Surface de Riemann

Riemann surface pour la fonction f (z) = sqrt (z)

En math??matiques , en particulier dans analyse complexe, une surface de Riemann, d'abord ??tudi?? par et nomm?? d'apr??s Bernhard Riemann , est un unidimensionnel vari??t?? complexe. Surfaces de Riemann peuvent ??tre consid??r??s comme des "versions" d??form??es du plan complexe : de proximit?? sur chaque point ils ressemblent ?? des taches du plan complexe, mais le global topologie peuvent ??tre tr??s diff??rents. Par exemple, ils peuvent ressembler ?? une sph??re ou d'un tore ou un couple de feuilles coll??es ensemble.

Le point principal de surfaces de Riemann est que fonctions holomorphes peuvent ??tre d??finies entre eux. Surfaces de Riemann sont aujourd'hui consid??r??s comme le cadre naturel pour l'??tude du comportement global de ces fonctions, en particulier fonctions ?? valeurs multiples comme la racine carr??e et autres fonctions alg??briques, ou le logarithme .

Chaque surface de Riemann est une v??ritable analyse bidimensionnelle collecteur (soit un la surface), mais il contient plus de structure (en particulier un structure complexe) qui est n??cessaire pour la d??finition des fonctions holomorphes sans ambigu??t??. Un v??ritable vari??t?? bidimensionnelle peut ??tre transform?? en une surface de Riemann (g??n??ralement de plusieurs fa??ons in??quivalentes) si et seulement si il est orientable. Donc, la sph??re et tore admettent structures complexes, mais le Ruban de M??bius, la bouteille de Klein et plan projectif ne le font pas.

Faits g??om??triques sur des surfaces de Riemann sont les ??gentils?? que possible, et ils fournissent souvent l'intuition et la motivation des g??n??ralisations ?? d'autres courbes, collecteurs ou de vari??t??s. Le Riemann-Roch est un excellent exemple de cette influence.

D??finitions

Il existe plusieurs d??finitions ??quivalentes d'une surface de Riemann.

1. Une surface de Riemann X est un vari??t?? complexe de complexe une dimension. Cela signifie que X est un sage espace dot?? d'un soi-disant atlas: pour chaque point x ∈ X il ya une environnement, ce qui ressemble ?? l' plan complexe . La carte portant la structure du plan complexe de la surface de Riemann est appel?? diagramme. Deux graphiques qui se chevauchent doivent ??tre compatibles dans un certain sens.
2. Une surface de Riemann est un Vari??t?? riemannienne de (r??el) dimension deux - o?? la surface de Riemann de nom avec un la structure conformationnelle. Encore une fois, le collecteur signifie que localement ?? tout point x de X, l'espace est cens?? ??tre comme l'avion r??el. Le suppl??ment "Riemann?? signifie que X est dot?? d'un soi-disant Riemannienne g m??trique, ce qui permet de mesurer des angles sur le collecteur. Deux de ces mesures sont consid??r??es ??quivalent si les angles qu'ils mesurent sont les m??mes. Le choix d'une m??trique, et donc une classe d'??quivalence de metrices X est sur le point de r??f??rence suppl??mentaire de la structure conformationnelle.

Une structure complexe donne lieu ?? une structure conforme ?? la norme en choisissant M??trique euclidienne donn??e sur le plan complexe et ?? le transporter ?? X au moyen des cartes.

Exemples

La sph??re de Riemann.

• Le plan complexe C est peut-??tre la surface la plus fondamentale de Riemann. La carte f (z) = z (la carte d'identit??) d??finit un tableau C, et {f} est un atlas C. La carte g (z) = z ^* (le conjugu?? carte) d??finit ??galement un tableau de la C et {g} est un atlas C. Les graphiques f et g ne sont pas compatibles, de sorte que cette dote C avec deux structures de surface diff??rentes de Riemann. En fait, ??tant donn?? une surface de Riemann X et son atlas A, le conjugu?? atlas B = {f ^*: f ∈ A} ne est jamais compatible avec A, et lui conf??re X avec une structure distincte Riemann incompatibles.

• De fa??on analogue, chaque partie ouverte du plan complexe peut ??tre consid??r??e comme une surface de Riemann d'une mani??re naturelle. Plus g??n??ralement, toute partie ouverte d'une surface de Riemann est une surface de Riemann.

• Soit S = C ∪ {∞} et f (z) = z o?? z est compris dans S \ {∞} et g (z) = 1 / z, o?? z est compris dans S \ {0} et 1 / ∞ est d??fini ?? 0. graphiques sont ensuite f et g, ils sont compatibles, et {f, g} est un atlas S, S en faisant une surface de Riemann. Cette surface particuli??re est appel??e Sph??re de Riemann, car il peut ??tre interpr??t?? comme enveloppant le plan complexe autour de la sph??re. Contrairement au plan complexe, il est compact .

Un tore.

