Inductància

De Viquipèdia

La indutància és una mesura del flux magnètic $Φ$ al llarg d'un circuit elèctric creat per un corrent elèctric que flueix a través d'un circuit elèctric i, en conseqüència, crea un camp magnètic; en el Sistema Internacional es mesura en henrys (símbol $H$ ), en honor a Joseph Henry. Es pot definir com el factor de proporcionalitat entre el flux produït i la intensitat del corrent que el genera:

$L= \frac{\Phi}{i}$

on $L$ és la inductància, $i$ és la intensitat de corrent (en amperes) i $Φ$ és el flux de camp magnètic (en webers). S'utilitza el símbol $L$ per a la inductància en honor al físic Heinrich Lenz. El mateix terme "inductància" fou establert per Oliver Heaviside el febrer del 1886. La fórmula anterior utilitzant les unitats del SI, seria:

$1H= \frac {1Wb}{1A}$

En realitat, la quantitat que acabem de definir és l'anomenada autoinductància, ja que el camp magnètic és creat només pel conductor que transporta el corrent.

D'acord amb la llei d'Ampère i la llei de Lenz, el flux de camp magnètic crea una força electromotriu induïda ( $v i n d$ ) al conductor que s'oposa a qualsevol variació del corrent original, de manera que

$v_{ind}=-\frac{d\Phi}{dt}$

i substituint el flux per $L \times i$ , segons la definició d'inductància que hem donat:

$v_{ind}=-L \frac{dI}{dt}$

de manera que podem considerar la inductància com el factor de proporcionalitat entre la força electromotriu induïda i la variació temporal de la intensitat.

[edita] Propietats de la inductància

L'equació que relaciona la inductància amb el flux magnètic pot ser modificada d'aquesta manera:

$\Phi = Li \,$

Prenent la derivada respecte al temps als dos costats de l'equació tindrem:

$\frac{d\Phi}{dt} = L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dt} \,$

En moltes situacions la inductància és constant al llarg del temps, per tant

$\frac{d\Phi}{dt} = L \frac{di}{dt}$

Segons la llei de Faraday de la inducció tenim:

$\frac{d\Phi}{dt} = -\mathcal{E} = v$

on $\mathcal{E}$ és la força electromotriu (fem) i $v$ és el voltatge induït. Noteu que la fem és oposada al voltatge induït, així:

$\frac{di}{dt} = \frac{v}{L}$

$i(t) = \frac{1}{L} \int_0^tv(\tau) d\tau + i(0)$

Aquestes equacions juntes determinen que per a un voltatge estable induït v, en corrent canvia de manera lineal, segons una raó proporcional al voltatge aplicat, però inversament proporcional a la inductància. Inversament, si el corrent que passa a través de l'inductor canvia de manera constant, el voltatge induït serà constant.

L'efecte de la inductància pot ser estes utilitzant una simple espira de fil conductor com a exemple. Si sobtadament apliquem un voltatge al extrems de l'espira, el corrent canviarà de zero a un valor diferent de zero. Però un corrent diferent de zero induirà un camp magnètic segons la llei d'Ampère, i aquest canvi del camp magnètic induirà una fem que serà oposada a la direcció del canvi en el corrent, la magnitud d'aquesta fem serà proporcional al canvi en el corrent i a la inductància. Quan aqueste forces oposades són en equilibri, el resultat serà un corrent que s'incrementarà linealment amb el temps i on la quantitat de canvi serà determinat pel voltatge aplicat i per la inductància.

Multiplicant l'equació anterior per $d i / d t$ , amb $L i$ tindrem

$Li\frac{di}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{L}{2}i^{2}=iv$

Com iv és l'energia transferida al sistema a cada moment, tindrem que $\left( L/2 \right)i^2$ és l'energia del camp magnètic generada pel corrent.

[edita] Anàlisi de circuits fasors i impedància

Utilitzant fasors, la impedància equivalent d'una inductància vindrà donada per:

$Z_L = V / I = j L \omega \,$

$X_L = L \omega \,$ és la reactància inductiva,

$\omega = 2 \pi f \,$ és la freqüència angular,

L és la inductància,

f és la freqüència, i

j és la unitat imaginària.

[edita] Força electromotriu induïda

El flux $\Phi_i\ \!$ al través d'una part i-èsima d'un circuit vindrà donat per:

$\Phi_i = \sum_{j} M_{ij}I_j = L_i I_i + \sum_{j\ne i} M_{ij}I_j \,$

per tant la força electromotriu induïda, $\mathcal{E}$ , a una part específica, i, a cada circuit donat vindrà determinada directament per:

$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_i}{dt} = -\frac{d}{dt} \left (L_i I_i + \sum_{j\ne i} M_{ij}I_j \right ) = -\left(\frac{dL_i}{dt}I_i +\frac{dI_i}{dt}L_i \right) -\sum_{j\ne i} \left (\frac{dM_{ij}}{dt}I_j + \frac{dI_j}{dt}M_{ij} \right).$