Equacions de Maxwell

De Viquip??dia

Electrost??tica

Electromagnetisme
Electricitat ?? Magnetisme
C??rrega el??ctrica
Llei de Coulomb
Camp el??ctric
Llei de Gauss
Potencial el??ctric
Moment dipolar el??ctric
Magnetost??tica
Llei d'Amp??re
Camp magn??tic
Flux magn??tic
Llei de Biot-Savart
Moment magn??tic
Electrodin??mica
Corrent el??ctric
For??a de Lorentz
For??a electromotriu
Inducci?? electromagn??tica
Llei de Faraday
Corrent de despla??ament
Equacions de Maxwell
Camp electromagn??tic
Radiaci?? electromagn??tica
Circuit el??ctric
Conducci?? el??ctrica
Resist??ncia el??ctrica
Capacit??ncia
Induct??ncia
Imped??ncia
Edita

Les equacions de Maxwell s??n un conjunt de quatre equacions que descriuen completament els fenomens electromagn??tics. La gran contribuci?? de James Clerk Maxwell fou reunir en aquestes equacions molts anys de resultats experimentals i investigacions te??riques, deguts a Coulomb, Gauss, Amp??re, Faraday i altres, introduint els conceptes de camp i de corrent de despla??ament, i unificant els camps el??ctrics i magn??tics en un sol concepte: el camp electromagn??tic. De les equacions de Maxwell, a m??s, es despr??n l'exist??ncia d'ones electromagn??tiques propagant-se amb velocitat c, el valor num??ric de la qual coincideix amb el valor de la velocitat de la llum en el buit, amb la qual cosa Maxwell va identificar la llum amb una ona electromagn??tica, unificant l'??ptica amb l'electromagnetisme.

Taula de continguts

1 Interpretaci?? f??sica de les equacions
- 1.1 La conservaci?? de la c??rrega
- 1.2 La for??a de Lorentz
2 Les equacions de Maxwell en el buit
3 Les equacions de Maxwell en relativitat especial
4 Refer??ncies
5 Vegeu tamb??

La formulaci?? moderna de les equacions de Maxwell ??s deguda a Oliver Heaviside i Josiah Willard Gibbs, que en 1884 reformularen les equacions originals de Maxwell en un sistema abreujat utilitzant notaci?? vectorial. La formulaci?? original de Maxwell datava de 1865 i contenia 20 equacions de 20 variables. La formulaci?? vectorial resultava especialment atractiva perqu?? remarcava les simetries intr??nseques en les equacions fent m??s f??cil la seva utilitzaci??.

Les equacions de Maxwell, en forma integral i diferencial s??n les seg??ents (ambdues formes s??n totalment equivalents, es pot passar d'una a l'altra amb les eines habituals del c??lcul diferencial).

Nom	Forma diferencial	Forma integral
Llei de Gauss	$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$	$\oint_S \vec{D} \cdot \vec{dS} = Q_{i}$
Llei de Gauss per al magnetisme	$\nabla \cdot \vec{B} = 0$	$\oint_S \vec{B} \cdot \vec{dS} = 0$
Llei de Faraday:	$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}} {\partial t}$	$\oint_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\int_{\partial C} \ {d\vec{B}\over dt} \cdot \vec{dS}$
Llei d'Amp??re-Maxwell:	$\nabla \times \vec H = \vec{j} + \frac{\partial \vec D}{\partial t}$	$\oint_C \vec{H} \cdot \vec{dl} = \int_S \vec{j} \cdot \vec{dS} + {d \over dt} \int_S \vec{D} \cdot \vec{dS}$

Q ??s la c??rrega el??ctrica (unitat SI: coulomb).
?? ??s la densitat de c??rrega el??ctrica (unitat SI: coulomb per metre c??bic), sense incloure c??rregues dipolars lligades a un material.
$\vec{B}$ ??s la inducci?? magn??tica (unitat SI: tesla, volt ?? segon per metre quadrat) $\vec{B} = \mu_0 \vec{H}$ .
$\vec{D}$ ??s el despla??ament el??ctric (unitat SI: coulomb per metre quadrat) $\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$ .
$\vec{S}$ ??s l'??rea de la superficie gaussiana d'integraci??.
$\vec{E}$ ??s el camp el??ctric (unitat SI: volt per metre).
$\vec{H}$ ??s el camp magn??tic (unitat SI: ampere per metre).
$\vec{j}$ ??s la densitat de corrent el??ctric (unitat SI: ampere per metre quadrat)
$\nabla \cdot$ ??s l'operador diverg??ncia (unitat del SI: 1 per metre)
$\nabla \times$ ??s l'operador rotacional (unitat del SI: 1 per metre)

Encara que es donen les unitats del sistema internacional d'unitats per a les diversos magnituds, les equacions de Maxwell es mantenen en altres sistemes d'unitats.

