Ecuación
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Una ecuación es una matemática declaración, en símbolos, que las dos cosas son el mismo (o equivalente). Las ecuaciones se escriben con un signo igual, como en
La ecuación anterior es un ejemplo de una la igualdad: una proposición que afirma que dos Las constantes son iguales. Igualdades pueden ser verdaderas o falsas.
Las ecuaciones se utilizan a menudo para afirmar la igualdad de los dos expresiones que contienen uno o más variables. En los reales podemos decir, por ejemplo, que para cualquier valor dado de 
es cierto que
La ecuación anterior es un ejemplo de una identidad; una ecuación que es cierto independientemente de los valores de las variables que aparecen en ella. La siguiente ecuación no es una identidad:
Es falso para un número infinito de valores de Y cierto para sólo dos, la raíces o soluciones de la ecuación, 
y 
. Por lo tanto, si la ecuación se conoce a ser verdad, lleva la información sobre el valor de 
A resolver una ecuación significa encontrar sus soluciones.
Muchos autores se reservan la ecuación plazo para una igualdad que no es una identidad. La distinción entre ambos conceptos puede ser sutil; por ejemplo,
es una identidad, mientras
es una ecuación, cuyas raíces son y . Si una declaración está destinada a ser una identidad o una ecuación, que lleva información sobre sus variables por lo general puede ser determinado a partir de su contexto.
Cartas desde el principio del alfabeto como a, b, c ... a menudo denotan constantes en el contexto de la discusión en la mano, mientras que las letras del final del alfabeto, como x, y, z ..., son generalmente reservados para el las variables, una convención iniciado por Descartes.
Propiedades
Si una ecuación en álgebra se sabe que es cierto, las siguientes operaciones se pueden usar para producir otra verdadera ecuación:
- Cualquier cantidad puede ser añadido para ambas partes.
- Cualquier cantidad puede ser restada de ambos lados.
- Cualquier cantidad puede ser multiplicado para ambas partes.
- Cualquier cantidad distinta de cero puede dividir ambos lados.
- En general, cualquier función se puede aplicar a ambos lados. (Sin embargo, se debe tener cuidado para asegurar que uno no encontrar soluciones extrañas.)
Las propiedades algebraicas (1-4) implican que la igualdad es un Congruencia para una campo; De hecho, es esencialmente el único.
El sistema más conocido de números que permite que todas estas operaciones son los números reales , que es un ejemplo de una campo. Sin embargo, si la ecuación se basa en los números naturales , por ejemplo, algunas de estas operaciones (como la división y resta) puede no ser válida como números negativos y no números enteros no están permitidos. Los números enteros son un ejemplo de una dominio de integridad que no permite que todas las divisiones como, de nuevo, se necesitan números enteros. Sin embargo, se permite que resta, y es el operador inverso en ese sistema.
Si una función que no es inyectiva se aplica a ambos lados de una ecuación verdadera, entonces la ecuación resultante será todavía ser verdad, pero puede ser menos útil. Formalmente, uno tiene una implicación, no un equivalencia, por lo que el conjunto de soluciones se puede agrandar. Las funciones implícitas en propiedades (1), (2) y (4) están siempre inyectiva, como es (3) si no se multiplican por cero . Algunos generalizada productos, tales como una producto punto, nunca son inyectiva.
