?? "

"Representa"

", Por lo que el coeficiente del t??rmino medio es -5.

Cuando un polinomio en una variable est?? dispuesta en el orden tradicional, los t??rminos de mayor grado vienen antes de que los t??rminos de grado inferior. En el primer mandato anterior, el coeficiente es 3, la variable es x, y el exponente es 2. En el segundo per??odo, el coeficiente es de -5. El tercer t??rmino es una constante. El grado de un polinomio distinto de cero es el mayor grado de cualquier plazo. En el ejemplo, el polinomio tiene grado dos.

Las formas alternativas

Una expresi??n que se puede convertir en forma polin??mica a trav??s de una secuencia de aplicaciones de la conmutativa , asociativa , y leyes distributivas generalmente se considera que es un polinomio. Por ejemplo

$(X + 1) ^ 3$

es un polinomio, ya que puede ser trabajado a $x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1$ . Del mismo modo

$\ Frac {x ^ 3} {12}$

se considera un t??rmino v??lido en un polinomio, a pesar de que se trata de una divisi??n, debido a que es equivalente a $\ Tfrac {1} {12} x ^ 3$ y $\ Tfrac {1} {12}$ es simplemente una constante. Por tanto, el coeficiente de este t??rmino es $\ Tfrac {1} {12}$ . Por razones similares, si se permite que los coeficientes complejos, uno que muchos tienen un solo t??rmino como $(2 + 3i) x ^ 3$ ; a pesar de que parece que deber??a ser resuelto a dos t??rminos, el n??mero complejo 2 + 3 i es, de hecho, s??lo un coeficiente ??nico en este caso que sucede a exigir un "+" que se escribieran una por una.

La divisi??n por una expresi??n que contiene una variable no se permite generalmente en polinomios. Por ejemplo,

${1 \ over x ^ 2 + 1} \,$

no es un polinomio, ya que incluye la divisi??n por una variable. Del mismo modo,

$(5 + y) ^ x, \,$

no es un polinomio, porque tiene un exponente variable.

Desde la resta puede ser tratada como adici??n del aditivo contrario, y desde exponenciaci??n a una fuente de n??mero entero positivo constante puede ser tratada como una multiplicaci??n repetida, polinomios se pueden construir a partir de las constantes y variables con s??lo la adici??n de dos operaciones y la multiplicaci??n.

Funciones polin??micas

Una funci??n polin??mica es una funci??n definida por evaluar un polinomio. Por ejemplo, la funci??n f, teniendo n??meros reales a los n??meros reales, definido por

$f (x) = x ^ 3 - x$

es una funci??n polin??mica de una variable. Funciones polin??micas tambi??n se pueden definir utilizando polinomios en m??ltiples variables, como en

$f (x, y) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2y + xy + y ^ 5 ^ 2-7$ .

Funciones polin??micas son una clase importante de funciones suaves.

Ecuaciones polin??micas

Una ecuaci??n polin??mica es una ecuaci??n en la que un polinomio se fija igual a otro polinomio.

$3x ^ 2 + 4x -5 = 0 \,$

es una ecuaci??n polin??mica.

Propiedades elementales de los polinomios

La suma de polinomios es un polinomio
La producto de polinomios es un polinomio
El derivado de una funci??n polin??mica es una funci??n polin??mica
Cualquier primitivo o primitiva de una funci??n polin??mica es una funci??n polin??mica

Polinomios sirven para aproximar otras funciones , tales como seno, coseno , y exponencial .

Todos los polinomios tienen una forma expandida, en la que el ley distributiva se ha utilizado para eliminar todos los par??ntesis. Todos los polinomios tambi??n tienen una forma factorizada en el que el polinomio se escribe como un producto de polinomios lineales. Por ejemplo, el polinomio

$x ^ 2 - 2x - 3 \,$

es la forma desarrollada del polinomio

$(X - 3) (x + 1) \,$ ,

que est?? escrito en forma factorizada. Tenga en cuenta que las constantes en los polinomios lineales (como -3 y 1 en el ejemplo anterior) pueden ser n??meros complejos en ciertos casos.

En ??lgebra escolar, los estudiantes aprenden a moverse f??cilmente de una forma a la otra (ver: factoring ).

Cada polinomio en una variable es equivalente a un polinomio con la forma

$a_n x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_2 x ^ 2 + x + a_1 a_0$ .

