Història del nombre π

De Viquipèdia

Estàtua dedicada a π a Seattle.

El nombre π (Pi) ha estat estudiat des dels inicis de la matemàtica. Actualment, el seu ús no es restringeix a la definició com a quocient entre la longitud i el diàmetre d'una circumferència, sinó que apareix de forma natural en molts altres contexts. Per posar alguns exemples:

En calcular superfícies i volums de figures geomètriques.
En calcular distàncies a la Terra.
En sumar sèries numèriques. Per exemple, $\sum_{i\geq1}\frac{1}{i^2}=\frac{{\pi}^2}{6}$
En mecànica, per calcular òrbites planetàries.
Si prenem dos nombres a l’atzar, la probabilitat que siguin primers entre si, és a dir, que no tinguin factors comuns, és: $P=\frac{6}{{\pi}^2}$ .
En estadística. L'àrea sota una campana de Gauss, la distribució que modela la gran majoria dels fenomens observables físics, és $\sqrt{\pi}$ .
En geologia: tot i que la proporció varia, el quocient entre la longitud real d'un riu (incloent meandres) i la longitud en línia recta és aproximadament $π$ .

Vegem a continuació una breu cronologia històrica.

Taula de continguts

1 Antic Egipte (~1650 aC)
2 Llibre primer dels Reis (7,23) ~900aC
3 Arquimedes ~240aC
4 Ptolemeu ~100dC
5 Buffon ~1780
6 Rāmānujan ~1910
7 Altres personatges
8 Curiositats
- 8.1 Poemes
- 8.2 Simfonies
9 Vegeu també
10 Referències
11 Bibliografia

[edita] Antic Egipte (~1650 aC)

Fragment del papir Rhind.

Pel que s'ha pogut reconstruïr històricament de l'Antic Egipte, se sap que els coneixements de matemàtiques estaven en mans de sacerdots. Com que resultaven insuficients per tal de resoldre tots els problemes, formaven al seu torn escribes que tan sols coneixien algorismes per tal de resoldre els problemes més comuns.

En el papir Rhind trobem un d'aquests algorismes per calcular l'àrea d'un cercle. En notació actual, proposa "agafar el diàmetre, treure-li la seva novena part, i elevar el resultat al quadrat".

Pensem l'algorisme en notació actual. Suposem que tenim una circumferència de radi $d$ . Podem inscriure-la en un quadrat de radi $d$ , que, al seu torn, dividim en quadrats petits, de radi $d / 3$ . Ara fixem-nos en quants subquadrats estan ocupats per la circumferència. Tenim: el quadrat del centre, els quatre quadrats que l’envolten, que estan pràcticament plens, i pel que fa als quatre quadrats dels extrems, estan més o menys mig plens, així que podem comptar que cada dos són un de sencer. En total, 7 subquadrats.

Així, tenim:

$A=7{\left(\frac{d}{3}\right)}^2=\frac{7}{9}d^2=\frac{63}{81}d^2 \approx \frac{64}{81}d^2={\left(\frac{8}{9}d\right)}^2={\left(d-\frac{d}{9}\right)}^2$ ,

que és l'algorisme que utilitzaven.

I quant valdria $π$ si això fos l'àrea del cercle? Utilitzant la fórmula que s'utilitza avui en dia, podem resoldre l'equació:

${\left(\frac{8}{9}d\right)}^2 = \pi{\left(\frac{d}{2}\right)}^2$ , d'on resultaria $\pi\approx 3,16$ .

[edita] Llibre primer dels Reis (7,23) ~900aC

A la Bíblia ja trobem una aproximació a $π$ . En el llibre primer dels Reis trobem una descripció dels objectes que Salomó va manar construir pel seu temple. Hi diu: «Després va fer el «Mar» de fosa, de deu colzades de l’una vora a l'altra, perfectament rodó, de cinc colzades d’alçada, i un cordó de trenta colzades donava la mida del seu perímetre.» (1r dels Reis 7,23)

És a dir, l’aproximació que troba per $π$ és: $\pi=\frac{30}{10}=3$

[edita] Arquimedes ~240aC

Mètode d'Arquimedes per aproximar π.

