Llei de Biot-Savart

De Viquip??dia

Electrost??tica

Electromagnetisme
Electricitat ?? Magnetisme
C??rrega el??ctrica
Llei de Coulomb
Camp el??ctric
Llei de Gauss
Potencial el??ctric
Moment dipolar el??ctric
Magnetost??tica
Llei d'Amp??re
Camp magn??tic
Flux magn??tic
Llei de Biot-Savart
Moment magn??tic
Electrodin??mica
Corrent el??ctric
For??a de Lorentz
For??a electromotriu
Inducci?? electromagn??tica
Llei de Faraday
Corrent de despla??ament
Equacions de Maxwell
Camp electromagn??tic
Radiaci?? electromagn??tica
Circuit el??ctric
Conducci?? el??ctrica
Resist??ncia el??ctrica
Capacit??ncia
Induct??ncia
Imped??ncia
Edita

La llei de Biot-Savart ??s una equaci?? de l'electromagnetisme que descriu el vector d'inducci?? magn??tica B en termes de la magnitud i la direcci?? de la font de corrent el??ctric, la dist??ncia de la font de corrent el??ctric i el factor de ponderaci?? de la permeabilitat magn??tica. Aquesta llei va ser formulada pels matem??tics francesos Jean Baptiste Biot i F??lix Savart.

La import??ncia de de la llei de Biot-Savart rau a que ??s una soluci?? a la llei d'Amp??re segons la llei de la inversa del quadrat, i tamb?? a l'equaci?? de la vorticitat d'un remol?? A = B. Per tant d??na la soluci?? al camp B de les equacions de Maxwell com la llei de Coulomb i la for??a de Lorentz donen la soluci?? al camp E. La llei de Coulomb tota sola d??na la soluci?? al camp E de la llei de Biot-Savart.

[edita] Introducci??

La llei de Biot-Savart i la for??a de Lorentz s??n tan fonamentals per l'electromagnetisme com la llei de Coulomb ho ??s per l'electrost??tica.

En particular, si definim un element diferencial de corrent

$I d\mathbf{l}$

llavors el corresponent element diferencial de camp magn??tic ??s

$d\mathbf{B} = K_m \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}$

$K_m = \frac{\mu_0}{4\pi} \,$ , on

?? 0

??s la constant magn??tica.

$I\mathbf{}$ ??s el corrent, mesurat en ampere

$d\mathbf{l}$ ??s el vector diferencial de longitud de l'element de corrent

$\mathbf{\hat r}$ ??s el vector unitari de despla??ament de l'element de corrent a un punt del camp i

$r\mathbf{}$ ??s la dist??ncia de l'element de corrent al punt del camp

[edita] Formes

[edita] General

A l'aproximaci?? magnetost??tica, el camp magn??tic pot ser determinat si la densitat de corrent j ??s coneguda:

$\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dv}$

$\mathbf{\hat{r}} = { \mathbf{r} \over r }$ ??s el vector unitari en la direcci?? de r.

d v

??s la unitat diferencial de volum.

[edita] Corrent uniforme i constant

En el cas especial d'un corrent uniforme i constant I, el camp magn??tic B ??s

$\mathbf B = K_m I \int \frac{d\mathbf l \times \mathbf{\hat r}}{r^2}$

[edita] C??rrega puntual a velocitat constant

En el cas especial d'una part??cula puntual carregada $q\mathbf{}$ que es mou a una velocitat constant $\mathbf{v}$ , l'equaci?? anterior es redueix al camp magn??tic, pren la forma:

$\mathbf{B} = K_m \frac{ q \mathbf{v} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2}$

[edita] Escala microsc??pica

A escala microsc??pica, la llei de Biot-Savart esdev??,

$\mathbf{H} = \epsilon \mathbf{v} \times \mathbf{E}$

on la soluci?? a $\mathbf{E}$ ??s la llei de Coulomb, i on

$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$

i per tant,

$\mathbf{B} = \mathbf{v}\times \frac{1}{c^2}\mathbf{E}$

[edita] Aplicacions dels efectes magn??tics

La llei de Biot-Savart pot ser utilitzada per calcular els efectes magn??tics fins i tot a nivell at??mic o molecular, per exemple la susceptibilitat magn??tica, sabent que la densitat de corrent s'ha d'obtenir a partir dels c??lculs de la mec??nica qu??ntica.