Esta forma se toma a veces como la definici??n de un polinomio en una variable.

Evaluaci??n de un polinomio consiste en asignar un n??mero a cada variable y la realizaci??n de las multiplicaciones y sumas indicadas. La evaluaci??n se realiza a veces de manera m??s eficiente el uso de la Esquema de Horner

$((\ Ldots (a_n x + a_ {n-1}) x + ... + a_2) x + a_1) x + a_0 \,$ .

En primaria el ??lgebra , los m??todos se dan para resolver todas las ecuaciones polin??micas de primer grado y de segundo grado en una variable. En el caso de ecuaciones polin??micas, la variable es a menudo llamado un desconocido. El n??mero de soluciones no podr?? superar el grado, y ser?? equivalente al grado cuando multiplicidad de soluciones y n??meros complejos soluciones se cuentan. Este hecho se llama teorema fundamental del ??lgebra.

Un sistema de ecuaciones polin??micas es un conjunto de ecuaciones en las que una determinada variable debe tener el mismo valor en todas partes aparece en ninguna de las ecuaciones. Sistemas de ecuaciones se agrupan generalmente con una sola llave de apertura a la izquierda. En ??lgebra elemental , los m??todos se dan para resolver un sistema de ecuaciones lineales en varias inc??gnitas. Para obtener una soluci??n ??nica, el n??mero de ecuaciones debe ser igual al n??mero de inc??gnitas. Si hay m??s inc??gnitas que ecuaciones, el sistema se denomina underdetermined . Si hay m??s ecuaciones que inc??gnitas, el sistema se denomina sobredeterminado. Este importante tema se estudia ampliamente en el ??rea de las matem??ticas conocida como ??lgebra lineal . Sistemas sobredeterminado son comunes en aplicaciones pr??cticas. Por ejemplo, una encuesta de mapeo estadounidense us?? computadoras para resolver ecuaciones 2,5 millones en 400 mil inc??gnitas.

Ejemplos m??s avanzadas de polinomios

En ??lgebra lineal , la polinomio caracter??stico de una matriz cuadrada codifica varias propiedades importantes de la matriz .

En la teor??a de grafos polinomio crom??tica de una grafo codifica las diferentes formas de v??rtice colorear el gr??fico usando x colores.

En ??lgebra abstracta , uno puede definir polinomios con coeficientes en cualquier anillo.

En la teor??a de nudos del Alexander polinomio, el Polinomio de Jones, y el HOMFLY polinomio son importantes invariantes de nudos.

Historia

La determinaci??n de las ra??ces de polinomios, o "la resoluci??n de ecuaciones algebraicas", es uno de los problemas m??s antiguos de la matem??tica. Sin embargo, la notaci??n elegante y pr??ctico que utilizamos hoy en d??a s??lo se desarroll?? a partir del siglo 15. Antes de eso, las ecuaciones se escriben con palabras. Por ejemplo, un problema de ??lgebra de los chinos Aritm??tica en nueve secciones, alrededor del a??o 200 aC, comienza "Tres gavillas de buena cosecha, dos gavillas de la cosecha mediocre, y una gavilla de mala cosecha se vendi?? por 29 dou". Escribir??amos $3x + 2y + z = 29$ .

Notaci??n

El primer uso conocido del signo igual es en Robert Recorde La piedra de afilar de Witte, 1557. La signos + para la suma, - para la resta, y el uso de una carta para un desconocido aparece en De Michael Stifel Arithemetica integra, 1544. Ren?? Descartes, en La g??om??trie de 1637, introdujo el concepto de la gr??fica de una ecuaci??n polin??mica. ??l populariz?? el uso de las letras desde el principio del alfabeto para denotar constantes y letras de la final del alfabeto para denotar las variables, como se puede ver arriba, en la f??rmula general para un polinomio en una variable, donde el un 's denotan constantes y x denota una variable. Descartes introdujo el uso de super??ndices para denotar exponentes tambi??n.

Resoluci??n de ecuaciones polin??micas

Cada corresponde polin??micas a una funci??n polin??mica, donde f (x) se establece igual al polinomio, y una ecuaci??n polin??mica, donde el polinomio se fija igual a cero. Las soluciones de la ecuaci??n se llaman las ra??ces del polinomio y son los ceros de la funci??n y las intersecciones x de su gr??fica. Si x = a es una ra??z de un polinomio, a continuaci??n, (x - a) es un factor de ese polinomio.