• La th??orie des surfaces de Riemann compactes peut ??tre d??montr?? ??quivalent ?? celui de projective courbes alg??briques qui sont d??finis sur les nombres complexes et non singuli??re. Par exemple, le tore C / (Z + Z τ), o?? τ est un nombre r??el non-complexe, correspond, via la Fonction elliptique de Weierstrass associ??e au Z + τ treillis Z, ?? une courbe elliptique donn??e par une ??quation

y ² = x ³ + ax + b.

Tori sont les seules surfaces de Riemann de une genre, les surfaces de genres g ult??rieure sont assur??s par le surfaces hyperelliptiques

y ² = P (x),

o?? P est un complexe polyn??me de degr?? 2 g 1.

• Des exemples importants de surfaces de Riemann non-compacts sont fournis par prolongement analytique.

D'autres d??finitions et propri??t??s

Comme avec ne importe quelle carte entre les vari??t??s complexes, une fonction f: M → N entre deux surfaces de Riemann M et N est appel?? holomorphe si pour chaque tableau g dans le atlas de M et chaque tableau h dans l'atlas de N, la carte h o f o g ^-1 est holomorphe (en fonction de C ?? C) o?? elle est d??finie. La composition de deux cartes holomorphes est holomorphe. Les deux surfaces de Riemann M et N sont appel??s biholomorphe (ou conform??ment ??quivalente ?? souligner le point de vue conforme) se il existe une fonction holomorphe bijective de M ?? N dont l'inverse est ??galement holomorphe (il se av??re que cette derni??re condition est automatique et peut donc ??tre omise). Deux surfaces de Riemann conform??ment ??quivalente sont ?? toutes fins pratiques identiques.

Orientabilit??

Nous avons not?? dans le pr??ambule que tous les surfaces de Riemann, comme toutes les vari??t??s complexes, sont orientable comme un v??ritable collecteur. La raison est que pour les graphiques complexes f et g avec fonction de transition h = f (g ^-1 (z)) nous pouvons consid??rer h comme une carte ?? partir d'un ensemble ouvert de R ² ?? R ² dont Jacobienne dans un point z est juste la carte r??elle lin??aire donn??e par multiplication par le nombre complexe h '(z). Toutefois, le v??ritable facteur d??terminant de la multiplication par un nombre complexe α ??gaux | α | ^2, de sorte que le jacobien de h poss??de d??terminant positif. En cons??quence, l'atlas complexe est un atlas orient??s.

Fonctions

Chaque surface de Riemann non-compacte admet fonctions holomorphes non constantes (avec des valeurs en C). En fait, chaque surface de Riemann non-compacte est un Vari??t?? de Stein.

En revanche, sur une surface de Riemann compacte X chaque fonction holomorphe ?? valeur dans C est constante en raison de la principe du maximum. Cependant, il existe toujours non constante fonctions m??romorphes (= des fonctions holomorphes avec les valeurs de la Sph??re de Riemann C ∪ {∞}). Plus pr??cis??ment, la domaine de la fonction X est une fini extension de C (t), le champ de fonction dans une variable, ce est ?? dire toutes les deux fonctions m??romorphes sont alg??briquement d??pendants. Cette d??claration g??n??ralise ?? des dimensions sup??rieures, voir Siegel (1955).

Analytique vs alg??brique

Le fait ci-dessus ?? propos de l'existence de fonctions m??romorphes non constantes peut ??tre utilis?? pour montrer que ne importe quelle surface de Riemann compacte est un vari??t?? projective, ce est ?? dire peut ??tre donn??e par polynomiales ??quations int??rieur d'un espace projectif. En fait, il peut ??tre d??montr?? que chaque surface de Riemann compacte peut ??tre incorpor?? dans le plan projectif complexe. Ce est un th??or??me surprenant: les surfaces de Riemann sont donn??s par des graphiques de rapi????age localement. Si une condition globale, ?? savoir compacit??, est ajout??, la surface est n??cessairement alg??brique. Cette caract??ristique de surfaces de Riemann permet de les ??tudier avec soit les moyens de analytique ou g??om??trie alg??brique. La d??claration correspondante pour les objets de dimension sup??rieure est faux, ce est ?? dire il ya deux complexes plis compacts qui ne sont pas alg??brique. D'autre part, chaque vari??t?? complexe projective est n??cessairement alg??brique, voir Le th??or??me de Chow.

A titre d'exemple, consid??rons le tore T: = C / (Z + τ Z). La fonction de Weierstrass appartenant au treillis Z + τ Z est un fonction m??romorphe sur T. Cette fonction et son d??riv?? g??n??rer le champ de T de fonction. Il se agit d'une ??quation

o?? les coefficients g et ₂ g ₃ d??pendent de τ, donnant ainsi une courbe elliptique E _τ dans le sens de la g??om??trie alg??brique. Inversion Ceci est accompli par la j-invariant j (E), qui peut ??tre utilis?? pour d??terminer τ, et donc un tore.