[edita] Aplicacions en aerodin??mica

La llei de Biot-Savart tamb?? s'utilitza per calcular la velocitat indu??da per les l??nies de v??rtex en aerodin??mica.

A les aplicacions aerodin??miques, els papers de la vorticitat i el corrent s??n oposats si els comparem amb les aplicacions magn??tiques.

A l'article de Maxwell 'On Physical Lines of Force' del 1861, la for??a del camp magn??tic $\mathbf{H}$ era comparat directament amb vorticitat pura (gir), en tant que $\mathbf{B}$ era una vorticitat ponderada per la densitat del mar de v??rtex. Maxwell va considerar la permeabilitat magn??tica ?? com una mesura de la densitat del mar de v??rtex. D'aqu?? la relaci??,

(1) Inducci?? magn??tica de corrent

$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$

(2) Convecci?? el??ctrica de corrent

$\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}$

on ?? ??s la densitat de c??rrega el??ctrica. $\mathbf{B}$ fou vist com un tipus de corrent magn??tic de v??rtex alineats als seus plans axials, amb $\mathbf{H}$ essent la velocitat circumferencial dels v??rtex.

L'equaci?? del corrent el??ctric pot ser vist com com un corrent convectiu de c??rrega el??ctrica que implica un moviment lineal. per analogia, l'equaci?? magn??tica seria un corrent inductiu que implica un gir. No hi ha moviment lineal al corrent inductiu al llarg de la direcci?? del vector $\mathbf{B}$ . El corrent magn??tic inductiu representa l??nies de for??a, en particular, representa l??nies de for??a segons la llei de la inversa del quadrat.

En aerodin??mica els corrents d'aire indu??ts formen anelles soleno??dals entorn de l'eix dels v??rtex i fan el mateix paper que el corrent el??ctric en el cas del magnetisme. Aix?? indica que els corrents d'aire de l'aerodin??mica fan el paper equivalent al vector d'inducci?? magn??tica $\mathbf{B}$ en electromagnetisme.

En electromagnetisme les l??nies $\mathbf{B}$ formen anelles soleno??dals entorn la font de corrent el??ctric, mentre en aerodin??mica els corrents d'aire formen anelles soleno??dals entorn de l'eix de la font de v??rtex.

Per tant, en electromagnetisme els v??rtex juguen el paper d'efecte mentre en aerodin??mica juguen el paper de causa. Fins ara quan mirem les l??nies $\mathbf{B}$ de manera a??llada, veiem l'escenari aerodin??mic en tant que $\mathbf{B}$ ??s l'eix de v??rtex i $\mathbf{H}$ ??s la velocitat circumferencial, segons l'article de Maxwell del 1861.

Per a una l??nia de v??rtex de longitud infinita, la velocitat indu??da a un punt vindr?? donada per

$v = \frac{\Gamma}{2\pi d}$

?? ??s la for??a del v??rtex

d ??s la dist??ncia perpendicular entre el punt i la l??nia de v??rtex.

Aquest ??s un cas l??mit de la f??rmula per a segments de v??rtex de longitud finita:

$v = \frac{\Gamma}{4 \pi d} \left[\cos A + \cos B \right]$

on A i B s??n els angles (amb signe) entre la l??nia i els dos extrems del segment.

[edita] Vegeu tamb??

[edita] Persones

Jean-Baptiste Biot
Felix Savart
Andr??-Marie Amp??re
James Clerk Maxwell

[edita] Electromagnetisme

[edita] Aerodin??mica

Vorticitat

[edita] Refer??ncies

Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics, 3rd ed., Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

[edita] Enlla??os externs

(angl??s) Electromagnetism, B. Crowell, Fullerton College
(angl??s) MISN-0-125 The Ampere-Laplace-Biot-Savart Law (Arxiu PDF) per Orilla McHarris i Peter Signell per Project PHYSNET.

Categories: Magnetost??tica | Lleis de la f??sica