Algunos polinomios, como f (x) = x ² + 1, no tienen ning??n arraigo entre los n??meros reales . Si, sin embargo, el conjunto de candidatos permitidos se expande para los n??meros complejos , cada (no constante) polinomio tiene al menos una ra??z distinta; esto se desprende de la teorema fundamental del ??lgebra.

Hay una diferencia entre la aproximaci??n de las ra??ces y la b??squeda de ra??ces exactas. F??rmulas para las ra??ces de polinomios hasta un grado de 2 han sido conocidos desde la antig??edad (ver ecuaci??n de segundo grado ) y hasta un grado de 4 desde el siglo 16 (ver Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero las f??rmulas de grado 5 eludieron investigadores. En 1824, Niels Henrik Abel demostr?? el sorprendente resultado de que no puede haber una f??rmula general (que incluye ??nicamente las operaciones aritm??ticas y radicales) para las ra??ces de un polinomio de grado 5 o superior en t??rminos de sus coeficientes (ver Abel-Ruffini teorema). Este resultado marc?? el inicio de la teor??a de Galois que se dedica a un estudio detallado de las relaciones entre las ra??ces de los polinomios.

Num??ricamente resolver una ecuaci??n polin??mica con una inc??gnita es f??cil de hacer en la computadora por el M??todo Durand-Kerner o por alg??n otro Resoluci??n num??rica de ecuaciones no lineales. La reducci??n de las ecuaciones en varias inc??gnitas a las ecuaciones Cada uno en un desconocido se discute en el art??culo sobre el El algoritmo de Buchberger. El caso especial en el que todos los polinomios son de grado uno se llama un sistema de ecuaciones lineales , para los que una serie de diferentes m??todos de soluci??n existe, incluyendo el cl??sico de eliminaci??n de Gauss .

Se ha demostrado por Richard Birkeland y Karl Meyr que las ra??ces de un polinomio cualquiera se pueden expresar en t??rminos de multivariante funciones hipergeom??tricas. Ferdinand von Lindemann y Hiroshi Umemura mostr?? que las ra??ces tambi??n se pueden expresar en t??rminos de Siegel funciones modulares, generalizaciones de la funciones theta que aparecen en la teor??a de la funciones el??pticas. Estas caracterizaciones de las ra??ces de polinomios arbitrarios son generalizaciones de los m??todos previamente descubri?? para resolver el ecuaci??n de quinto grado.

Gr??ficos

Una funci??n polin??mica en una variable real puede ser representado por una gr??fico.

La gr??fica del polinomio cero

f (x) = 0

es el eje x.

La gr??fica de un grado 0 polinomio

f (x) = a _0, donde a ₀ ≠ 0,

es una l??nea horizontal con un ₀ y interceptaci??n

El gr??fico de un grado de polinomio 1 (o funci??n lineal)

f (x) = a ₀ + a ₁ x, donde un ₁ ≠ 0,

es una l??nea oblicua y con una interceptaci??n ₀ y pendiente de un _1.

La gr??fica de un polinomio de grado 2

f (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ^2, donde un ₂ ≠ 0

es un par??bola.

El gr??fico de cualquier polinomio con grado 2 o mayor

f (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² +. . . + A _n x ^n, donde a _n ≠ 0 y n ≥ 2

es una curva no lineal continua.

Gr??ficos polin??micas se analizan en c??lculo utilizando intercepta, pendientes, concavidad, y el comportamiento extremo.

Las ilustraciones siguientes muestran las gr??ficas de polinomios.

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Polinomio de grado 2: f (x) = x ² - x - 2 = (X 1) (x -2)	Polinomio de grado 3: f (x) = x ^3/5 + 4 x ^2/5 - 7 x / 5 - 2 = 1/5 (5 x) (x 1) (x -2)
Polinomio de grado 4: f (x) = 1/14 (x 4) (x 1) (x-1) (x -3) + 0,5	Polinomio de grado 5: f (x) = 1/20 (x 4) (x 2) (x 1) (x-1) (x -3) + 2

Polinomios y c??lculo

Un aspecto importante del c??lculo es el proyecto de analizar funciones complicadas por medio de la aproximaci??n con polinomios. La culminaci??n de estos esfuerzos es el teorema de Taylor , que m??s o menos dice que cada funci??n diferenciable localmente parece un polinomio, y la Teorema de Piedra Weierstrass, que establece que todos los funci??n continua definida en un compacto intervalo del eje real se puede aproximar en todo el intervalo de tan estrechamente como se desee por un polinomio. Los polinomios se utilizan tambi??n con frecuencia para interpolar funciones.