Arquimedes va trobar el que va passar a ser anomenat mètode clàssic per estimar $π$ . Trobar la longitud $L$ d'una circumferència directament a partir del seu diàmetre potser no es pot resoldre, però Arquimedes va proposar inscriure i circumscriure un polígon a la circumferència, dels quals si que en podem calcular fàcilment el perímetre ( $P i, P c$ ), per tal de trobar una aproximació, ja que $P_i\leq L\leq P_c$ .

Comencem, per exemple, amb un hexàgon. Podem calcular els perímetres de l'hexàgon inscrit i circumscrit a la circumferència, de la qual en coneixem el diàmetre. Un cop calculats, dividint pel diàmetre de la circumferència, tenim una primera aproximació a $π$ : $3\leq \pi\leq 3,45$ . No és una aproximació gaire precisa, però ara es poden duplicar els costats del polígon inscrit i circumscrit, i calcular-ne fàcilment el perímetre! D'aquesta manera, repetint el procés es poden trobar aproximacions cada cop més precises per a $π$ .

Arquimedes va arribar a calcular-ho amb polígons de 96 costats, trobant una aproximació per a $π$ de: $\frac{223}{71}\leq \pi\leq \frac{22}{7}$ , d'on $\pi\approx3,14$ .

De fet, per trobar el perímetre del polígon circumscrit, $C 2 n$ , i el de l’inscrit, $i 2 n$ , en funció dels perímetres ja calculats de $n$ costats, es pot fer mitjançant: ^[1]

$C_{2n}=\frac{2i_n.C_n}{i_n+C_n}$

$i_{2n}=\sqrt{i_n.C_{2n}}$

[edita] Ptolemeu ~100dC

Claudi Ptolemeu, segons un gravat alemany del segle XVI.

Ptolemeu es va interessar molt per l’astronomia, i de fet va publicar l'Almagest, “el gran llibre d’astronomia”, que juntament amb els Elements d'Euclides, van ser els llibres més importants per a la matemàtica durant segles.

A Ptolemeu li interessava calcular les cordes que corresponien a tots els graus per a poder calcular les distàncies entre les estrelles. Per tal de fer-ho, utilitzant relacions trigonomètriques entre un angle i el seu doble (o meitat), va anar calculant cordes d’angles cada cop més petits, fins que arribar a la de mig grau.

Però amb aquest mètode també es troba una aproximació a $π$ , ja que tenir la corda corresponent a un angle de mig grau és com crear un polígon de 720 costats. Amb el valor que va trobar Ptolomeu, trobem l’aproximació a $π$ que es faria servir durant segles: $\pi\approx3,1416$ .

[edita] Buffon ~1780

Estàtua de Buffon al Jardin des Plantes, a París.

Buffon va idear un mètode probabilístic per tal de calcular $π$ . Va proposar l'anomenat problema de l'agulla, que podria ser formulat així: "Tenim rectes horitzontals separades entre si una distància $t$ . Anem tirant agulles de llargada $l$ . Quina és la probabilitat que les agulles creuin o coincideixin amb una recta?"

L'agulla a creua una línia, mentre que l'agulla b no.

Buffon va demostrar que la probabilitat era:

$P=\frac{2l}{\pi t}$

D'aquesta manera, repetint l'experiment molts cops es pot trobar una aproximació probabilística al valor de $π$ .

A l'agulla de Buffon (anglès) es recrea digitalment aquest experiment, calculant quin seria el valor de $π$ calculat cada cop que es tira l'agulla.^[2]

Un altre exemple basat en el mateix principi, potser més senzill d'entendre, seria el següent:

Suposem que tenim el cercle de la figura, de radi $r = 1$ , inscrit en un quadrat, i per tant, de costat 2. Tenim que:

l'àrea del cercle és: $A c = π$
l'àrea del quadrat és: $A q = 4$

D'aquesta manera, si tenim un procediment per escollir aleatòriament molts punts dins del quadrat, podem realitzar una estimació pel valor de $π$ . Com que la probabilitat de pertànyer al cercle és $P = π / 4$ , aquesta és la proporció esperada de punts que cauran dins del cercle.