Classification des surfaces de Riemann

Le royaume de surfaces de Riemann peut ??tre divis?? en trois r??gimes: les surfaces de Riemann hyperboliques, paraboliques et elliptiques. Cette distinction est donn??e par la uniformisation th??or??me qui stipule que chaque Riemann surface simplement connexe est conform??ment ??quivalente une des op??rations suivantes:

• le plan complexe C
• la sph??re de Riemann C ∪ {∞}, ??galement not??e P ¹ C

ou

• la ouverte disque D: = {z ∈ C: | z | <1} ou ??quivalente, la demi-plan sup??rieur H: = {z ∈ C: Im (z)> 0}.

Selon l'??quivalence des deux d??finitions donn??es ci-dessus, le th??or??me de l'uniformisation peut ??galement ??tre formul??e en termes de g??om??trie conforme: chaque surface de Riemann connect?? X admet un unique, compl??te r??elle deux dimensions Riemann m??trique constante courbure -1, 0 ou une induction de la m??me structure conformationnelle. La surface X est appel?? hyperbolique, parabolique et elliptique, respectivement. L'existence de ces trois types parall??le plusieurs (Non) Les euclidiennes.

La technique g??n??rale d'associer un collecteur X son une couverture universelle Y, et exprimant le X original comme quotient de Y par le groupe de transformations de pont donne un premier aper??u sur les surfaces de Riemann.

Elliptic surfaces de Riemann

Par d??finition, ce sont les surfaces X avec une courbure constante. Le Sph??re de Riemann C ∪ {∞} est le seul exemple. ( courbes elliptiques sont des exemples de surfaces de Riemann paraboliques L'appellation vient de l'histoire:. courbes elliptiques sont associ??s ?? fonctions elliptiques, qui ?? leur tour se pr??sentent pour calculer le circonf??rence du ellipses ).

Surfaces de Riemann paraboliques

Par d??finition, ce sont les surfaces X avec courbure constante 0. ??quivalente, par le th??or??me de l'uniformisation, la couverture universelle de X doit ??tre le plan complexe.

Il ya donc trois possibilit??s pour X. Il peut ??tre le m??me plan, un anneau ou un tore

T: = C / (Z ⊕ τ Z).

L'ensemble des repr??sentants des classes ?? sont appel??s domaines fondamentaux. Il faut prendre soin dans la mesure o?? deux tores sont toujours homeomorphic , mais en g??n??ral pas biholomorphe ?? l'autre. Ce est la premi??re apparition du probl??me de modules. Le module d'un tore peut ??tre captur?? par un num??ro unique τ complexe avec partie imaginaire positive. En fait, l'espace de modules marqu??e ( Teichm??ller espace) du tore est biholomorphe ?? demi-plan sup??rieur ou de mani??re ??quivalente le disque unit?? ouvert.

Hyperbolique surfaces de Riemann

Le Riemann surfaces ?? courbure -1 sont appel??s hyperbolique. Ce groupe est le "plus grand" une.

Le c??l??bre Th??or??me de l'application conforme stipule que tout sous-ensemble strict simplement connexe du plan complexe est biholomorphe sur le disque de l'unit??. Par cons??quent, le disque ouvert avec le Poincar??-m??trique de courbure constante -1 est le mod??le local de toute surface de Riemann hyperbolique. Selon le th??or??me de l'uniformisation ci-dessus, toutes les surfaces sont hyperboliques quotients du disque unit??.

Les exemples incluent toutes les surfaces avec genre g> 1 tels que les courbes hyper-elliptique.

Pour chaque surface de Riemann hyperbolique, le groupe fondamental est isomorphe ?? un Fuchsien groupe, et donc la surface peuvent ??tre mod??lis??es par un Fuchsien mod??le H / Γ o?? H est la demi-plan sup??rieur et Γ est le groupe fuchsien. L'ensemble des repr??sentants des classes ?? des H / Γ sont jeux libres et r??guli??res et peuvent ??tre fa??onn??s en m??trique polygones fondamentales. structures de Quotient que H / Γ sont g??n??ralis??s ?? Vari??t??s de Shimura.

Contrairement surfaces elliptiques et paraboliques, aucune classification des surfaces hyperboliques est possible. Toute ouverte sous-ensemble strict connect?? du plan donne une surface hyperbolique; examiner le plan, moins une Ensemble de Cantor. Une classification est possible pour les surfaces de type fini: ceux qui groupe fondamental de type fini. Tout d'eux a un nombre fini de modules et ainsi un espace de dimension finie Teichm??ller. Le probl??me de modules (r??solu par Lars Ahlfors et prolong?? par Lipman Bers) ??tait de justifier l'all??gation de Riemann que, pour une surface ferm??e de genre g, 3G - 3 param??tres complexes suffisent.

Quand une surface hyperbolique est compact, la superficie totale de la surface est 4π (g-1), o?? g est le genre de la surface; la zone est obtenue en appliquant le Formule de Gauss-Bonnet de la superficie du polygone de base.

Dans l'art et la litt??rature

• Un des Les ??uvres de MC Escher, Imprimer Galerie, est pos?? sur une grille de plus en plus cyclique qui a ??t?? d??crit comme une surface de Riemann.
• En Le roman de Aldous Huxley Brave New World, "Riemann Tennis de surface" est un jeu populaire.