Cocientes de polinomios se llaman expresiones racionales, y las funciones que eval??an expresiones racionales se llaman funciones racionales. Funciones racionales son las ??nicas funciones que se pueden evaluar en un ordenador mediante una secuencia fija de instrucciones que impliquen operaciones de suma, multiplicaci??n, divisi??n, que las operaciones con n??meros en coma flotante se implementan normalmente en hardware. Todas las otras funciones que los ordenadores necesitan para evaluar, tales como las funciones trigonom??tricas , logaritmos y funciones exponenciales , entonces deben ser computado en software que puede utilizar aproximaciones a esas funciones en determinados intervalos de funciones racionales, y posiblemente iteraci??n.

C??lculo de derivadas e integrales de polinomios es particularmente simple. Para el polinomio

$\ Sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ i$

la derivada con respecto a x es

$\ Sum_ {i = 1} ^ n a_i i x ^ {i-1}$

y la integral indefinida es

$\ Sum_ {i = 0} ^ n {a_i \ sobre i + 1} x ^ {i + 1} + c$ .

Resumen ??lgebra

En ??lgebra abstracta , hay que tener cuidado de distinguir entre polinomios y funciones polin??micas. Un polinomio f en una indeterminada $X$ sobre anillo $R$ se define como la expresi??n formal de la forma

$f = a_n X ^ n + a_ {n - 1} X ^ {n - 1} + \ cdots + a_1 X + a_0$

donde $n$ es un n??mero natural, los coeficientes $a_0, \ ldots, a_n$ son elementos de $R$ y X se considera que es un s??mbolo formal. Dos polinomios que comparten el mismo valor de $n$ se considera que son iguales si y s??lo si las secuencias de sus coeficientes son iguales; Adem??s, cualquier polinomio es igual a cualquier polinomio con mayor valor de $n$ obtenido a partir de ella mediante la adici??n de t??rminos cuyo coeficiente es cero. Polinomios en $X$ con coeficientes en $R$ Se pueden a??adir simplemente a??adiendo correspondientes coeficientes (la regla para extender por t??rminos con coeficientes cero se puede utilizar para hacer que existen de que tales coeficientes). Ellos se pueden multiplicar usando el ley distributiva y el Estado

$un X ^ k \; b X ^ l = ab X ^ {k + l}$

para todos los elementos a, b del anillo R y todos los n??meros naturales k y l.

Entonces se puede comprobar que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en las propias formas R anillo un anillo, el anillo de los polinomios m??s de R, que se denota por R [X]. Si R es conmutativo , entonces R [X] es una ??lgebra sobre R.

Uno puede pensar en el anillo R [X] como el resultado de R a??adiendo uno nuevo elemento X a R y s??lo requiere que X conmutan con todos los elementos de R. Para que R [X] para formar un anillo, todas las combinaciones lineales de potencias de X tienen que ser incluidos tambi??n. La formaci??n del anillo de polinomios, junto con la formaci??n de los anillos de los factores por factorizar ideales, son herramientas importantes para la construcci??n de nuevos anillos de conocidos. Por ejemplo, la construcci??n de limpia campos finitos implica el uso de esas operaciones, comenzando con el campo de enteros m??dulo alg??n n??mero primo como el anillo coeficiente R (v??ase aritm??tica modular ).