[edita] Rāmānujan ~1910

Srinivāsa Rāmānujan fou un matemàtic indi del segle passat, força enigmàtic, i considerat un dels més grans talents de la història de la matemàtica recent. Va trobar fórmules sorprenents, d'entre les quals, una d'elles permetia trobar una aproximació a $π$ .

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k\geq0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 \cdot 396^{4k}}$

El fet és que Rāmānujan va trobar aquesta fórmula investigant una branca de la matemàtica amb cap relació aparent amb la geometria, el de les funcions modulars.

La fórmula de Rāmānujan és una sèrie numèrica que permet calcular $π$ amb molta precisió, i molt ràpidament, ja que cada terme de la sèrie dóna 4 decimals de $π$ . Es diu que té una convergència molt ràpida.

Actualment, amb algorismes basats en fórmules d’aquest tipus, s’ha fet un salt impressionant en tan sols 50 anys, i s’han calculat, amb l’ajut d’ordinadors, centenars de milers de milions de dígits de $π$ .

[edita] Altres personatges

[edita] François Vièta (1579)

Treballa amb el mètode clàssic, polígons de 393216 cares. També troba la relació:

$\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\ldots$

[edita] Ludolph Van Ceulen (1610)

Utilitza el mètode clàssic, amb polígons de $262$ cares. Troba $π$ amb una precisió de 35 decimals.

[edita] John Wallis (1650)

Troba la relació:

$\frac{\pi}{2}= \frac{2.2.4.4.6.6.8.8\ldots}{1.1.3.3.5.5.7.7\ldots}$

[edita] James Gregory (1671)

Troba la fórmula:

$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\ldots$ , per $-1\leq x\leq 1$ .

Fixem-nos que per $x = 1$ , trobem: $\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots$ , que serveix per aproximar $π$ (tot i que té una convergència molt lenta).

Amb aquesta fórmula s'aconsegueixen molts decimals de $π$ , fent servir el valor $x=1 / \sqrt{3}$ (corresponent a un angle de 30º), i en combinació amb fórmules que involucren arctangents. Al 1948, es troben 800 decimals de $π$ amb aquest mètode.

[edita] Curiositats

[edita] Poemes

Al Scientific American i al Literary Digest van aparèixer, a principis de segle passat, poemes relacionats amb $π$ . Com a exemple, en podem trobar un d'Adam Orr dedicat a Arquimedes, de 1906:

Now I, even I, would celebrate

in rhymes unapt, the great

Immortal Syracusan, rivaled nevermore,

who in his wondrous lore,

passed on before,

left men his guidance,

how to circles mensurate.

Si comptem el nombre de lletres de cada paraula veurem que coincideixen amb els decimals de $\pi=3.1415926535 8979323846 2643383279\ldots$ .

Existeix també un poema en català, proposat per Vicent Tarrazona i Rubio:

«	Ell i ella, l'única esperança de tindre fills que tenen, romandrà soterrada aquesta primavera.	»

[edita] Simfonies

Darrerament s'han fet simfonies basades en diferents constants matemàtiques, assignant a cada nombre decimal una determinada nota. A Pisymphony (anglès) es troben simfonies basades en el nombre $π$ i e.

[edita] Vegeu també

Història de les matemàtiques

[edita] Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a:
Història del nombre π

↑ Vegeu Gacetilla Matemática (castellà) per una explicació més detallada.
↑ Per una justificació teòrica de l'experiment, es pot consultar Buffon's Needle (anglès).

[edita] Bibliografia

Quiroga, María Elena (1997). Tres números importantes a través de la historia.
Vídeo:"Universo matemático". Capítol 2, Historias de Pi.

Categoria: Història de les matemàtiques