Induct??ncia

De Viquip??dia

La indut??ncia ??s una mesura del flux magn??tic $??$ al llarg d'un circuit el??ctric creat per un corrent el??ctric que flueix a trav??s d'un circuit el??ctric i, en conseq????ncia, crea un camp magn??tic; en el Sistema Internacional es mesura en henrys (s??mbol $H$ ), en honor a Joseph Henry. Es pot definir com el factor de proporcionalitat entre el flux produ??t i la intensitat del corrent que el genera:

$L= \frac{\Phi}{i}$

on $L$ ??s la induct??ncia, $i$ ??s la intensitat de corrent (en amperes) i $??$ ??s el flux de camp magn??tic (en webers). S'utilitza el s??mbol $L$ per a la induct??ncia en honor al f??sic Heinrich Lenz. El mateix terme "induct??ncia" fou establert per Oliver Heaviside el febrer del 1886. La f??rmula anterior utilitzant les unitats del SI, seria:

$1H= \frac {1Wb}{1A}$

En realitat, la quantitat que acabem de definir ??s l'anomenada autoinduct??ncia, ja que el camp magn??tic ??s creat nom??s pel conductor que transporta el corrent.

D'acord amb la llei d'Amp??re i la llei de Lenz, el flux de camp magn??tic crea una for??a electromotriu indu??da ( $v i n d$ ) al conductor que s'oposa a qualsevol variaci?? del corrent original, de manera que

$v_{ind}=-\frac{d\Phi}{dt}$

i substituint el flux per $L \times i$ , segons la definici?? d'induct??ncia que hem donat:

$v_{ind}=-L \frac{dI}{dt}$

de manera que podem considerar la induct??ncia com el factor de proporcionalitat entre la for??a electromotriu indu??da i la variaci?? temporal de la intensitat.

[edita] Propietats de la induct??ncia

L'equaci?? que relaciona la induct??ncia amb el flux magn??tic pot ser modificada d'aquesta manera:

$\Phi = Li \,$

Prenent la derivada respecte al temps als dos costats de l'equaci?? tindrem:

$\frac{d\Phi}{dt} = L \frac{di}{dt} + i \frac{dL}{dt} \,$

En moltes situacions la induct??ncia ??s constant al llarg del temps, per tant

$\frac{d\Phi}{dt} = L \frac{di}{dt}$

Segons la llei de Faraday de la inducci?? tenim:

$\frac{d\Phi}{dt} = -\mathcal{E} = v$

on $\mathcal{E}$ ??s la for??a electromotriu (fem) i $v$ ??s el voltatge indu??t. Noteu que la fem ??s oposada al voltatge indu??t, aix??:

$\frac{di}{dt} = \frac{v}{L}$

$i(t) = \frac{1}{L} \int_0^tv(\tau) d\tau + i(0)$

Aquestes equacions juntes determinen que per a un voltatge estable indu??t v, en corrent canvia de manera lineal, segons una ra?? proporcional al voltatge aplicat, per?? inversament proporcional a la induct??ncia. Inversament, si el corrent que passa a trav??s de l'inductor canvia de manera constant, el voltatge indu??t ser?? constant.

L'efecte de la induct??ncia pot ser estes utilitzant una simple espira de fil conductor com a exemple. Si sobtadament apliquem un voltatge al extrems de l'espira, el corrent canviar?? de zero a un valor diferent de zero. Per?? un corrent diferent de zero induir?? un camp magn??tic segons la llei d'Amp??re, i aquest canvi del camp magn??tic induir?? una fem que ser?? oposada a la direcci?? del canvi en el corrent, la magnitud d'aquesta fem ser?? proporcional al canvi en el corrent i a la induct??ncia. Quan aqueste forces oposades s??n en equilibri, el resultat ser?? un corrent que s'incrementar?? linealment amb el temps i on la quantitat de canvi ser?? determinat pel voltatge aplicat i per la induct??ncia.

Multiplicant l'equaci?? anterior per $d i / d t$ , amb $L i$ tindrem

$Li\frac{di}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{L}{2}i^{2}=iv$

Com iv ??s l'energia transferida al sistema a cada moment, tindrem que $\left( L/2 \right)i^2$ ??s l'energia del camp magn??tic generada pel corrent.

[edita] An??lisi de circuits fasors i imped??ncia

Utilitzant fasors, la imped??ncia equivalent d'una induct??ncia vindr?? donada per:

$Z_L = V / I = j L \omega \,$

$X_L = L \omega \,$ ??s la react??ncia inductiva,

$\omega = 2 \pi f \,$ ??s la freq????ncia angular,

L ??s la induct??ncia,

f ??s la freq????ncia, i

j ??s la unitat imagin??ria.

[edita] For??a electromotriu indu??da

El flux $\Phi_i\ \!$ al trav??s d'una part i-??sima d'un circuit vindr?? donat per:

$\Phi_i = \sum_{j} M_{ij}I_j = L_i I_i + \sum_{j\ne i} M_{ij}I_j \,$

per tant la for??a electromotriu indu??da, $\mathcal{E}$ , a una part espec??fica, i, a cada circuit donat vindr?? determinada directament per:

$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_i}{dt} = -\frac{d}{dt} \left (L_i I_i + \sum_{j\ne i} M_{ij}I_j \right ) = -\left(\frac{dL_i}{dt}I_i +\frac{dI_i}{dt}L_i \right) -\sum_{j\ne i} \left (\frac{dM_{ij}}{dt}I_j + \frac{dI_j}{dt}M_{ij} \right).$