[edita] Interpretaci?? f??sica de les equacions

Les quatre equacions de Maxwell expressen, respectivament, com les c??rregues el??ctriques produeixen camps el??ctrics (llei de Gauss), l'abs??ncia experimental de c??rregues magn??tiques (2a llei), com el corrent produeix camps magn??tics (llei d'Amp??re) i com els camps magn??tics canviants produeixen camps el??ctrics (llei de la inducci?? de Faraday).

[edita] La conservaci?? de la c??rrega

Les equacions de Maxwell duen impl??cites la llei de conservaci?? de la c??rrega:

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \nabla\cdot\vec J=0$

o, en forma integral,

$-\frac{d Q}{dt} = \oint \vec J\cdot d\vec A$

Aquesta llei expressa que la c??rrega no es crea ni es destrueix, ni globalment ni localment, i que si donada una superf??cie tancada est?? disminuint la c??rrega continguda en el seu interior, ha d'haver for??osament un flux de corrent net cap a l'exterior del sistema.

[edita] La for??a de Lorentz

Les equacions de Maxwell expressen com les c??rregues i corrents creen camps el??ctrics i magn??tics, per?? no com aquests camps actuen sobre la mat??ria. Per a aix?? necessitem la llei de for??a de Lorentz:

$\vec F = q(\vec E + \vec v\times \vec B)$

Aquesta llei ens diu quina for??a experimenta una c??rrega puntual en moviment en el s?? d'un camp electromagn??tic. Si en lloc d'una c??rrega puntual tenim una distribuci?? de c??rrega, la corresponent for??a per unitat de volum ??s:

$\vec f = \rho \vec E +\vec J \times \vec B$

i la resultant sobre tot el volum ??s la integral d'aquesta densitat estesa a tot el volum.

[edita] Les equacions de Maxwell en el buit

Com que al buit no hi ha c??rregues ni corrents, les equacions de Maxwell es simplifiquen considerablement i s'obt??:

$\nabla \cdot \vec{E} = 0$

$\nabla \cdot \vec{H} = 0$

$\nabla \times \vec{E} = - \mu_0 \frac{\partial\vec{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \vec{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}} {\partial t}$

Aquest conjunt d'equacions t?? una soluci?? simple en termes d'ones planes sinuso??dals que es propaguen, amb el camp el??ctric i el magn??tic oscil??lant en direcci?? perpendicular a la direcci?? de propagaci?? i entre s??. La velocitat de propagaci?? resulta ser

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

Maxwell descobr?? que aquesta velocitat c ??s la velocitat de la llum en el buit i, per tant, que la llum ??s un tipus particular d'ona electromagn??tica.

[edita] Les equacions de Maxwell en relativitat especial

En relativitat especial, per tal d'expressar m??s clarament que les equacions de Maxwell en el buit tenen la mateixa forma en qualsevol sistema de refer??ncia inercial, s'acostumen a escriure en termes de quadrivectors i tensors en forma covariant (en unitats cgs):

${4 \pi \over c }J^{\beta} = {\partial F^{\alpha\beta} \over {\partial x^{\alpha}} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {F^{\alpha\beta}}_{,\alpha} \,\!$ ,

$0 = \partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {F_{\alpha\beta}}_{,\gamma} + {F_{\gamma\alpha}}_{,\beta} +{F_{\beta\gamma}}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \epsilon_{\delta\alpha\beta\gamma} {F^{\beta\gamma}}_{,\alpha}$

where $\, J^{\alpha}$ ??s el quadricorrent, $\, F^{\alpha\beta}$ ??s el tensor electromagn??tic, $\, \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}$ ??s el s??mbol de Levi-Civita i

${ \partial \over { \partial x^{\alpha} } } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left(\frac{\partial}{\partial ct}, \nabla\right)$

??s el quadrigradient. Els ??ndexs repetits se sumen d'acord amb el conveni de sumaci?? d'Einstein.

La primera equaci?? tensorial expressa les dues equacions de Maxwell inhomog??nies: la llei de Gauss i la d'Amp??re amb les correccions de Maxwell. La segona equaci?? expressa les altres dues equacions homog??nies: la llei de Faraday de la inducci?? i la llei de Gauss per al camp magn??tic (l'abs??ncia de monopols magn??tics).

S'ha suggerit que el component vXB de la For??a de Lorentz es pot derivar de la llai de Coulomb i la relativitat especial si hom assumeix la invari??ncia de la c??rrega el??ctrica. ^[1]^[2]

[edita] Refer??ncies

??? L. D. Landau, E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields
??? http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm J H Field (2006) "Classical electromagnetism as a consequence of Coulomb's law, special relativity and Hamilton's principle and its relationship to quantum electrodynamics". Phys. Scr. 74 702-717

[edita] Vegeu tamb??

Categoria: Electromagnetisme

Equacions de Maxwell

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] Interpretaci?? f??sica de les equacions

[edita] La conservaci?? de la c??rrega

[edita] La for??a de Lorentz

[edita] Les equacions de Maxwell en el buit

[edita] Les equacions de Maxwell en relativitat especial

[edita] Refer??ncies

[edita] Vegeu tamb??

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es