Si $R$ es conmutativo , entonces se puede asociar a cada polinomio f en $R [X]$ , Una funci??n polin??mica con dominio y el rango igual a $R$ (M??s en general uno puede tomar dominio y el rango de ser el mismo unital ??lgebra asociativa sobre $R$ ). Se obtiene el valor de esta funci??n para un argumento dado r mediante la sustituci??n de todas partes el s??mbolo X en la expresi??n f 's por r. Una raz??n de que algebristas distinguen entre polinomios y funciones polin??micas es que durante algunos anillos de diferentes polinomios pueden dar lugar a la misma funci??n polin??mica (ver Peque??o teorema de Fermat para un ejemplo donde R es los enteros m??dulo p). Este no es el caso cuando $R$ son los n??meros reales o complejos y, por tanto, muchos analistas a menudo no se separan los dos conceptos. Una raz??n a??n m??s importante distinguir entre polinomios y funciones polin??micas es que muchas operaciones en polinomios (como Divisi??n euclidiana) requiere mirar lo que un polinomio se compone de una expresi??n en lugar de evaluar en alg??n valor constante para $X$ . Y debe observarse que si $R$ no es conmutativa, no hay (buen comportamiento) noci??n de funci??n polin??mica en absoluto.

Divisibilidad

En ??lgebra conmutativa, uno de los focos principales de estudio es la divisibilidad entre polinomios. Si R es una dominio yfyg integral son polinomios en R [X], se dice que f divide g si existe un polinomio q en R [X] tal que f q = g. Uno puede entonces mostrar que "cada cero da lugar a un factor lineal", o m??s formalmente: si f es un polinomio en R [X] y r es un elemento de R tal que f (r) = 0, entonces el polinomio ( X - r) divide f. Lo contrario tambi??n es cierto. El cociente se puede calcular utilizando la Esquema de Horner.

Si F es una de campo y f y g son polinomios en F [X] con G ≠ 0, entonces existen polinomios ??nico q y r en F [X] con

$f = q \, g + r$

y tal que el grado de r es menor que el grado de g. El q polinomios y r est??n determinados ??nicamente por f y g. Esto se llama "la divisi??n con resto" o " divisi??n larga polin??mica "y muestra que el anillo F [X] es un Dominio euclidiana.

An??logamente, "primos" polin??micas (m??s correctamente, polinomios irreducibles) puede ser definido que no se puede factorizar en el producto de dos polinomios de menor grado. No es f??cil determinar si un polinomio dado es irreducible. Uno puede comenzar simplemente comprobando si el polinomio tiene factores lineales. Entonces, uno puede comprobar la divisibilidad por algunos otros polinomios irreducibles. El criterio de Eisenstein tambi??n se puede utilizar en algunos casos para determinar irreductibilidad.

Ver tambi??n: M??ximo com??n divisor de dos polinomios.

Clasificaciones

La clasificaci??n m??s importante de polinomios se basa en el n??mero de distintas variables. Un polinomio en una variable se llama un polinomio univariado, un polinomio en m??s de una variable que se llama un polinomio multivariable. Estas nociones se refieren m??s a la clase de polinomios uno que generalmente se trabaja con que a polinomios individuales; por ejemplo cuando se trabaja con polinomios univariantes uno no excluye polinomios constantes (que pueden resultar por ejemplo de la resta de polinomios no constantes), aunque estrictamente hablando polinomios constantes no contienen ninguna variable en absoluto. Es posible clasificar a??n m??s polinomios multivariados como bivariada, trivariate etc., de acuerdo con el n??mero de variables, pero esto rara vez se hace; es m??s com??n, por ejemplo, para decir simplemente "polinomios en x, y, z". A (generalmente mulitvariate) polinomio se llama homog??nea de grado n si todos sus t??rminos tienen grado n.

Polinomios univariantes tienen muchas propiedades que no son compartidos por polinomios multivariados. Por ejemplo, los t??rminos de un polinomio univariado est??n completamente ordenados por su grado, y es convencional para siempre escribirlas en orden decreciente de grado. Un polinomio univariado en x de grado n entonces toma la forma general

$c_nx ^ n + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + c_2x ^ 2 + c_1x + C_0$

donde c _n, c _{n -1,} ..., c _2, c ₁ y c ₀ son constantes, los coeficientes de este polinomio. Aqu?? el t??rmino c _n x ⁿ se llama el t??rmino de liderazgo y su coeficiente c _n el coeficiente principal; Si el coeficiente principal es 1, el polinomio m??nico univariante se llama. Tenga en cuenta que, aparte del l??der coeficiente c _n (que debe ser distinto de cero o de lo contrario el polinomio no ser??a de grado n) esta forma general permite coeficientes sean cero; cuando esto sucede, el t??rmino correspondiente es cero y puede ser removido de la suma sin cambiar el polinomio. Sin embargo, es com??n referirse a c _i como coeffient de x ^i, incluso cuando c _i pasa a ser 0, de modo que x ⁱ en realidad no ocurre en ning??n plazo; por ejemplo, se puede hablar de la t??rmino constante del polinomio, es decir, c _0, incluso si debe ser cero.

Los polinomios de manera similar se pueden clasificar por el tipo de valores constantes permitidos como coeficientes. Uno puede trabajar con polinomios con coeficientes enteros, racionales, reales o complejos, y en polinomios ??lgebra abstracta con se pueden definir muchos otros tipos de coeficientes. Al igual que para la clasificaci??n anterior, se trata de los coeficientes uno est?? generalmente trabajan; por ejemplo cuando se trabaja con polinomios con coeficientes complejos se incluye polinomios cuyos coeficientes pasar a todos ser real, aunque tales polinomios tambi??n pueden ser considerados como un polinomios con coeficientes reales.

Polinomios m??s se pueden clasificar por su grado y / o el n??mero de t??rminos distintos de cero que contienen.

Polinomios clasificados por grado
Grado	Nombre	Ejemplo
${^ {- \ Infty}}$	cero	$0$
$0$	(Distinto de cero) constante	$1$
$1$	lineal	$x + 1$
$2$	cuadr??tico	$x ^ 2 + 1$
$3$	c??bico	$x ^ 3 + 1$
$4$	quartic o bicuadr??tico	$x ^ 4 + 1$
$5$	quintic	$x ^ 5 + 1$
$6$	sextic o hexic	$x ^ 6 + 1$
$7$	s??ptico o heptic	$x ^ 7 + 1$
$8$	Octic	$x ^ 8 + 1$
$9$	nonic	$x ^ 9 + 1$
$10$	Decic	$x ^ {10} + 1$

Los nombres de los grados m??s alta que $3$ son menos comunes. Los nombres de los grados se pueden aplicar al polinomio o con sus t??rminos. Por ejemplo, una constante puede referirse a un polinomio de grado cero o un t??rmino de cero grados.

El polinomio 0, lo que puede ser considerado no tener en t??rminos de todo, se llama el polinomio cero. A diferencia de otros polinomios constantes, su grado no es cero. M??s bien, el grado del polinomio cero o bien se dej?? expl??citamente indefinido o definido para ser negativo (ya sea -1 o -∞) . Esta ??ltima convenci??n es importante para definir Divisi??n euclidiana de polinomios.

Polinomios clasificados por n??mero de t??rminos distintos de cero
N??mero de t??rminos distintos de cero	Nombre	Ejemplo
$0$	cero polinomio	$0$
$1$	monomio	$x ^ 2$
$2$	binomio	$x ^ 2 + 1$
$3$	trinomio	$x ^ 2 + x + 1$

La palabra monomio puede ser ambigua, ya que tambi??n se utiliza a menudo para referirse a un poder de la variable, o en el caso de productos multivariado de tales poderes, sin ning??n coeficiente. Dos o m??s t??rminos que implican el mismo monomio en este ??ltimo sentido, es decir que s??lo se diferencian en el valor de sus coeficientes, que se llaman las mismas condiciones; que se pueden combinar en un solo t??rmino mediante la adici??n de sus coeficientes; si el t??rmino resultante tiene coeficiente de cero, puede ser eliminado por completo. La clasificaci??n anterior de acuerdo con el n??mero de t??rminos asume que t??rminos similares se han combinado primero.

Extensiones del concepto de un polinomio

Tambi??n se habla de polinomios en varias variables, obtenidas tomando el anillo de polinomios de un anillo de polinomios: R [X, Y] = (R [X]) [Y] = (R [Y]) [X]. Estos son de fundamental importancia en geometr??a algebraica que estudia las simult??neas cero conjuntos de varios de estos polinomios multivariados.

Los polinomios se utilizan con frecuencia para codificar informaci??n sobre alg??n otro objeto. La polinomio caracter??stico de un operador de matriz o lineal contiene informaci??n acerca del operador valores propios . La polinomio m??nimo de una elemento algebraica registra la relaci??n algebraica simple satisfecha por ese elemento.

Otros objetos relacionados estudiados en ??lgebra abstracta son series formales, que son como los polinomios pero puede tener grado infinito, y la funciones racionales, que son coeficientes de polinomios.

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